Математический анализ Примеры

$y = (\sec (x) + \tan (x)) (\sec (x) - \tan (x))$

Этап 1

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = \sec (x) + \tan (x)$ и $g (x) = \sec (x) - \tan (x)$ .

$(\sec (x) + \tan (x)) \frac{d}{d x} [\sec (x) - \tan (x)] + (\sec (x) - \tan (x)) \frac{d}{d x} [\sec (x) + \tan (x)]$

Этап 2

По правилу суммы производная $\sec (x) - \tan (x)$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [\sec (x)] + \frac{d}{d x} [- \tan (x)]$ .

$(\sec (x) + \tan (x)) (\frac{d}{d x} [\sec (x)] + \frac{d}{d x} [- \tan (x)]) + (\sec (x) - \tan (x)) \frac{d}{d x} [\sec (x) + \tan (x)]$

Этап 3

Производная $\sec (x)$ по $x$ равна $\sec (x) \tan (x)$ .

$(\sec (x) + \tan (x)) (\sec (x) \tan (x) + \frac{d}{d x} [- \tan (x)]) + (\sec (x) - \tan (x)) \frac{d}{d x} [\sec (x) + \tan (x)]$

Этап 4

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- \tan (x)$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [\tan (x)]$ .

$(\sec (x) + \tan (x)) (\sec (x) \tan (x) - \frac{d}{d x} [\tan (x)]) + (\sec (x) - \tan (x)) \frac{d}{d x} [\sec (x) + \tan (x)]$

Этап 5

Производная $\tan (x)$ по $x$ равна $\sec^{2} (x)$ .

$(\sec (x) + \tan (x)) (\sec (x) \tan (x) - \sec^{2} (x)) + (\sec (x) - \tan (x)) \frac{d}{d x} [\sec (x) + \tan (x)]$

Этап 6

По правилу суммы производная $\sec (x) + \tan (x)$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [\sec (x)] + \frac{d}{d x} [\tan (x)]$ .

$(\sec (x) + \tan (x)) (\sec (x) \tan (x) - \sec^{2} (x)) + (\sec (x) - \tan (x)) (\frac{d}{d x} [\sec (x)] + \frac{d}{d x} [\tan (x)])$

Этап 7

Производная $\sec (x)$ по $x$ равна $\sec (x) \tan (x)$ .

$(\sec (x) + \tan (x)) (\sec (x) \tan (x) - \sec^{2} (x)) + (\sec (x) - \tan (x)) (\sec (x) \tan (x) + \frac{d}{d x} [\tan (x)])$

Этап 8

Производная $\tan (x)$ по $x$ равна $\sec^{2} (x)$ .

$(\sec (x) + \tan (x)) (\sec (x) \tan (x) - \sec^{2} (x)) + (\sec (x) - \tan (x)) (\sec (x) \tan (x) + \sec^{2} (x))$

Этап 9

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.1

Развернем $(\sec (x) + \tan (x)) (\sec (x) \tan (x) - \sec^{2} (x))$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\sec (x) (\sec (x) \tan (x) - \sec^{2} (x)) + \tan (x) (\sec (x) \tan (x) - \sec^{2} (x)) + (\sec (x) - \tan (x)) (\sec (x) \tan (x) + \sec^{2} (x))$

Этап 9.1.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\sec (x) (\sec (x) \tan (x)) + \sec (x) (- \sec^{2} (x)) + \tan (x) (\sec (x) \tan (x) - \sec^{2} (x)) + (\sec (x) - \tan (x)) (\sec (x) \tan (x) + \sec^{2} (x))$

Этап 9.1.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\sec (x) (\sec (x) \tan (x)) + \sec (x) (- \sec^{2} (x)) + \tan (x) (\sec (x) \tan (x)) + \tan (x) (- \sec^{2} (x)) + (\sec (x) - \tan (x)) (\sec (x) \tan (x) + \sec^{2} (x))$

Этап 9.1.2

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.2.1.1

Умножим $\sec (x) (\sec (x) \tan (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.2.1.1.1

Возведем $\sec (x)$ в степень $1$ .

$\sec^{1} (x) \sec (x) \tan (x) + \sec (x) (- \sec^{2} (x)) + \tan (x) (\sec (x) \tan (x)) + \tan (x) (- \sec^{2} (x)) + (\sec (x) - \tan (x)) (\sec (x) \tan (x) + \sec^{2} (x))$

Этап 9.1.2.1.1.2

Возведем $\sec (x)$ в степень $1$ .

$\sec^{1} (x) \sec^{1} (x) \tan (x) + \sec (x) (- \sec^{2} (x)) + \tan (x) (\sec (x) \tan (x)) + \tan (x) (- \sec^{2} (x)) + (\sec (x) - \tan (x)) (\sec (x) \tan (x) + \sec^{2} (x))$

Этап 9.1.2.1.1.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

${\sec (x)}^{1 + 1} \tan (x) + \sec (x) (- \sec^{2} (x)) + \tan (x) (\sec (x) \tan (x)) + \tan (x) (- \sec^{2} (x)) + (\sec (x) - \tan (x)) (\sec (x) \tan (x) + \sec^{2} (x))$

Этап 9.1.2.1.1.4

Добавим $1$ и $1$ .

$\sec^{2} (x) \tan (x) + \sec (x) (- \sec^{2} (x)) + \tan (x) (\sec (x) \tan (x)) + \tan (x) (- \sec^{2} (x)) + (\sec (x) - \tan (x)) (\sec (x) \tan (x) + \sec^{2} (x))$

Этап 9.1.2.1.2

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\sec^{2} (x) \tan (x) - \sec (x) \sec^{2} (x) + \tan (x) (\sec (x) \tan (x)) + \tan (x) (- \sec^{2} (x)) + (\sec (x) - \tan (x)) (\sec (x) \tan (x) + \sec^{2} (x))$

Этап 9.1.2.1.3

Умножим $\sec (x)$ на $\sec^{2} (x)$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.2.1.3.1

Перенесем $\sec^{2} (x)$ .

$\sec^{2} (x) \tan (x) - (\sec^{2} (x) \sec (x)) + \tan (x) (\sec (x) \tan (x)) + \tan (x) (- \sec^{2} (x)) + (\sec (x) - \tan (x)) (\sec (x) \tan (x) + \sec^{2} (x))$

Этап 9.1.2.1.3.2

Умножим $\sec^{2} (x)$ на $\sec (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.2.1.3.2.1

Возведем $\sec (x)$ в степень $1$ .

$\sec^{2} (x) \tan (x) - (\sec^{2} (x) \sec^{1} (x)) + \tan (x) (\sec (x) \tan (x)) + \tan (x) (- \sec^{2} (x)) + (\sec (x) - \tan (x)) (\sec (x) \tan (x) + \sec^{2} (x))$

Этап 9.1.2.1.3.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\sec^{2} (x) \tan (x) - {\sec (x)}^{2 + 1} + \tan (x) (\sec (x) \tan (x)) + \tan (x) (- \sec^{2} (x)) + (\sec (x) - \tan (x)) (\sec (x) \tan (x) + \sec^{2} (x))$

Этап 9.1.2.1.3.3

Добавим $2$ и $1$ .

$\sec^{2} (x) \tan (x) - \sec^{3} (x) + \tan (x) (\sec (x) \tan (x)) + \tan (x) (- \sec^{2} (x)) + (\sec (x) - \tan (x)) (\sec (x) \tan (x) + \sec^{2} (x))$

Этап 9.1.2.1.4

Умножим $\tan (x) (\sec (x) \tan (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.2.1.4.1

Возведем $\tan (x)$ в степень $1$ .

$\sec^{2} (x) \tan (x) - \sec^{3} (x) + \tan^{1} (x) \tan (x) \sec (x) + \tan (x) (- \sec^{2} (x)) + (\sec (x) - \tan (x)) (\sec (x) \tan (x) + \sec^{2} (x))$

Этап 9.1.2.1.4.2

Возведем $\tan (x)$ в степень $1$ .

$\sec^{2} (x) \tan (x) - \sec^{3} (x) + \tan^{1} (x) \tan^{1} (x) \sec (x) + \tan (x) (- \sec^{2} (x)) + (\sec (x) - \tan (x)) (\sec (x) \tan (x) + \sec^{2} (x))$

Этап 9.1.2.1.4.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\sec^{2} (x) \tan (x) - \sec^{3} (x) + {\tan (x)}^{1 + 1} \sec (x) + \tan (x) (- \sec^{2} (x)) + (\sec (x) - \tan (x)) (\sec (x) \tan (x) + \sec^{2} (x))$

Этап 9.1.2.1.4.4

Добавим $1$ и $1$ .

$\sec^{2} (x) \tan (x) - \sec^{3} (x) + \tan^{2} (x) \sec (x) + \tan (x) (- \sec^{2} (x)) + (\sec (x) - \tan (x)) (\sec (x) \tan (x) + \sec^{2} (x))$

Этап 9.1.2.1.5

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\sec^{2} (x) \tan (x) - \sec^{3} (x) + \tan^{2} (x) \sec (x) - \tan (x) \sec^{2} (x) + (\sec (x) - \tan (x)) (\sec (x) \tan (x) + \sec^{2} (x))$

Этап 9.1.2.2

Изменим порядок множителей в $- \tan (x) \sec^{2} (x)$ .

$\sec^{2} (x) \tan (x) - \sec^{3} (x) + \tan^{2} (x) \sec (x) - \sec^{2} (x) \tan (x) + (\sec (x) - \tan (x)) (\sec (x) \tan (x) + \sec^{2} (x))$

Этап 9.1.2.3

Вычтем $\sec^{2} (x) \tan (x)$ из $\sec^{2} (x) \tan (x)$ .

$0 - \sec^{3} (x) + \tan^{2} (x) \sec (x) + (\sec (x) - \tan (x)) (\sec (x) \tan (x) + \sec^{2} (x))$

Этап 9.1.2.4

Вычтем $\sec^{3} (x)$ из $0$ .

$- \sec^{3} (x) + \tan^{2} (x) \sec (x) + (\sec (x) - \tan (x)) (\sec (x) \tan (x) + \sec^{2} (x))$

Этап 9.1.3

Вынесем множитель $\sec (x)$ из $- \sec^{3} (x) + \tan^{2} (x) \sec (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.3.1

Вынесем множитель $\sec (x)$ из $- \sec^{3} (x)$ .

$\sec (x) (- \sec^{2} (x)) + \tan^{2} (x) \sec (x) + (\sec (x) - \tan (x)) (\sec (x) \tan (x) + \sec^{2} (x))$

Этап 9.1.3.2

Вынесем множитель $\sec (x)$ из $\tan^{2} (x) \sec (x)$ .

$\sec (x) (- \sec^{2} (x)) + \sec (x) \tan^{2} (x) + (\sec (x) - \tan (x)) (\sec (x) \tan (x) + \sec^{2} (x))$

Этап 9.1.3.3

Вынесем множитель $\sec (x)$ из $\sec (x) (- \sec^{2} (x)) + \sec (x) \tan^{2} (x)$ .

$\sec (x) (- \sec^{2} (x) + \tan^{2} (x)) + (\sec (x) - \tan (x)) (\sec (x) \tan (x) + \sec^{2} (x))$

Этап 9.1.4

Вынесем множитель $- 1$ из $- \sec^{2} (x)$ .

$\sec (x) (- (\sec^{2} (x)) + \tan^{2} (x)) + (\sec (x) - \tan (x)) (\sec (x) \tan (x) + \sec^{2} (x))$

Этап 9.1.5

Вынесем множитель $- 1$ из $\tan^{2} (x)$ .

$\sec (x) (- (\sec^{2} (x)) - 1 (- \tan^{2} (x))) + (\sec (x) - \tan (x)) (\sec (x) \tan (x) + \sec^{2} (x))$

Этап 9.1.6

Вынесем множитель $- 1$ из $- (\sec^{2} (x)) - 1 (- \tan^{2} (x))$ .

$\sec (x) (- (\sec^{2} (x) - \tan^{2} (x))) + (\sec (x) - \tan (x)) (\sec (x) \tan (x) + \sec^{2} (x))$

Этап 9.1.7

Применим формулу Пифагора.

$\sec (x) (- 1 \cdot 1) + (\sec (x) - \tan (x)) (\sec (x) \tan (x) + \sec^{2} (x))$

Этап 9.1.8

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\sec (x) \cdot - 1 + (\sec (x) - \tan (x)) (\sec (x) \tan (x) + \sec^{2} (x))$

Этап 9.1.9

Перенесем $- 1$ влево от $\sec (x)$ .

$- 1 \cdot \sec (x) + (\sec (x) - \tan (x)) (\sec (x) \tan (x) + \sec^{2} (x))$

Этап 9.1.10

Перепишем $- 1 \sec (x)$ в виде $- \sec (x)$ .

$- \sec (x) + (\sec (x) - \tan (x)) (\sec (x) \tan (x) + \sec^{2} (x))$

Этап 9.1.11

Развернем $(\sec (x) - \tan (x)) (\sec (x) \tan (x) + \sec^{2} (x))$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.11.1

Применим свойство дистрибутивности.

$- \sec (x) + \sec (x) (\sec (x) \tan (x) + \sec^{2} (x)) - \tan (x) (\sec (x) \tan (x) + \sec^{2} (x))$

Этап 9.1.11.2

Применим свойство дистрибутивности.

$- \sec (x) + \sec (x) (\sec (x) \tan (x)) + \sec (x) \sec^{2} (x) - \tan (x) (\sec (x) \tan (x) + \sec^{2} (x))$

Этап 9.1.11.3

Применим свойство дистрибутивности.

$- \sec (x) + \sec (x) (\sec (x) \tan (x)) + \sec (x) \sec^{2} (x) - \tan (x) (\sec (x) \tan (x)) - \tan (x) \sec^{2} (x)$

Этап 9.1.12

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.12.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.12.1.1

Умножим $\sec (x) (\sec (x) \tan (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.12.1.1.1

Возведем $\sec (x)$ в степень $1$ .

$- \sec (x) + \sec^{1} (x) \sec (x) \tan (x) + \sec (x) \sec^{2} (x) - \tan (x) (\sec (x) \tan (x)) - \tan (x) \sec^{2} (x)$

Этап 9.1.12.1.1.2

Возведем $\sec (x)$ в степень $1$ .

$- \sec (x) + \sec^{1} (x) \sec^{1} (x) \tan (x) + \sec (x) \sec^{2} (x) - \tan (x) (\sec (x) \tan (x)) - \tan (x) \sec^{2} (x)$

Этап 9.1.12.1.1.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$- \sec (x) + {\sec (x)}^{1 + 1} \tan (x) + \sec (x) \sec^{2} (x) - \tan (x) (\sec (x) \tan (x)) - \tan (x) \sec^{2} (x)$

Этап 9.1.12.1.1.4

Добавим $1$ и $1$ .

$- \sec (x) + \sec^{2} (x) \tan (x) + \sec (x) \sec^{2} (x) - \tan (x) (\sec (x) \tan (x)) - \tan (x) \sec^{2} (x)$

Этап 9.1.12.1.2

Умножим $\sec (x)$ на $\sec^{2} (x)$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.12.1.2.1

Умножим $\sec (x)$ на $\sec^{2} (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.12.1.2.1.1

Возведем $\sec (x)$ в степень $1$ .

$- \sec (x) + \sec^{2} (x) \tan (x) + \sec^{1} (x) \sec^{2} (x) - \tan (x) (\sec (x) \tan (x)) - \tan (x) \sec^{2} (x)$

Этап 9.1.12.1.2.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$- \sec (x) + \sec^{2} (x) \tan (x) + {\sec (x)}^{1 + 2} - \tan (x) (\sec (x) \tan (x)) - \tan (x) \sec^{2} (x)$

Этап 9.1.12.1.2.2

Добавим $1$ и $2$ .

$- \sec (x) + \sec^{2} (x) \tan (x) + \sec^{3} (x) - \tan (x) (\sec (x) \tan (x)) - \tan (x) \sec^{2} (x)$

Этап 9.1.12.1.3

Умножим $- \tan (x) (\sec (x) \tan (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.12.1.3.1

Возведем $\tan (x)$ в степень $1$ .

$- \sec (x) + \sec^{2} (x) \tan (x) + \sec^{3} (x) - (\tan^{1} (x) \tan (x)) \sec (x) - \tan (x) \sec^{2} (x)$

Этап 9.1.12.1.3.2

Возведем $\tan (x)$ в степень $1$ .

$- \sec (x) + \sec^{2} (x) \tan (x) + \sec^{3} (x) - (\tan^{1} (x) \tan^{1} (x)) \sec (x) - \tan (x) \sec^{2} (x)$

Этап 9.1.12.1.3.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$- \sec (x) + \sec^{2} (x) \tan (x) + \sec^{3} (x) - {\tan (x)}^{1 + 1} \sec (x) - \tan (x) \sec^{2} (x)$

Этап 9.1.12.1.3.4

Добавим $1$ и $1$ .

$- \sec (x) + \sec^{2} (x) \tan (x) + \sec^{3} (x) - \tan^{2} (x) \sec (x) - \tan (x) \sec^{2} (x)$

Этап 9.1.12.2

Изменим порядок множителей в $- \tan (x) \sec^{2} (x)$ .

$- \sec (x) + \sec^{2} (x) \tan (x) + \sec^{3} (x) - \tan^{2} (x) \sec (x) - \sec^{2} (x) \tan (x)$

Этап 9.1.12.3

Вычтем $\sec^{2} (x) \tan (x)$ из $\sec^{2} (x) \tan (x)$ .

$- \sec (x) + 0 + \sec^{3} (x) - \tan^{2} (x) \sec (x)$

Этап 9.1.12.4

Добавим $0$ и $\sec^{3} (x)$ .

$- \sec (x) + \sec^{3} (x) - \tan^{2} (x) \sec (x)$

Этап 9.1.13

Вынесем множитель $\sec (x)$ из $\sec^{3} (x) - \tan^{2} (x) \sec (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.13.1

Вынесем множитель $\sec (x)$ из $\sec^{3} (x)$ .

$- \sec (x) + \sec (x) \sec^{2} (x) - \tan^{2} (x) \sec (x)$

Этап 9.1.13.2

Вынесем множитель $\sec (x)$ из $- \tan^{2} (x) \sec (x)$ .

$- \sec (x) + \sec (x) \sec^{2} (x) + \sec (x) (- \tan^{2} (x))$

Этап 9.1.13.3

Вынесем множитель $\sec (x)$ из $\sec (x) \sec^{2} (x) + \sec (x) (- \tan^{2} (x))$ .

$- \sec (x) + \sec (x) (\sec^{2} (x) - \tan^{2} (x))$

Этап 9.1.14

Применим формулу Пифагора.

$- \sec (x) + \sec (x) \cdot 1$

Этап 9.1.15

Умножим $\sec (x)$ на $1$ .

$- \sec (x) + \sec (x)$

Этап 9.2

Добавим $- \sec (x)$ и $\sec (x)$ .

$0$