Математический анализ Примеры

$f (x) = \sqrt{\frac{1 - 2 x}{1 + 2 x}}$

Этап 1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{\frac{1 - 2 x}{1 + 2 x}}$ в виде ${(\frac{1 - 2 x}{1 + 2 x})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [{(\frac{1 - 2 x}{1 + 2 x})}^{\frac{1}{2}}]$

Этап 2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ и $g (x) = \frac{1 - 2 x}{1 + 2 x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $\frac{1 - 2 x}{1 + 2 x}$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [\frac{1 - 2 x}{1 + 2 x}]$

Этап 2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [\frac{1 - 2 x}{1 + 2 x}]$

Этап 2.3

Заменим все вхождения $u$ на $\frac{1 - 2 x}{1 + 2 x}$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{1 - 2 x}{1 + 2 x})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [\frac{1 - 2 x}{1 + 2 x}]$

Этап 3

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{1 - 2 x}{1 + 2 x})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{1 - 2 x}{1 + 2 x}]$

Этап 4

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{1 - 2 x}{1 + 2 x})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{1 - 2 x}{1 + 2 x}]$

Этап 5

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{1}{2} {(\frac{1 - 2 x}{1 + 2 x})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{1 - 2 x}{1 + 2 x}]$

Этап 6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{1 - 2 x}{1 + 2 x})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{1 - 2 x}{1 + 2 x}]$

Этап 6.2

Вычтем $2$ из $1$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{1 - 2 x}{1 + 2 x})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{1 - 2 x}{1 + 2 x}]$

Этап 7

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{1}{2} {(\frac{1 - 2 x}{1 + 2 x})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{1 - 2 x}{1 + 2 x}]$

Этап 8

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = 1 - 2 x$ и $g (x) = 1 + 2 x$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{1 - 2 x}{1 + 2 x})}^{- \frac{1}{2}} \frac{(1 + 2 x) \frac{d}{d x} [1 - 2 x] - (1 - 2 x) \frac{d}{d x} [1 + 2 x]}{{(1 + 2 x)}^{2}}$

Этап 9

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

По правилу суммы производная $1 - 2 x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{1 - 2 x}{1 + 2 x})}^{- \frac{1}{2}} \frac{(1 + 2 x) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 2 x]) - (1 - 2 x) \frac{d}{d x} [1 + 2 x]}{{(1 + 2 x)}^{2}}$

Этап 9.2

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{1 - 2 x}{1 + 2 x})}^{- \frac{1}{2}} \frac{(1 + 2 x) (0 + \frac{d}{d x} [- 2 x]) - (1 - 2 x) \frac{d}{d x} [1 + 2 x]}{{(1 + 2 x)}^{2}}$

Этап 9.3

Добавим $0$ и $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{1 - 2 x}{1 + 2 x})}^{- \frac{1}{2}} \frac{(1 + 2 x) \frac{d}{d x} [- 2 x] - (1 - 2 x) \frac{d}{d x} [1 + 2 x]}{{(1 + 2 x)}^{2}}$

Этап 9.4

Поскольку $- 2$ является константой относительно $x$ , производная $- 2 x$ по $x$ равна $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{1 - 2 x}{1 + 2 x})}^{- \frac{1}{2}} \frac{(1 + 2 x) (- 2 \frac{d}{d x} [x]) - (1 - 2 x) \frac{d}{d x} [1 + 2 x]}{{(1 + 2 x)}^{2}}$

Этап 9.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{1 - 2 x}{1 + 2 x})}^{- \frac{1}{2}} \frac{(1 + 2 x) (- 2 \cdot 1) - (1 - 2 x) \frac{d}{d x} [1 + 2 x]}{{(1 + 2 x)}^{2}}$

Этап 9.6

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.6.1

Умножим $- 2$ на $1$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{1 - 2 x}{1 + 2 x})}^{- \frac{1}{2}} \frac{(1 + 2 x) \cdot - 2 - (1 - 2 x) \frac{d}{d x} [1 + 2 x]}{{(1 + 2 x)}^{2}}$

Этап 9.6.2

Перенесем $- 2$ влево от $1 + 2 x$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{1 - 2 x}{1 + 2 x})}^{- \frac{1}{2}} \frac{- 2 \cdot (1 + 2 x) - (1 - 2 x) \frac{d}{d x} [1 + 2 x]}{{(1 + 2 x)}^{2}}$

Этап 9.7

По правилу суммы производная $1 + 2 x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [2 x]$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{1 - 2 x}{1 + 2 x})}^{- \frac{1}{2}} \frac{- 2 (1 + 2 x) - (1 - 2 x) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [2 x])}{{(1 + 2 x)}^{2}}$

Этап 9.8

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{1 - 2 x}{1 + 2 x})}^{- \frac{1}{2}} \frac{- 2 (1 + 2 x) - (1 - 2 x) (0 + \frac{d}{d x} [2 x])}{{(1 + 2 x)}^{2}}$

Этап 9.9

Добавим $0$ и $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{1 - 2 x}{1 + 2 x})}^{- \frac{1}{2}} \frac{- 2 (1 + 2 x) - (1 - 2 x) \frac{d}{d x} [2 x]}{{(1 + 2 x)}^{2}}$

Этап 9.10

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{1 - 2 x}{1 + 2 x})}^{- \frac{1}{2}} \frac{- 2 (1 + 2 x) - (1 - 2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])}{{(1 + 2 x)}^{2}}$

Этап 9.11

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{1 - 2 x}{1 + 2 x})}^{- \frac{1}{2}} \frac{- 2 (1 + 2 x) - 2 (1 - 2 x) \frac{d}{d x} [x]}{{(1 + 2 x)}^{2}}$

Этап 9.12

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{1 - 2 x}{1 + 2 x})}^{- \frac{1}{2}} \frac{- 2 (1 + 2 x) - 2 (1 - 2 x) \cdot 1}{{(1 + 2 x)}^{2}}$

Этап 9.13

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.13.1

Умножим $- 2$ на $1$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{1 - 2 x}{1 + 2 x})}^{- \frac{1}{2}} \frac{- 2 (1 + 2 x) - 2 (1 - 2 x)}{{(1 + 2 x)}^{2}}$

Этап 9.13.2

Умножим $\frac{- 2 (1 + 2 x) - 2 (1 - 2 x)}{{(1 + 2 x)}^{2}}$ на $\frac{1}{2}$ .

$\frac{- 2 (1 + 2 x) - 2 (1 - 2 x)}{{(1 + 2 x)}^{2} \cdot 2} {(\frac{1 - 2 x}{1 + 2 x})}^{- \frac{1}{2}}$

Этап 9.13.3

Перенесем $2$ влево от ${(1 + 2 x)}^{2}$ .

$\frac{- 2 (1 + 2 x) - 2 (1 - 2 x)}{2 \cdot {(1 + 2 x)}^{2}} {(\frac{1 - 2 x}{1 + 2 x})}^{- \frac{1}{2}}$

Этап 9.13.4

Сократим общий множитель $- 2 (1 + 2 x) - 2 (1 - 2 x)$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.13.4.1

Вынесем множитель $2$ из $- 2 (1 + 2 x)$ .

$\frac{2 (- (1 + 2 x)) - 2 (1 - 2 x)}{2 {(1 + 2 x)}^{2}} {(\frac{1 - 2 x}{1 + 2 x})}^{- \frac{1}{2}}$

Этап 9.13.4.2

Вынесем множитель $2$ из $- 2 (1 - 2 x)$ .

$\frac{2 (- (1 + 2 x)) + 2 (- (1 - 2 x))}{2 {(1 + 2 x)}^{2}} {(\frac{1 - 2 x}{1 + 2 x})}^{- \frac{1}{2}}$

Этап 9.13.4.3

Вынесем множитель $2$ из $2 (- (1 + 2 x)) + 2 (- (1 - 2 x))$ .

$\frac{2 (- (1 + 2 x) - (1 - 2 x))}{2 {(1 + 2 x)}^{2}} {(\frac{1 - 2 x}{1 + 2 x})}^{- \frac{1}{2}}$

Этап 9.13.4.4

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.13.4.4.1

Вынесем множитель $2$ из $2 {(1 + 2 x)}^{2}$ .

$\frac{2 (- (1 + 2 x) - (1 - 2 x))}{2 ({(1 + 2 x)}^{2})} {(\frac{1 - 2 x}{1 + 2 x})}^{- \frac{1}{2}}$

Этап 9.13.4.4.2

Сократим общий множитель.

$\frac{2 (- (1 + 2 x) - (1 - 2 x))}{2 {(1 + 2 x)}^{2}} {(\frac{1 - 2 x}{1 + 2 x})}^{- \frac{1}{2}}$

Этап 9.13.4.4.3

Перепишем это выражение.

$\frac{- (1 + 2 x) - (1 - 2 x)}{{(1 + 2 x)}^{2}} {(\frac{1 - 2 x}{1 + 2 x})}^{- \frac{1}{2}}$

Этап 10

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Изменим знак экспоненты, переписав основание в виде обратной величины.

$\frac{- (1 + 2 x) - (1 - 2 x)}{{(1 + 2 x)}^{2}} {(\frac{1 + 2 x}{1 - 2 x})}^{\frac{1}{2}}$

Этап 10.2

Применим правило умножения к $\frac{1 + 2 x}{1 - 2 x}$ .

$\frac{- (1 + 2 x) - (1 - 2 x)}{{(1 + 2 x)}^{2}} \cdot \frac{{(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}}{{(1 - 2 x)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 10.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{- 1 \cdot 1 - (2 x) - (1 - 2 x)}{{(1 + 2 x)}^{2}} \cdot \frac{{(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}}{{(1 - 2 x)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 10.4

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{- 1 \cdot 1 - (2 x) - 1 \cdot 1 - (- 2 x)}{{(1 + 2 x)}^{2}} \cdot \frac{{(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}}{{(1 - 2 x)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 10.5

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.5.1

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{- 1 - (2 x) - 1 \cdot 1 - (- 2 x)}{{(1 + 2 x)}^{2}} \cdot \frac{{(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}}{{(1 - 2 x)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 10.5.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\frac{- 1 - 2 x - 1 \cdot 1 - (- 2 x)}{{(1 + 2 x)}^{2}} \cdot \frac{{(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}}{{(1 - 2 x)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 10.5.3

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{- 1 - 2 x - 1 - (- 2 x)}{{(1 + 2 x)}^{2}} \cdot \frac{{(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}}{{(1 - 2 x)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 10.5.4

Умножим $- 2$ на $- 1$ .

$\frac{- 1 - 2 x - 1 + 2 x}{{(1 + 2 x)}^{2}} \cdot \frac{{(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}}{{(1 - 2 x)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 10.5.5

Вычтем $1$ из $- 1$ .

$\frac{- 2 x - 2 + 2 x}{{(1 + 2 x)}^{2}} \cdot \frac{{(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}}{{(1 - 2 x)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 10.5.6

Добавим $- 2 x$ и $2 x$ .

$\frac{0 - 2}{{(1 + 2 x)}^{2}} \cdot \frac{{(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}}{{(1 - 2 x)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 10.5.7

Вычтем $2$ из $0$ .

$\frac{- 2}{{(1 + 2 x)}^{2}} \cdot \frac{{(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}}{{(1 - 2 x)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 10.5.8

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{2}{{(1 + 2 x)}^{2}} \cdot \frac{{(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}}{{(1 - 2 x)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 10.5.9

Умножим $\frac{{(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}}{{(1 - 2 x)}^{\frac{1}{2}}}$ на $\frac{2}{{(1 + 2 x)}^{2}}$ .

$- \frac{{(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} \cdot 2}{{(1 - 2 x)}^{\frac{1}{2}} {(1 + 2 x)}^{2}}$

Этап 10.5.10

Перенесем $2$ влево от ${(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$- \frac{2 \cdot {(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}}{{(1 - 2 x)}^{\frac{1}{2}} {(1 + 2 x)}^{2}}$

Этап 10.5.11

Перенесем ${(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$- \frac{2}{{(1 - 2 x)}^{\frac{1}{2}} {(1 + 2 x)}^{2} {(1 + 2 x)}^{- \frac{1}{2}}}$

Этап 10.5.12

Умножим ${(1 + 2 x)}^{2}$ на ${(1 + 2 x)}^{- \frac{1}{2}}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.5.12.1

Перенесем ${(1 + 2 x)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$- \frac{2}{{(1 - 2 x)}^{\frac{1}{2}} ({(1 + 2 x)}^{- \frac{1}{2}} {(1 + 2 x)}^{2})}$

Этап 10.5.12.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$- \frac{2}{{(1 - 2 x)}^{\frac{1}{2}} {(1 + 2 x)}^{- \frac{1}{2} + 2}}$

Этап 10.5.12.3

Чтобы записать $2$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{2}{{(1 - 2 x)}^{\frac{1}{2}} {(1 + 2 x)}^{- \frac{1}{2} + 2 \cdot \frac{2}{2}}}$

Этап 10.5.12.4

Объединим $2$ и $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{2}{{(1 - 2 x)}^{\frac{1}{2}} {(1 + 2 x)}^{- \frac{1}{2} + \frac{2 \cdot 2}{2}}}$

Этап 10.5.12.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$- \frac{2}{{(1 - 2 x)}^{\frac{1}{2}} {(1 + 2 x)}^{\frac{- 1 + 2 \cdot 2}{2}}}$

Этап 10.5.12.6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.5.12.6.1

Умножим $2$ на $2$ .

$- \frac{2}{{(1 - 2 x)}^{\frac{1}{2}} {(1 + 2 x)}^{\frac{- 1 + 4}{2}}}$

Этап 10.5.12.6.2

Добавим $- 1$ и $4$ .

$- \frac{2}{{(1 - 2 x)}^{\frac{1}{2}} {(1 + 2 x)}^{\frac{3}{2}}}$