Математический анализ Примеры

$y = (9 x^{4} - x + 3) (6 - x^{6})$

Этап 1

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = 9 x^{4} - x + 3$ и $g (x) = 6 - x^{6}$ .

$(9 x^{4} - x + 3) \frac{d}{d x} [6 - x^{6}] + (6 - x^{6}) \frac{d}{d x} [9 x^{4} - x + 3]$

Этап 2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $6 - x^{6}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [6] + \frac{d}{d x} [- x^{6}]$ .

$(9 x^{4} - x + 3) (\frac{d}{d x} [6] + \frac{d}{d x} [- x^{6}]) + (6 - x^{6}) \frac{d}{d x} [9 x^{4} - x + 3]$

Этап 2.2

Поскольку $6$ является константой относительно $x$ , производная $6$ относительно $x$ равна $0$ .

$(9 x^{4} - x + 3) (0 + \frac{d}{d x} [- x^{6}]) + (6 - x^{6}) \frac{d}{d x} [9 x^{4} - x + 3]$

Этап 2.3

Добавим $0$ и $\frac{d}{d x} [- x^{6}]$ .

$(9 x^{4} - x + 3) \frac{d}{d x} [- x^{6}] + (6 - x^{6}) \frac{d}{d x} [9 x^{4} - x + 3]$

Этап 2.4

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x^{6}$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x^{6}]$ .

$(9 x^{4} - x + 3) (- \frac{d}{d x} [x^{6}]) + (6 - x^{6}) \frac{d}{d x} [9 x^{4} - x + 3]$

Этап 2.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 6$ .

$(9 x^{4} - x + 3) (- (6 x^{5})) + (6 - x^{6}) \frac{d}{d x} [9 x^{4} - x + 3]$

Этап 2.6

Умножим $6$ на $- 1$ .

$(9 x^{4} - x + 3) (- 6 x^{5}) + (6 - x^{6}) \frac{d}{d x} [9 x^{4} - x + 3]$

Этап 2.7

По правилу суммы производная $9 x^{4} - x + 3$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [9 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$(9 x^{4} - x + 3) (- 6 x^{5}) + (6 - x^{6}) (\frac{d}{d x} [9 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [3])$

Этап 2.8

Поскольку $9$ является константой относительно $x$ , производная $9 x^{4}$ по $x$ равна $9 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$(9 x^{4} - x + 3) (- 6 x^{5}) + (6 - x^{6}) (9 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [3])$

Этап 2.9

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 4$ .

$(9 x^{4} - x + 3) (- 6 x^{5}) + (6 - x^{6}) (9 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [3])$

Этап 2.10

Умножим $4$ на $9$ .

$(9 x^{4} - x + 3) (- 6 x^{5}) + (6 - x^{6}) (36 x^{3} + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [3])$

Этап 2.11

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$(9 x^{4} - x + 3) (- 6 x^{5}) + (6 - x^{6}) (36 x^{3} - \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3])$

Этап 2.12

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$(9 x^{4} - x + 3) (- 6 x^{5}) + (6 - x^{6}) (36 x^{3} - 1 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [3])$

Этап 2.13

Умножим $- 1$ на $1$ .

$(9 x^{4} - x + 3) (- 6 x^{5}) + (6 - x^{6}) (36 x^{3} - 1 + \frac{d}{d x} [3])$

Этап 2.14

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3$ относительно $x$ равна $0$ .

$(9 x^{4} - x + 3) (- 6 x^{5}) + (6 - x^{6}) (36 x^{3} - 1 + 0)$

Этап 2.15

Добавим $36 x^{3} - 1$ и $0$ .

$(9 x^{4} - x + 3) (- 6 x^{5}) + (6 - x^{6}) (36 x^{3} - 1)$

Этап 3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$9 x^{4} (- 6 x^{5}) - x (- 6 x^{5}) + 3 (- 6 x^{5}) + (6 - x^{6}) (36 x^{3} - 1)$

Этап 3.2

Применим свойство дистрибутивности.

$9 x^{4} (- 6 x^{5}) - x (- 6 x^{5}) + 3 (- 6 x^{5}) + (6 - x^{6}) (36 x^{3}) + (6 - x^{6}) \cdot - 1$

Этап 3.3

Применим свойство дистрибутивности.

$9 x^{4} (- 6 x^{5}) - x (- 6 x^{5}) + 3 (- 6 x^{5}) + 6 (36 x^{3}) - x^{6} (36 x^{3}) + (6 - x^{6}) \cdot - 1$

Этап 3.4

Применим свойство дистрибутивности.

$9 x^{4} (- 6 x^{5}) - x (- 6 x^{5}) + 3 (- 6 x^{5}) + 6 (36 x^{3}) - x^{6} (36 x^{3}) + 6 \cdot - 1 - x^{6} \cdot - 1$

Этап 3.5

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Умножим $- 6$ на $9$ .

$- 54 x^{4} x^{5} - x (- 6 x^{5}) + 3 (- 6 x^{5}) + 6 (36 x^{3}) - x^{6} (36 x^{3}) + 6 \cdot - 1 - x^{6} \cdot - 1$

Этап 3.5.2

Умножим $x^{4}$ на $x^{5}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.1

Перенесем $x^{5}$ .

$- 54 (x^{5} x^{4}) - x (- 6 x^{5}) + 3 (- 6 x^{5}) + 6 (36 x^{3}) - x^{6} (36 x^{3}) + 6 \cdot - 1 - x^{6} \cdot - 1$

Этап 3.5.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$- 54 x^{5 + 4} - x (- 6 x^{5}) + 3 (- 6 x^{5}) + 6 (36 x^{3}) - x^{6} (36 x^{3}) + 6 \cdot - 1 - x^{6} \cdot - 1$

Этап 3.5.2.3

Добавим $5$ и $4$ .

$- 54 x^{9} - x (- 6 x^{5}) + 3 (- 6 x^{5}) + 6 (36 x^{3}) - x^{6} (36 x^{3}) + 6 \cdot - 1 - x^{6} \cdot - 1$

Этап 3.5.3

Умножим $- 6$ на $- 1$ .

$- 54 x^{9} + 6 x \cdot x^{5} + 3 (- 6 x^{5}) + 6 (36 x^{3}) - x^{6} (36 x^{3}) + 6 \cdot - 1 - x^{6} \cdot - 1$

Этап 3.5.4

Умножим $x$ на $x^{5}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.4.1

Перенесем $x^{5}$ .

$- 54 x^{9} + 6 (x^{5} x) + 3 (- 6 x^{5}) + 6 (36 x^{3}) - x^{6} (36 x^{3}) + 6 \cdot - 1 - x^{6} \cdot - 1$

Этап 3.5.4.2

Умножим $x^{5}$ на $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.4.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$- 54 x^{9} + 6 (x^{5} x^{1}) + 3 (- 6 x^{5}) + 6 (36 x^{3}) - x^{6} (36 x^{3}) + 6 \cdot - 1 - x^{6} \cdot - 1$

Этап 3.5.4.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$- 54 x^{9} + 6 x^{5 + 1} + 3 (- 6 x^{5}) + 6 (36 x^{3}) - x^{6} (36 x^{3}) + 6 \cdot - 1 - x^{6} \cdot - 1$

Этап 3.5.4.3

Добавим $5$ и $1$ .

$- 54 x^{9} + 6 x^{6} + 3 (- 6 x^{5}) + 6 (36 x^{3}) - x^{6} (36 x^{3}) + 6 \cdot - 1 - x^{6} \cdot - 1$

Этап 3.5.5

Умножим $- 6$ на $3$ .

$- 54 x^{9} + 6 x^{6} - 18 x^{5} + 6 (36 x^{3}) - x^{6} (36 x^{3}) + 6 \cdot - 1 - x^{6} \cdot - 1$

Этап 3.5.6

Умножим $36$ на $6$ .

$- 54 x^{9} + 6 x^{6} - 18 x^{5} + 216 x^{3} - x^{6} (36 x^{3}) + 6 \cdot - 1 - x^{6} \cdot - 1$

Этап 3.5.7

Умножим $36$ на $- 1$ .

$- 54 x^{9} + 6 x^{6} - 18 x^{5} + 216 x^{3} - 36 x^{6} x^{3} + 6 \cdot - 1 - x^{6} \cdot - 1$

Этап 3.5.8

Умножим $x^{6}$ на $x^{3}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.8.1

Перенесем $x^{3}$ .

$- 54 x^{9} + 6 x^{6} - 18 x^{5} + 216 x^{3} - 36 (x^{3} x^{6}) + 6 \cdot - 1 - x^{6} \cdot - 1$

Этап 3.5.8.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$- 54 x^{9} + 6 x^{6} - 18 x^{5} + 216 x^{3} - 36 x^{3 + 6} + 6 \cdot - 1 - x^{6} \cdot - 1$

Этап 3.5.8.3

Добавим $3$ и $6$ .

$- 54 x^{9} + 6 x^{6} - 18 x^{5} + 216 x^{3} - 36 x^{9} + 6 \cdot - 1 - x^{6} \cdot - 1$

Этап 3.5.9

Умножим $6$ на $- 1$ .

$- 54 x^{9} + 6 x^{6} - 18 x^{5} + 216 x^{3} - 36 x^{9} - 6 - x^{6} \cdot - 1$

Этап 3.5.10

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$- 54 x^{9} + 6 x^{6} - 18 x^{5} + 216 x^{3} - 36 x^{9} - 6 + 1 x^{6}$

Этап 3.5.11

Умножим $x^{6}$ на $1$ .

$- 54 x^{9} + 6 x^{6} - 18 x^{5} + 216 x^{3} - 36 x^{9} - 6 + x^{6}$

Этап 3.5.12

Вычтем $36 x^{9}$ из $- 54 x^{9}$ .

$- 90 x^{9} + 6 x^{6} - 18 x^{5} + 216 x^{3} - 6 + x^{6}$

Этап 3.5.13

Добавим $6 x^{6}$ и $x^{6}$ .

$- 90 x^{9} + 7 x^{6} - 18 x^{5} + 216 x^{3} - 6$