Математический анализ Примеры

$\frac{1}{3 s^{2}} - \frac{6}{5 s^{4}}$

Этап 1

По правилу суммы производная $\frac{1}{3 s^{2}} - \frac{6}{5 s^{4}}$ по $s$ имеет вид $\frac{d}{d s} [\frac{1}{3 s^{2}}] + \frac{d}{d s} [- \frac{6}{5 s^{4}}]$ .

$\frac{d}{d s} [\frac{1}{3 s^{2}}] + \frac{d}{d s} [- \frac{6}{5 s^{4}}]$

Этап 2

Найдем значение $\frac{d}{d s} [\frac{1}{3 s^{2}}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Поскольку $\frac{1}{3}$ является константой относительно $s$ , производная $\frac{1}{3 s^{2}}$ по $s$ равна $\frac{1}{3} \frac{d}{d s} [\frac{1}{s^{2}}]$ .

$\frac{1}{3} \frac{d}{d s} [\frac{1}{s^{2}}] + \frac{d}{d s} [- \frac{6}{5 s^{4}}]$

Этап 2.2

Перепишем $\frac{1}{s^{2}}$ в виде ${(s^{2})}^{- 1}$ .

$\frac{1}{3} \frac{d}{d s} [{(s^{2})}^{- 1}] + \frac{d}{d s} [- \frac{6}{5 s^{4}}]$

Этап 2.3

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d s} [f (g (s))]$ имеет вид $f' (g (s)) g' (s)$ , где $f (s) = s^{- 1}$ и $g (s) = s^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $s^{2}$ .

$\frac{1}{3} (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{- 1}] \frac{d}{d s} [s^{2}]) + \frac{d}{d s} [- \frac{6}{5 s^{4}}]$

Этап 2.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ имеет вид $n {u_{1}}^{n - 1}$ , где $n = - 1$ .

$\frac{1}{3} (- {u_{1}}^{- 2} \frac{d}{d s} [s^{2}]) + \frac{d}{d s} [- \frac{6}{5 s^{4}}]$

Этап 2.3.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $s^{2}$ .

$\frac{1}{3} (- {(s^{2})}^{- 2} \frac{d}{d s} [s^{2}]) + \frac{d}{d s} [- \frac{6}{5 s^{4}}]$

Этап 2.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d s} [s^{n}]$ имеет вид $n s^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{1}{3} (- {(s^{2})}^{- 2} (2 s)) + \frac{d}{d s} [- \frac{6}{5 s^{4}}]$

Этап 2.5

Перемножим экспоненты в ${(s^{2})}^{- 2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{3} (- s^{2 \cdot - 2} (2 s)) + \frac{d}{d s} [- \frac{6}{5 s^{4}}]$

Этап 2.5.2

Умножим $2$ на $- 2$ .

$\frac{1}{3} (- s^{- 4} (2 s)) + \frac{d}{d s} [- \frac{6}{5 s^{4}}]$

Этап 2.6

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\frac{1}{3} (- 2 s^{- 4} s) + \frac{d}{d s} [- \frac{6}{5 s^{4}}]$

Этап 2.7

Возведем $s$ в степень $1$ .

$\frac{1}{3} (- 2 (s^{1} s^{- 4})) + \frac{d}{d s} [- \frac{6}{5 s^{4}}]$

Этап 2.8

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{1}{3} (- 2 s^{1 - 4}) + \frac{d}{d s} [- \frac{6}{5 s^{4}}]$

Этап 2.9

Вычтем $4$ из $1$ .

$\frac{1}{3} (- 2 s^{- 3}) + \frac{d}{d s} [- \frac{6}{5 s^{4}}]$

Этап 2.10

Объединим $- 2$ и $\frac{1}{3}$ .

$\frac{- 2}{3} s^{- 3} + \frac{d}{d s} [- \frac{6}{5 s^{4}}]$

Этап 2.11

Объединим $\frac{- 2}{3}$ и $s^{- 3}$ .

$\frac{- 2 s^{- 3}}{3} + \frac{d}{d s} [- \frac{6}{5 s^{4}}]$

Этап 2.12

Перенесем $s^{- 3}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{- 2}{3 s^{3}} + \frac{d}{d s} [- \frac{6}{5 s^{4}}]$

Этап 2.13

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{2}{3 s^{3}} + \frac{d}{d s} [- \frac{6}{5 s^{4}}]$

Этап 3

Найдем значение $\frac{d}{d s} [- \frac{6}{5 s^{4}}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Поскольку $- \frac{6}{5}$ является константой относительно $s$ , производная $- \frac{6}{5 s^{4}}$ по $s$ равна $- \frac{6}{5} \frac{d}{d s} [\frac{1}{s^{4}}]$ .

$- \frac{2}{3 s^{3}} - \frac{6}{5} \frac{d}{d s} [\frac{1}{s^{4}}]$

Этап 3.2

Перепишем $\frac{1}{s^{4}}$ в виде ${(s^{4})}^{- 1}$ .

$- \frac{2}{3 s^{3}} - \frac{6}{5} \frac{d}{d s} [{(s^{4})}^{- 1}]$

Этап 3.3

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{2}$ как $s^{4}$ .

$- \frac{2}{3 s^{3}} - \frac{6}{5} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{- 1}] \frac{d}{d s} [s^{4}])$

Этап 3.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ имеет вид $n {u_{2}}^{n - 1}$ , где $n = - 1$ .

$- \frac{2}{3 s^{3}} - \frac{6}{5} (- {u_{2}}^{- 2} \frac{d}{d s} [s^{4}])$

Этап 3.3.3

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $s^{4}$ .

$- \frac{2}{3 s^{3}} - \frac{6}{5} (- {(s^{4})}^{- 2} \frac{d}{d s} [s^{4}])$

Этап 3.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d s} [s^{n}]$ имеет вид $n s^{n - 1}$ , где $n = 4$ .

$- \frac{2}{3 s^{3}} - \frac{6}{5} (- {(s^{4})}^{- 2} (4 s^{3}))$

Этап 3.5

Перемножим экспоненты в ${(s^{4})}^{- 2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{2}{3 s^{3}} - \frac{6}{5} (- s^{4 \cdot - 2} (4 s^{3}))$

Этап 3.5.2

Умножим $4$ на $- 2$ .

$- \frac{2}{3 s^{3}} - \frac{6}{5} (- s^{- 8} (4 s^{3}))$

Этап 3.6

Умножим $4$ на $- 1$ .

$- \frac{2}{3 s^{3}} - \frac{6}{5} (- 4 s^{- 8} s^{3})$

Этап 3.7

Умножим $s^{- 8}$ на $s^{3}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.1

Перенесем $s^{3}$ .

$- \frac{2}{3 s^{3}} - \frac{6}{5} (- 4 (s^{3} s^{- 8}))$

Этап 3.7.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$- \frac{2}{3 s^{3}} - \frac{6}{5} (- 4 s^{3 - 8})$

Этап 3.7.3

Вычтем $8$ из $3$ .

$- \frac{2}{3 s^{3}} - \frac{6}{5} (- 4 s^{- 5})$

Этап 3.8

Умножим $- 4$ на $- 1$ .

$- \frac{2}{3 s^{3}} + 4 (\frac{6}{5}) s^{- 5}$

Этап 3.9

Объединим $4$ и $\frac{6}{5}$ .

$- \frac{2}{3 s^{3}} + \frac{4 \cdot 6}{5} s^{- 5}$

Этап 3.10

Умножим $4$ на $6$ .

$- \frac{2}{3 s^{3}} + \frac{24}{5} s^{- 5}$

Этап 3.11

Объединим $\frac{24}{5}$ и $s^{- 5}$ .

$- \frac{2}{3 s^{3}} + \frac{24 s^{- 5}}{5}$

Этап 3.12

Перенесем $s^{- 5}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{2}{3 s^{3}} + \frac{24}{5 s^{5}}$