Математический анализ Примеры

$p (z) = z {(6 z + 1)}^{\frac{4}{3}}$

Этап 1

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d z} [f (z) g (z)]$ имеет вид $f (z) \frac{d}{d z} [g (z)] + g (z) \frac{d}{d z} [f (z)]$ , где $f (z) = z$ и $g (z) = {(6 z + 1)}^{\frac{4}{3}}$ .

$z \frac{d}{d z} [{(6 z + 1)}^{\frac{4}{3}}] + {(6 z + 1)}^{\frac{4}{3}} \frac{d}{d z} [z]$

Этап 2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d z} [f (g (z))]$ имеет вид $f' (g (z)) g' (z)$ , где $f (z) = z^{\frac{4}{3}}$ и $g (z) = 6 z + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $6 z + 1$ .

$z (\frac{d}{d u} [u^{\frac{4}{3}}] \frac{d}{d z} [6 z + 1]) + {(6 z + 1)}^{\frac{4}{3}} \frac{d}{d z} [z]$

Этап 2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = \frac{4}{3}$ .

$z (\frac{4}{3} u^{\frac{4}{3} - 1} \frac{d}{d z} [6 z + 1]) + {(6 z + 1)}^{\frac{4}{3}} \frac{d}{d z} [z]$

Этап 2.3

Заменим все вхождения $u$ на $6 z + 1$ .

$z (\frac{4}{3} {(6 z + 1)}^{\frac{4}{3} - 1} \frac{d}{d z} [6 z + 1]) + {(6 z + 1)}^{\frac{4}{3}} \frac{d}{d z} [z]$

Этап 3

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$z (\frac{4}{3} {(6 z + 1)}^{\frac{4}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d z} [6 z + 1]) + {(6 z + 1)}^{\frac{4}{3}} \frac{d}{d z} [z]$

Этап 4

Объединим $- 1$ и $\frac{3}{3}$ .

$z (\frac{4}{3} {(6 z + 1)}^{\frac{4}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d z} [6 z + 1]) + {(6 z + 1)}^{\frac{4}{3}} \frac{d}{d z} [z]$

Этап 5

Объединим числители над общим знаменателем.

$z (\frac{4}{3} {(6 z + 1)}^{\frac{4 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d z} [6 z + 1]) + {(6 z + 1)}^{\frac{4}{3}} \frac{d}{d z} [z]$

Этап 6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Умножим $- 1$ на $3$ .

$z (\frac{4}{3} {(6 z + 1)}^{\frac{4 - 3}{3}} \frac{d}{d z} [6 z + 1]) + {(6 z + 1)}^{\frac{4}{3}} \frac{d}{d z} [z]$

Этап 6.2

Вычтем $3$ из $4$ .

$z (\frac{4}{3} {(6 z + 1)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d z} [6 z + 1]) + {(6 z + 1)}^{\frac{4}{3}} \frac{d}{d z} [z]$

Этап 7

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Объединим $\frac{4}{3}$ и ${(6 z + 1)}^{\frac{1}{3}}$ .

$z (\frac{4 {(6 z + 1)}^{\frac{1}{3}}}{3} \frac{d}{d z} [6 z + 1]) + {(6 z + 1)}^{\frac{4}{3}} \frac{d}{d z} [z]$

Этап 7.2

Объединим $\frac{4 {(6 z + 1)}^{\frac{1}{3}}}{3}$ и $z$ .

$\frac{4 {(6 z + 1)}^{\frac{1}{3}} z}{3} \frac{d}{d z} [6 z + 1] + {(6 z + 1)}^{\frac{4}{3}} \frac{d}{d z} [z]$

Этап 8

По правилу суммы производная $6 z + 1$ по $z$ имеет вид $\frac{d}{d z} [6 z] + \frac{d}{d z} [1]$ .

$\frac{4 {(6 z + 1)}^{\frac{1}{3}} z}{3} (\frac{d}{d z} [6 z] + \frac{d}{d z} [1]) + {(6 z + 1)}^{\frac{4}{3}} \frac{d}{d z} [z]$

Этап 9

Поскольку $6$ является константой относительно $z$ , производная $6 z$ по $z$ равна $6 \frac{d}{d z} [z]$ .

$\frac{4 {(6 z + 1)}^{\frac{1}{3}} z}{3} (6 \frac{d}{d z} [z] + \frac{d}{d z} [1]) + {(6 z + 1)}^{\frac{4}{3}} \frac{d}{d z} [z]$

Этап 10

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d z} [z^{n}]$ имеет вид $n z^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{4 {(6 z + 1)}^{\frac{1}{3}} z}{3} (6 \cdot 1 + \frac{d}{d z} [1]) + {(6 z + 1)}^{\frac{4}{3}} \frac{d}{d z} [z]$

Этап 11

Умножим $6$ на $1$ .

$\frac{4 {(6 z + 1)}^{\frac{1}{3}} z}{3} (6 + \frac{d}{d z} [1]) + {(6 z + 1)}^{\frac{4}{3}} \frac{d}{d z} [z]$

Этап 12

Поскольку $1$ является константой относительно $z$ , производная $1$ относительно $z$ равна $0$ .

$\frac{4 {(6 z + 1)}^{\frac{1}{3}} z}{3} (6 + 0) + {(6 z + 1)}^{\frac{4}{3}} \frac{d}{d z} [z]$

Этап 13

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Добавим $6$ и $0$ .

$\frac{4 {(6 z + 1)}^{\frac{1}{3}} z}{3} \cdot 6 + {(6 z + 1)}^{\frac{4}{3}} \frac{d}{d z} [z]$

Этап 13.2

Объединим $\frac{4 {(6 z + 1)}^{\frac{1}{3}} z}{3}$ и $6$ .

$\frac{4 {(6 z + 1)}^{\frac{1}{3}} z \cdot 6}{3} + {(6 z + 1)}^{\frac{4}{3}} \frac{d}{d z} [z]$

Этап 13.3

Умножим $6$ на $4$ .

$\frac{24 {(6 z + 1)}^{\frac{1}{3}} z}{3} + {(6 z + 1)}^{\frac{4}{3}} \frac{d}{d z} [z]$

Этап 13.4

Вынесем множитель $3$ из $24 {(6 z + 1)}^{\frac{1}{3}} z$ .

$\frac{3 (8 {(6 z + 1)}^{\frac{1}{3}} z)}{3} + {(6 z + 1)}^{\frac{4}{3}} \frac{d}{d z} [z]$

Этап 14

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.1

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$\frac{3 (8 {(6 z + 1)}^{\frac{1}{3}} z)}{3 (1)} + {(6 z + 1)}^{\frac{4}{3}} \frac{d}{d z} [z]$

Этап 14.2

Сократим общий множитель.

$\frac{3 (8 {(6 z + 1)}^{\frac{1}{3}} z)}{3 \cdot 1} + {(6 z + 1)}^{\frac{4}{3}} \frac{d}{d z} [z]$

Этап 14.3

Перепишем это выражение.

$\frac{8 {(6 z + 1)}^{\frac{1}{3}} z}{1} + {(6 z + 1)}^{\frac{4}{3}} \frac{d}{d z} [z]$

Этап 14.4

Разделим $8 {(6 z + 1)}^{\frac{1}{3}} z$ на $1$ .

$8 {(6 z + 1)}^{\frac{1}{3}} z + {(6 z + 1)}^{\frac{4}{3}} \frac{d}{d z} [z]$

Этап 15

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d z} [z^{n}]$ имеет вид $n z^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$8 {(6 z + 1)}^{\frac{1}{3}} z + {(6 z + 1)}^{\frac{4}{3}} \cdot 1$

Этап 16

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.1

Умножим ${(6 z + 1)}^{\frac{4}{3}}$ на $1$ .

$8 {(6 z + 1)}^{\frac{1}{3}} z + {(6 z + 1)}^{\frac{4}{3}}$

Этап 16.2

Изменим порядок членов.

$8 z {(6 z + 1)}^{\frac{1}{3}} + {(6 z + 1)}^{\frac{4}{3}}$