Математический анализ Примеры

$y = \frac{{(3 x - 2)}^{6}}{{(2 x + 5)}^{4}}$

Этап 1

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = {(3 x - 2)}^{6}$ и $g (x) = {(2 x + 5)}^{4}$ .

$\frac{{(2 x + 5)}^{4} \frac{d}{d x} [{(3 x - 2)}^{6}] - {(3 x - 2)}^{6} \frac{d}{d x} [{(2 x + 5)}^{4}]}{{({(2 x + 5)}^{4})}^{2}}$

Этап 2

Перемножим экспоненты в ${({(2 x + 5)}^{4})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{{(2 x + 5)}^{4} \frac{d}{d x} [{(3 x - 2)}^{6}] - {(3 x - 2)}^{6} \frac{d}{d x} [{(2 x + 5)}^{4}]}{{(2 x + 5)}^{4 \cdot 2}}$

Этап 2.2

Умножим $4$ на $2$ .

$\frac{{(2 x + 5)}^{4} \frac{d}{d x} [{(3 x - 2)}^{6}] - {(3 x - 2)}^{6} \frac{d}{d x} [{(2 x + 5)}^{4}]}{{(2 x + 5)}^{8}}$

Этап 3

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{6}$ и $g (x) = 3 x - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $3 x - 2$ .

$\frac{{(2 x + 5)}^{4} (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{6}] \frac{d}{d x} [3 x - 2]) - {(3 x - 2)}^{6} \frac{d}{d x} [{(2 x + 5)}^{4}]}{{(2 x + 5)}^{8}}$

Этап 3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ имеет вид $n {u_{1}}^{n - 1}$ , где $n = 6$ .

$\frac{{(2 x + 5)}^{4} (6 {u_{1}}^{5} \frac{d}{d x} [3 x - 2]) - {(3 x - 2)}^{6} \frac{d}{d x} [{(2 x + 5)}^{4}]}{{(2 x + 5)}^{8}}$

Этап 3.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $3 x - 2$ .

$\frac{{(2 x + 5)}^{4} (6 {(3 x - 2)}^{5} \frac{d}{d x} [3 x - 2]) - {(3 x - 2)}^{6} \frac{d}{d x} [{(2 x + 5)}^{4}]}{{(2 x + 5)}^{8}}$

Этап 4

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Перенесем $6$ влево от ${(2 x + 5)}^{4}$ .

$\frac{6 \cdot {(2 x + 5)}^{4} {(3 x - 2)}^{5} \frac{d}{d x} [3 x - 2] - {(3 x - 2)}^{6} \frac{d}{d x} [{(2 x + 5)}^{4}]}{{(2 x + 5)}^{8}}$

Этап 4.2

По правилу суммы производная $3 x - 2$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$\frac{6 {(2 x + 5)}^{4} {(3 x - 2)}^{5} (\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 2]) - {(3 x - 2)}^{6} \frac{d}{d x} [{(2 x + 5)}^{4}]}{{(2 x + 5)}^{8}}$

Этап 4.3

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 x$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{6 {(2 x + 5)}^{4} {(3 x - 2)}^{5} (3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]) - {(3 x - 2)}^{6} \frac{d}{d x} [{(2 x + 5)}^{4}]}{{(2 x + 5)}^{8}}$

Этап 4.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{6 {(2 x + 5)}^{4} {(3 x - 2)}^{5} (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2]) - {(3 x - 2)}^{6} \frac{d}{d x} [{(2 x + 5)}^{4}]}{{(2 x + 5)}^{8}}$

Этап 4.5

Умножим $3$ на $1$ .

$\frac{6 {(2 x + 5)}^{4} {(3 x - 2)}^{5} (3 + \frac{d}{d x} [- 2]) - {(3 x - 2)}^{6} \frac{d}{d x} [{(2 x + 5)}^{4}]}{{(2 x + 5)}^{8}}$

Этап 4.6

Поскольку $- 2$ является константой относительно $x$ , производная $- 2$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{6 {(2 x + 5)}^{4} {(3 x - 2)}^{5} (3 + 0) - {(3 x - 2)}^{6} \frac{d}{d x} [{(2 x + 5)}^{4}]}{{(2 x + 5)}^{8}}$

Этап 4.7

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.7.1

Добавим $3$ и $0$ .

$\frac{6 {(2 x + 5)}^{4} {(3 x - 2)}^{5} \cdot 3 - {(3 x - 2)}^{6} \frac{d}{d x} [{(2 x + 5)}^{4}]}{{(2 x + 5)}^{8}}$

Этап 4.7.2

Умножим $3$ на $6$ .

$\frac{18 {(2 x + 5)}^{4} {(3 x - 2)}^{5} - {(3 x - 2)}^{6} \frac{d}{d x} [{(2 x + 5)}^{4}]}{{(2 x + 5)}^{8}}$

Этап 5

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{2}$ как $2 x + 5$ .

$\frac{18 {(2 x + 5)}^{4} {(3 x - 2)}^{5} - {(3 x - 2)}^{6} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{4}] \frac{d}{d x} [2 x + 5])}{{(2 x + 5)}^{8}}$

Этап 5.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ имеет вид $n {u_{2}}^{n - 1}$ , где $n = 4$ .

$\frac{18 {(2 x + 5)}^{4} {(3 x - 2)}^{5} - {(3 x - 2)}^{6} (4 {u_{2}}^{3} \frac{d}{d x} [2 x + 5])}{{(2 x + 5)}^{8}}$

Этап 5.3

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $2 x + 5$ .

$\frac{18 {(2 x + 5)}^{4} {(3 x - 2)}^{5} - {(3 x - 2)}^{6} (4 {(2 x + 5)}^{3} \frac{d}{d x} [2 x + 5])}{{(2 x + 5)}^{8}}$

Этап 6

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Умножим $4$ на $- 1$ .

$\frac{18 {(2 x + 5)}^{4} {(3 x - 2)}^{5} - 4 {(3 x - 2)}^{6} ({(2 x + 5)}^{3} \frac{d}{d x} [2 x + 5])}{{(2 x + 5)}^{8}}$

Этап 6.2

По правилу суммы производная $2 x + 5$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$\frac{18 {(2 x + 5)}^{4} {(3 x - 2)}^{5} - 4 {(3 x - 2)}^{6} ({(2 x + 5)}^{3} (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [5]))}{{(2 x + 5)}^{8}}$

Этап 6.3

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{18 {(2 x + 5)}^{4} {(3 x - 2)}^{5} - 4 {(3 x - 2)}^{6} ({(2 x + 5)}^{3} (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]))}{{(2 x + 5)}^{8}}$

Этап 6.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{18 {(2 x + 5)}^{4} {(3 x - 2)}^{5} - 4 {(3 x - 2)}^{6} ({(2 x + 5)}^{3} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [5]))}{{(2 x + 5)}^{8}}$

Этап 6.5

Умножим $2$ на $1$ .

$\frac{18 {(2 x + 5)}^{4} {(3 x - 2)}^{5} - 4 {(3 x - 2)}^{6} ({(2 x + 5)}^{3} (2 + \frac{d}{d x} [5]))}{{(2 x + 5)}^{8}}$

Этап 6.6

Поскольку $5$ является константой относительно $x$ , производная $5$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{18 {(2 x + 5)}^{4} {(3 x - 2)}^{5} - 4 {(3 x - 2)}^{6} ({(2 x + 5)}^{3} (2 + 0))}{{(2 x + 5)}^{8}}$

Этап 6.7

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.7.1

Добавим $2$ и $0$ .

$\frac{18 {(2 x + 5)}^{4} {(3 x - 2)}^{5} - 4 {(3 x - 2)}^{6} ({(2 x + 5)}^{3} \cdot 2)}{{(2 x + 5)}^{8}}$

Этап 6.7.2

Перенесем $2$ влево от ${(2 x + 5)}^{3}$ .

$\frac{18 {(2 x + 5)}^{4} {(3 x - 2)}^{5} - 4 {(3 x - 2)}^{6} (2 \cdot {(2 x + 5)}^{3})}{{(2 x + 5)}^{8}}$

Этап 6.7.3

Умножим $2$ на $- 4$ .

$\frac{18 {(2 x + 5)}^{4} {(3 x - 2)}^{5} - 8 {(3 x - 2)}^{6} {(2 x + 5)}^{3}}{{(2 x + 5)}^{8}}$

Этап 7

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1

Вынесем множитель $2 {(2 x + 5)}^{3} {(3 x - 2)}^{5}$ из $18 {(2 x + 5)}^{4} {(3 x - 2)}^{5} - 8 {(3 x - 2)}^{6} {(2 x + 5)}^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1.1

Вынесем множитель $2 {(2 x + 5)}^{3} {(3 x - 2)}^{5}$ из $18 {(2 x + 5)}^{4} {(3 x - 2)}^{5}$ .

$\frac{2 {(2 x + 5)}^{3} {(3 x - 2)}^{5} (9 (2 x + 5)) - 8 {(3 x - 2)}^{6} {(2 x + 5)}^{3}}{{(2 x + 5)}^{8}}$

Этап 7.1.1.2

Вынесем множитель $2 {(2 x + 5)}^{3} {(3 x - 2)}^{5}$ из $- 8 {(3 x - 2)}^{6} {(2 x + 5)}^{3}$ .

$\frac{2 {(2 x + 5)}^{3} {(3 x - 2)}^{5} (9 (2 x + 5)) + 2 {(2 x + 5)}^{3} {(3 x - 2)}^{5} (- 4 (3 x - 2))}{{(2 x + 5)}^{8}}$

Этап 7.1.1.3

Вынесем множитель $2 {(2 x + 5)}^{3} {(3 x - 2)}^{5}$ из $2 {(2 x + 5)}^{3} {(3 x - 2)}^{5} (9 (2 x + 5)) + 2 {(2 x + 5)}^{3} {(3 x - 2)}^{5} (- 4 (3 x - 2))$ .

$\frac{2 {(2 x + 5)}^{3} {(3 x - 2)}^{5} (9 (2 x + 5) - 4 (3 x - 2))}{{(2 x + 5)}^{8}}$

Этап 7.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{2 {(2 x + 5)}^{3} {(3 x - 2)}^{5} (9 (2 x) + 9 \cdot 5 - 4 (3 x - 2))}{{(2 x + 5)}^{8}}$

Этап 7.1.3

Умножим $2$ на $9$ .

$\frac{2 {(2 x + 5)}^{3} {(3 x - 2)}^{5} (18 x + 9 \cdot 5 - 4 (3 x - 2))}{{(2 x + 5)}^{8}}$

Этап 7.1.4

Умножим $9$ на $5$ .

$\frac{2 {(2 x + 5)}^{3} {(3 x - 2)}^{5} (18 x + 45 - 4 (3 x - 2))}{{(2 x + 5)}^{8}}$

Этап 7.1.5

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{2 {(2 x + 5)}^{3} {(3 x - 2)}^{5} (18 x + 45 - 4 (3 x) - 4 \cdot - 2)}{{(2 x + 5)}^{8}}$

Этап 7.1.6

Умножим $3$ на $- 4$ .

$\frac{2 {(2 x + 5)}^{3} {(3 x - 2)}^{5} (18 x + 45 - 12 x - 4 \cdot - 2)}{{(2 x + 5)}^{8}}$

Этап 7.1.7

Умножим $- 4$ на $- 2$ .

$\frac{2 {(2 x + 5)}^{3} {(3 x - 2)}^{5} (18 x + 45 - 12 x + 8)}{{(2 x + 5)}^{8}}$

Этап 7.1.8

Вычтем $12 x$ из $18 x$ .

$\frac{2 {(2 x + 5)}^{3} {(3 x - 2)}^{5} (6 x + 45 + 8)}{{(2 x + 5)}^{8}}$

Этап 7.1.9

Добавим $45$ и $8$ .

$\frac{2 {(2 x + 5)}^{3} {(3 x - 2)}^{5} (6 x + 53)}{{(2 x + 5)}^{8}}$

Этап 7.2

Сократим общий множитель ${(2 x + 5)}^{3}$ и ${(2 x + 5)}^{8}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Вынесем множитель ${(2 x + 5)}^{3}$ из $2 {(2 x + 5)}^{3} {(3 x - 2)}^{5} (6 x + 53)$ .

$\frac{{(2 x + 5)}^{3} (2 {(3 x - 2)}^{5} (6 x + 53))}{{(2 x + 5)}^{8}}$

Этап 7.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.1

Вынесем множитель ${(2 x + 5)}^{3}$ из ${(2 x + 5)}^{8}$ .

$\frac{{(2 x + 5)}^{3} (2 {(3 x - 2)}^{5} (6 x + 53))}{{(2 x + 5)}^{3} {(2 x + 5)}^{5}}$

Этап 7.2.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{{(2 x + 5)}^{3} (2 {(3 x - 2)}^{5} (6 x + 53))}{{(2 x + 5)}^{3} {(2 x + 5)}^{5}}$

Этап 7.2.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{2 {(3 x - 2)}^{5} (6 x + 53)}{{(2 x + 5)}^{5}}$