Математический анализ Примеры

$t v ({(t^{2} - 3)}^{3})$

Этап 1

Поскольку $v$ — константа по отношению к $t$ , вынесем $v$ из-под знака интеграла.

$v \int t ({(t^{2} - 3)}^{3}) d t$

Этап 2

Пусть $u = t^{2} - 3$ . Тогда $d u = 2 t d t$ , следовательно $\frac{1}{2} d u = t d t$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Пусть $u = t^{2} - 3$ . Найдем $\frac{d u}{d t}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Дифференцируем $t^{2} - 3$ .

$\frac{d}{d t} [t^{2} - 3]$

Этап 2.1.2

По правилу суммы производная $t^{2} - 3$ по $t$ имеет вид $\frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 3]$ .

$\frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 3]$

Этап 2.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ имеет вид $n t^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$2 t + \frac{d}{d t} [- 3]$

Этап 2.1.4

Поскольку $- 3$ является константой относительно $t$ , производная $- 3$ относительно $t$ равна $0$ .

$2 t + 0$

Этап 2.1.5

Добавим $2 t$ и $0$ .

$2 t$

Этап 2.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$v \int u^{3} \frac{1}{2} d u$

Этап 3

Объединим $u^{3}$ и $\frac{1}{2}$ .

$v \int \frac{u^{3}}{2} d u$

Этап 4

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$v (\frac{1}{2} \int u^{3} d u)$

Этап 5

Объединим $\frac{1}{2}$ и $v$ .

$\frac{v}{2} \int u^{3} d u$

Этап 6

По правилу степени интеграл $u^{3}$ по $u$ имеет вид $\frac{1}{4} u^{4}$ .

$\frac{v}{2} (\frac{1}{4} u^{4} + C)$

Этап 7

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Объединим $\frac{1}{4}$ и $u^{4}$ .

$\frac{v}{2} (\frac{u^{4}}{4} + C)$

Этап 7.2

Перепишем $\frac{v}{2} (\frac{u^{4}}{4} + C)$ в виде $\frac{1}{2} v \frac{1}{4} u^{4} + C$ .

$\frac{1}{2} v \frac{1}{4} u^{4} + C$

Этап 7.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $v$ .

$\frac{v}{2} \cdot \frac{1}{4} u^{4} + C$

Этап 7.3.2

Умножим $\frac{v}{2}$ на $\frac{1}{4}$ .

$\frac{v}{2 \cdot 4} u^{4} + C$

Этап 7.3.3

Умножим $2$ на $4$ .

$\frac{v}{8} u^{4} + C$

Этап 7.3.4

Объединим $\frac{v}{8}$ и $u^{4}$ .

$\frac{v u^{4}}{8} + C$

Этап 8

Заменим все вхождения $u$ на $t^{2} - 3$ .

$\frac{1}{8} v {(t^{2} - 3)}^{4} + C$