Математический анализ Примеры

$63 x^{2} {(3 x^{3} + 7)}^{6}$

Этап 1

Поскольку $63$ является константой относительно $x$ , производная $63 x^{2} {(3 x^{3} + 7)}^{6}$ по $x$ равна $63 \frac{d}{d x} [x^{2} {(3 x^{3} + 7)}^{6}]$ .

$63 \frac{d}{d x} [x^{2} {(3 x^{3} + 7)}^{6}]$

Этап 2

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x^{2}$ и $g (x) = {(3 x^{3} + 7)}^{6}$ .

$63 (x^{2} \frac{d}{d x} [{(3 x^{3} + 7)}^{6}] + {(3 x^{3} + 7)}^{6} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Этап 3

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{6}$ и $g (x) = 3 x^{3} + 7$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $3 x^{3} + 7$ .

$63 (x^{2} (\frac{d}{d u} [u^{6}] \frac{d}{d x} [3 x^{3} + 7]) + {(3 x^{3} + 7)}^{6} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Этап 3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 6$ .

$63 (x^{2} (6 u^{5} \frac{d}{d x} [3 x^{3} + 7]) + {(3 x^{3} + 7)}^{6} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Этап 3.3

Заменим все вхождения $u$ на $3 x^{3} + 7$ .

$63 (x^{2} (6 {(3 x^{3} + 7)}^{5} \frac{d}{d x} [3 x^{3} + 7]) + {(3 x^{3} + 7)}^{6} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Этап 4

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

По правилу суммы производная $3 x^{3} + 7$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [7]$ .

$63 (x^{2} (6 {(3 x^{3} + 7)}^{5} (\frac{d}{d x} [3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [7])) + {(3 x^{3} + 7)}^{6} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Этап 4.2

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 x^{3}$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$63 (x^{2} (6 {(3 x^{3} + 7)}^{5} (3 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [7])) + {(3 x^{3} + 7)}^{6} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Этап 4.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$63 (x^{2} (6 {(3 x^{3} + 7)}^{5} (3 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [7])) + {(3 x^{3} + 7)}^{6} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Этап 4.4

Умножим $3$ на $3$ .

$63 (x^{2} (6 {(3 x^{3} + 7)}^{5} (9 x^{2} + \frac{d}{d x} [7])) + {(3 x^{3} + 7)}^{6} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Этап 4.5

Поскольку $7$ является константой относительно $x$ , производная $7$ относительно $x$ равна $0$ .

$63 (x^{2} (6 {(3 x^{3} + 7)}^{5} (9 x^{2} + 0)) + {(3 x^{3} + 7)}^{6} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Этап 4.6

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.1

Добавим $9 x^{2}$ и $0$ .

$63 (x^{2} (6 {(3 x^{3} + 7)}^{5} (9 x^{2})) + {(3 x^{3} + 7)}^{6} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Этап 4.6.2

Умножим $9$ на $6$ .

$63 (x^{2} (54 {(3 x^{3} + 7)}^{5} x^{2}) + {(3 x^{3} + 7)}^{6} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Этап 5

Умножим $x^{2}$ на $x^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Перенесем $x^{2}$ .

$63 (x^{2} x^{2} (54 {(3 x^{3} + 7)}^{5}) + {(3 x^{3} + 7)}^{6} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Этап 5.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$63 (x^{2 + 2} (54 {(3 x^{3} + 7)}^{5}) + {(3 x^{3} + 7)}^{6} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Этап 5.3

Добавим $2$ и $2$ .

$63 (x^{4} (54 {(3 x^{3} + 7)}^{5}) + {(3 x^{3} + 7)}^{6} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Этап 6

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$63 (x^{4} (54 {(3 x^{3} + 7)}^{5}) + {(3 x^{3} + 7)}^{6} (2 x))$

Этап 7

Перенесем $2$ влево от ${(3 x^{3} + 7)}^{6}$ .

$63 (x^{4} (54 {(3 x^{3} + 7)}^{5}) + 2 \cdot {(3 x^{3} + 7)}^{6} x)$

Этап 8

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Применим свойство дистрибутивности.

$63 (x^{4} (54 {(3 x^{3} + 7)}^{5})) + 63 (2 {(3 x^{3} + 7)}^{6} x)$

Этап 8.2

Умножим $54$ на $63$ .

$3402 (x^{4} ({(3 x^{3} + 7)}^{5})) + 63 (2 {(3 x^{3} + 7)}^{6} x)$

Этап 8.3

Умножим $2$ на $63$ .

$3402 x^{4} {(3 x^{3} + 7)}^{5} + 126 ({(3 x^{3} + 7)}^{6} x)$

Этап 8.4

Вынесем множитель $126 x {(3 x^{3} + 7)}^{5}$ из $3402 x^{4} {(3 x^{3} + 7)}^{5} + 126 {(3 x^{3} + 7)}^{6} x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.4.1

Вынесем множитель $126 x {(3 x^{3} + 7)}^{5}$ из $3402 x^{4} {(3 x^{3} + 7)}^{5}$ .

$126 x {(3 x^{3} + 7)}^{5} (27 x^{3}) + 126 {(3 x^{3} + 7)}^{6} x$

Этап 8.4.2

Вынесем множитель $126 x {(3 x^{3} + 7)}^{5}$ из $126 {(3 x^{3} + 7)}^{6} x$ .

$126 x {(3 x^{3} + 7)}^{5} (27 x^{3}) + 126 x {(3 x^{3} + 7)}^{5} (3 x^{3} + 7)$

Этап 8.4.3

Вынесем множитель $126 x {(3 x^{3} + 7)}^{5}$ из $126 x {(3 x^{3} + 7)}^{5} (27 x^{3}) + 126 x {(3 x^{3} + 7)}^{5} (3 x^{3} + 7)$ .

$126 x {(3 x^{3} + 7)}^{5} (27 x^{3} + 3 x^{3} + 7)$

Этап 8.5

Добавим $27 x^{3}$ и $3 x^{3}$ .

$126 x {(3 x^{3} + 7)}^{5} (30 x^{3} + 7)$