Математический анализ Примеры

$f (x) = \frac{e^{x}}{1 + 2 e^{x}}$

Этап 1

Запишем $f (x) = \frac{e^{x}}{1 + 2 e^{x}}$ в виде уравнения.

$y = \frac{e^{x}}{1 + 2 e^{x}}$

Этап 2

Поменяем переменные местами.

$x = \frac{e^{y}}{1 + 2 e^{y}}$

Этап 3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перепишем уравнение в виде $\frac{e^{y}}{1 + 2 e^{y}} = x$ .

$\frac{e^{y}}{1 + 2 e^{y}} = x$

Этап 3.2

Умножим обе части на $1 + 2 e^{y}$ .

$\frac{e^{y}}{1 + 2 e^{y}} (1 + 2 e^{y}) = x (1 + 2 e^{y})$

Этап 3.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1

Сократим общий множитель $1 + 2 e^{y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{e^{y}}{1 + 2 e^{y}} (1 + 2 e^{y}) = x (1 + 2 e^{y})$

Этап 3.3.1.1.2

Перепишем это выражение.

$e^{y} = x (1 + 2 e^{y})$

Этап 3.3.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Упростим $x (1 + 2 e^{y})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$e^{y} = x \cdot 1 + x (2 e^{y})$

Этап 3.3.2.1.2

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1.2.1

Умножим $x$ на $1$ .

$e^{y} = x + x (2 e^{y})$

Этап 3.3.2.1.2.2

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$e^{y} = x + 2 x e^{y}$

Этап 3.4

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Вычтем $2 x e^{y}$ из обеих частей уравнения.

$e^{y} - 2 x e^{y} = x$

Этап 3.4.2

Вынесем множитель $e^{y}$ из $e^{y} - 2 x e^{y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1

Умножим на $1$ .

$e^{y} \cdot 1 - 2 x e^{y} = x$

Этап 3.4.2.2

Вынесем множитель $e^{y}$ из $- 2 x e^{y}$ .

$e^{y} \cdot 1 + e^{y} (- 2 x) = x$

Этап 3.4.2.3

Вынесем множитель $e^{y}$ из $e^{y} \cdot 1 + e^{y} (- 2 x)$ .

$e^{y} (1 - 2 x) = x$

Этап 3.4.3

Разделим каждый член $e^{y} (1 - 2 x) = x$ на $1 - 2 x$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.3.1

Разделим каждый член $e^{y} (1 - 2 x) = x$ на $1 - 2 x$ .

$\frac{e^{y} (1 - 2 x)}{1 - 2 x} = \frac{x}{1 - 2 x}$

Этап 3.4.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.3.2.1

Сократим общий множитель $1 - 2 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{e^{y} (1 - 2 x)}{1 - 2 x} = \frac{x}{1 - 2 x}$

Этап 3.4.3.2.1.2

Разделим $e^{y}$ на $1$ .

$e^{y} = \frac{x}{1 - 2 x}$

Этап 3.4.4

Возьмем натуральный логарифм обеих частей уравнения, чтобы удалить переменную из показателя степени.

$\ln (e^{y}) = \ln (\frac{x}{1 - 2 x})$

Этап 3.4.5

Развернем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.5.1

Развернем $\ln (e^{y})$ , вынося $y$ из логарифма.

$y \ln (e) = \ln (\frac{x}{1 - 2 x})$

Этап 3.4.5.2

Натуральный логарифм $e$ равен $1$ .

$y \cdot 1 = \ln (\frac{x}{1 - 2 x})$

Этап 3.4.5.3

Умножим $y$ на $1$ .

$y = \ln (\frac{x}{1 - 2 x})$

Этап 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \ln (\frac{x}{1 - 2 x})$

Этап 5

Проверим, является ли $f^{- 1} (x) = \ln (\frac{x}{1 - 2 x})$ обратной к $f (x) = \frac{e^{x}}{1 + 2 e^{x}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Чтобы подтвердить обратную, проверим выполнение условий $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Этап 5.2

Найдем значение $f^{- 1} (f (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f^{- 1} (f (x))$

Этап 5.2.2

Найдем значение $f^{- 1} (\frac{e^{x}}{1 + 2 e^{x}})$ , подставив значение $f$ в $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{e^{x}}{1 + 2 e^{x}}) = \ln (\frac{\frac{e^{x}}{1 + 2 e^{x}}}{1 - 2 \frac{e^{x}}{1 + 2 e^{x}}})$

Этап 5.2.3

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$f^{- 1} (\frac{e^{x}}{1 + 2 e^{x}}) = \ln (\frac{e^{x}}{1 + 2 e^{x}} \cdot \frac{1}{1 - 2 \frac{e^{x}}{1 + 2 e^{x}}})$

Этап 5.2.4

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.4.1

Объединим $- 2$ и $\frac{e^{x}}{1 + 2 e^{x}}$ .

$f^{- 1} (\frac{e^{x}}{1 + 2 e^{x}}) = \ln (\frac{e^{x}}{1 + 2 e^{x}} \cdot \frac{1}{1 + \frac{- 2 e^{x}}{1 + 2 e^{x}}})$

Этап 5.2.4.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f^{- 1} (\frac{e^{x}}{1 + 2 e^{x}}) = \ln (\frac{e^{x}}{1 + 2 e^{x}} \cdot \frac{1}{1 - \frac{(2) e^{x}}{1 + 2 e^{x}}})$

Этап 5.2.4.3

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$f^{- 1} (\frac{e^{x}}{1 + 2 e^{x}}) = \ln (\frac{e^{x}}{1 + 2 e^{x}} \cdot \frac{1}{\frac{1 + 2 e^{x}}{1 + 2 e^{x}} - \frac{2 e^{x}}{1 + 2 e^{x}}})$

Этап 5.2.4.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$f^{- 1} (\frac{e^{x}}{1 + 2 e^{x}}) = \ln (\frac{e^{x}}{1 + 2 e^{x}} \cdot \frac{1}{\frac{1 + 2 e^{x} - 2 e^{x}}{1 + 2 e^{x}}})$

Этап 5.2.4.5

Изменим порядок членов.

$f^{- 1} (\frac{e^{x}}{1 + 2 e^{x}}) = \ln (\frac{e^{x}}{1 + 2 e^{x}} \cdot \frac{1}{\frac{2 e^{x} + 1 - 2 e^{x}}{2 e^{x} + 1}})$

Этап 5.2.4.6

Перепишем $\frac{2 e^{x} + 1 - 2 e^{x}}{2 e^{x} + 1}$ в разложенном на множители виде.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.4.6.1

Вычтем $2 e^{x}$ из $2 e^{x}$ .

$f^{- 1} (\frac{e^{x}}{1 + 2 e^{x}}) = \ln (\frac{e^{x}}{1 + 2 e^{x}} \cdot \frac{1}{\frac{0 + 1}{2 e^{x} + 1}})$

Этап 5.2.4.6.2

Добавим $0$ и $1$ .

$f^{- 1} (\frac{e^{x}}{1 + 2 e^{x}}) = \ln (\frac{e^{x}}{1 + 2 e^{x}} \cdot \frac{1}{\frac{1}{2 e^{x} + 1}})$

Этап 5.2.5

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$f^{- 1} (\frac{e^{x}}{1 + 2 e^{x}}) = \ln (\frac{e^{x}}{1 + 2 e^{x}} \cdot (1 (2 e^{x} + 1)))$

Этап 5.2.6

Умножим $2 e^{x} + 1$ на $1$ .

$f^{- 1} (\frac{e^{x}}{1 + 2 e^{x}}) = \ln (\frac{e^{x}}{1 + 2 e^{x}} \cdot (2 e^{x} + 1))$

Этап 5.2.7

Умножим $\frac{e^{x}}{1 + 2 e^{x}}$ на $2 e^{x} + 1$ .

$f^{- 1} (\frac{e^{x}}{1 + 2 e^{x}}) = \ln (\frac{e^{x} (2 e^{x} + 1)}{1 + 2 e^{x}})$

Этап 5.2.8

Сократим общий множитель $2 e^{x} + 1$ и $1 + 2 e^{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.8.1

Изменим порядок членов.

$f^{- 1} (\frac{e^{x}}{1 + 2 e^{x}}) = \ln (\frac{e^{x} (2 e^{x} + 1)}{2 e^{x} + 1})$

Этап 5.2.8.2

Сократим общий множитель.

$f^{- 1} (\frac{e^{x}}{1 + 2 e^{x}}) = \ln (\frac{e^{x} (2 e^{x} + 1)}{2 e^{x} + 1})$

Этап 5.2.8.3

Разделим $e^{x}$ на $1$ .

$f^{- 1} (\frac{e^{x}}{1 + 2 e^{x}}) = \ln (e^{x})$

Этап 5.2.9

Используем основные свойства логарифмов, чтобы вынести $x$ из степени.

$f^{- 1} (\frac{e^{x}}{1 + 2 e^{x}}) = x \ln (e)$

Этап 5.2.10

Натуральный логарифм $e$ равен $1$ .

$f^{- 1} (\frac{e^{x}}{1 + 2 e^{x}}) = x \cdot 1$

Этап 5.2.11

Умножим $x$ на $1$ .

$f^{- 1} (\frac{e^{x}}{1 + 2 e^{x}}) = x$

Этап 5.3

Найдем значение $f (f^{- 1} (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f (f^{- 1} (x))$

Этап 5.3.2

Найдем значение $f (\ln (\frac{x}{1 - 2 x}))$ , подставив значение $f^{- 1}$ в $f$ .

$f (\ln (\frac{x}{1 - 2 x})) = \frac{e^{\ln (\frac{x}{1 - 2 x})}}{1 + 2 e^{\ln (\frac{x}{1 - 2 x})}}$

Этап 5.3.3

Экспонента и логарифм являются обратными функциями.

$f (\ln (\frac{x}{1 - 2 x})) = \frac{\frac{x}{1 - 2 x}}{1 + 2 e^{\ln (\frac{x}{1 - 2 x})}}$

Этап 5.3.4

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.4.1

Экспонента и логарифм являются обратными функциями.

$f (\ln (\frac{x}{1 - 2 x})) = \frac{\frac{x}{1 - 2 x}}{1 + 2 (\frac{x}{1 - 2 x})}$

Этап 5.3.4.2

Объединим $2$ и $\frac{x}{1 - 2 x}$ .

$f (\ln (\frac{x}{1 - 2 x})) = \frac{\frac{x}{1 - 2 x}}{1 + \frac{2 x}{1 - 2 x}}$

Этап 5.3.4.3

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$f (\ln (\frac{x}{1 - 2 x})) = \frac{\frac{x}{1 - 2 x}}{\frac{1 - 2 x}{1 - 2 x} + \frac{2 x}{1 - 2 x}}$

Этап 5.3.4.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (\ln (\frac{x}{1 - 2 x})) = \frac{\frac{x}{1 - 2 x}}{\frac{1 - 2 x + 2 x}{1 - 2 x}}$

Этап 5.3.4.5

Перепишем $\frac{1 - 2 x + 2 x}{1 - 2 x}$ в разложенном на множители виде.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.4.5.1

Добавим $- 2 x$ и $2 x$ .

$f (\ln (\frac{x}{1 - 2 x})) = \frac{\frac{x}{1 - 2 x}}{\frac{1 + 0}{1 - 2 x}}$

Этап 5.3.4.5.2

Добавим $1$ и $0$ .

$f (\ln (\frac{x}{1 - 2 x})) = \frac{\frac{x}{1 - 2 x}}{\frac{1}{1 - 2 x}}$

Этап 5.3.5

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$f (\ln (\frac{x}{1 - 2 x})) = \frac{x}{1 - 2 x} \cdot (1 - 2 x)$

Этап 5.3.6

Сократим общий множитель $1 - 2 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.6.1

Сократим общий множитель.

$f (\ln (\frac{x}{1 - 2 x})) = \frac{x}{1 - 2 x} \cdot (1 - 2 x)$

Этап 5.3.6.2

Перепишем это выражение.

$f (\ln (\frac{x}{1 - 2 x})) = x$

Этап 5.4

Так как $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ , то $f^{- 1} (x) = \ln (\frac{x}{1 - 2 x})$ — обратная к $f (x) = \frac{e^{x}}{1 + 2 e^{x}}$ .

$f^{- 1} (x) = \ln (\frac{x}{1 - 2 x})$