Математический анализ Примеры

$z^{7} - 1$

Этап 1

Если у многочленной функции целые коэффициенты, то каждый рациональный ноль будет иметь вид $\frac{p}{q}$ , где $p$ — делитель константы, а $q$ — делитель старшего коэффициента.

$p = \pm 1$

$q = \pm 1$

Этап 2

Найдем все комбинации $\pm \frac{p}{q}$ . Это ― возможные корни многочлена.

$\pm 1$

Этап 3

Подставим $1$ и упростим выражение. В этом случае выражение равно $0$ , поэтому $1$ является корнем многочлена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Подставим $1$ в многочлен.

$1^{7} - 1$

Этап 3.2

Возведем $1$ в степень $7$ .

$1 - 1$

Этап 3.3

Вычтем $1$ из $1$ .

$0$

Этап 4

Поскольку $1$ — известный корень, разделим многочлен на $z - 1$ , чтобы найти частное многочленов. Этот многочлен можно будет использовать, чтобы найти оставшиеся корни.

$\frac{z^{7} - 1}{z - 1}$

Этап 5

Разделим $z^{7} - 1$ на $z - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Подготовим многочлены к делению. Если слагаемые представляют не все экспоненты, добавим отсутствующий член со значением $0$ .

$z$

$1$

$z^{7}$

$0 z^{6}$

$0 z^{5}$

$0 z^{4}$

$0 z^{3}$

$0 z^{2}$

$0 z$

$1$

Этап 5.2

Разделим член с максимальной степенью в делимом $z^{7}$ на член с максимальной степенью в делителе $z$ .

$z^{6}$

$z$

$1$

$z^{7}$

$0 z^{6}$

$0 z^{5}$

$0 z^{4}$

$0 z^{3}$

$0 z^{2}$

$0 z$

$1$

Этап 5.3

Умножим новое частное на делитель.

$z^{6}$

$z$

$1$

$z^{7}$

$0 z^{6}$

$0 z^{5}$

$0 z^{4}$

$0 z^{3}$

$0 z^{2}$

$0 z$

$1$

$z^{7}$

$z^{6}$

Этап 5.4

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $z^{7} - z^{6}$ .

$z^{6}$

$z$

$1$

$z^{7}$

$0 z^{6}$

$0 z^{5}$

$0 z^{4}$

$0 z^{3}$

$0 z^{2}$

$0 z$

$1$

$z^{7}$

$z^{6}$

Этап 5.5

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

$z^{6}$

$z$

$1$

$z^{7}$

$0 z^{6}$

$0 z^{5}$

$0 z^{4}$

$0 z^{3}$

$0 z^{2}$

$0 z$

$1$

$z^{7}$

$z^{6}$

Этап 5.6

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

$z^{6}$

$z$

$1$

$z^{7}$

$0 z^{6}$

$0 z^{5}$

$0 z^{4}$

$0 z^{3}$

$0 z^{2}$

$0 z$

$1$

$z^{7}$

$z^{6}$

$0 z^{5}$

Этап 5.7

Разделим член с максимальной степенью в делимом $z^{6}$ на член с максимальной степенью в делителе $z$ .

$z^{6}$

$z^{5}$

$z$

$1$

$z^{7}$

$0 z^{6}$

$0 z^{5}$

$0 z^{4}$

$0 z^{3}$

$0 z^{2}$

$0 z$

$1$

$z^{7}$

$z^{6}$

$0 z^{5}$

Этап 5.8

Умножим новое частное на делитель.

$z^{6}$

$z^{5}$

$z$

$1$

$z^{7}$

$0 z^{6}$

$0 z^{5}$

$0 z^{4}$

$0 z^{3}$

$0 z^{2}$

$0 z$

$1$

$z^{7}$

$z^{6}$

$0 z^{5}$

$z^{6}$

$z^{5}$

Этап 5.9

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $z^{6} - z^{5}$ .

$z^{6}$

$z^{5}$

$z$

$1$

$z^{7}$

$0 z^{6}$

$0 z^{5}$

$0 z^{4}$

$0 z^{3}$

$0 z^{2}$

$0 z$

$1$

$z^{7}$

$z^{6}$

$0 z^{5}$

$z^{6}$

$z^{5}$

Этап 5.10

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

$z^{6}$

$z^{5}$

$z$

$1$

$z^{7}$

$0 z^{6}$

$0 z^{5}$

$0 z^{4}$

$0 z^{3}$

$0 z^{2}$

$0 z$

$1$

$z^{7}$

$z^{6}$

$0 z^{5}$

$z^{6}$

$z^{5}$

Этап 5.11

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

$z^{6}$

$z^{5}$

$z$

$1$

$z^{7}$

$0 z^{6}$

$0 z^{5}$

$0 z^{4}$

$0 z^{3}$

$0 z^{2}$

$0 z$

$1$

$z^{7}$

$z^{6}$

$0 z^{5}$

$z^{6}$

$z^{5}$

$0 z^{4}$

Этап 5.12

Разделим член с максимальной степенью в делимом $z^{5}$ на член с максимальной степенью в делителе $z$ .

$z^{6}$

$z^{5}$

$z^{4}$

$z$

$1$

$z^{7}$

$0 z^{6}$

$0 z^{5}$

$0 z^{4}$

$0 z^{3}$

$0 z^{2}$

$0 z$

$1$

$z^{7}$

$z^{6}$

$0 z^{5}$

$z^{6}$

$z^{5}$

$0 z^{4}$

Этап 5.13

Умножим новое частное на делитель.

$z^{6}$

$z^{5}$

$z^{4}$

$z$

$1$

$z^{7}$

$0 z^{6}$

$0 z^{5}$

$0 z^{4}$

$0 z^{3}$

$0 z^{2}$

$0 z$

$1$

$z^{7}$

$z^{6}$

$0 z^{5}$

$z^{6}$

$z^{5}$

$0 z^{4}$

$z^{5}$

$z^{4}$

Этап 5.14

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $z^{5} - z^{4}$ .

$z^{6}$

$z^{5}$

$z^{4}$

$z$

$1$

$z^{7}$

$0 z^{6}$

$0 z^{5}$

$0 z^{4}$

$0 z^{3}$

$0 z^{2}$

$0 z$

$1$

$z^{7}$

$z^{6}$

$0 z^{5}$

$z^{6}$

$z^{5}$

$0 z^{4}$

$z^{5}$

$z^{4}$

Этап 5.15

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

$z^{6}$

$z^{5}$

$z^{4}$

$z$

$1$

$z^{7}$

$0 z^{6}$

$0 z^{5}$

$0 z^{4}$

$0 z^{3}$

$0 z^{2}$

$0 z$

$1$

$z^{7}$

$z^{6}$

$0 z^{5}$

$z^{6}$

$z^{5}$

$0 z^{4}$

$z^{5}$

$z^{4}$

Этап 5.16

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

$z^{6}$

$z^{5}$

$z^{4}$

$z$

$1$

$z^{7}$

$0 z^{6}$

$0 z^{5}$

$0 z^{4}$

$0 z^{3}$

$0 z^{2}$

$0 z$

$1$

$z^{7}$

$z^{6}$

$0 z^{5}$

$z^{6}$

$z^{5}$

$0 z^{4}$

$z^{5}$

$z^{4}$

$0 z^{3}$

Этап 5.17

Разделим член с максимальной степенью в делимом $z^{4}$ на член с максимальной степенью в делителе $z$ .

$z^{6}$

$z^{5}$

$z^{4}$

$z^{3}$

$z$

$1$

$z^{7}$

$0 z^{6}$

$0 z^{5}$

$0 z^{4}$

$0 z^{3}$

$0 z^{2}$

$0 z$

$1$

$z^{7}$

$z^{6}$

$0 z^{5}$

$z^{6}$

$z^{5}$

$0 z^{4}$

$z^{5}$

$z^{4}$

$0 z^{3}$

Этап 5.18

Умножим новое частное на делитель.

$z^{6}$

$z^{5}$

$z^{4}$

$z^{3}$

$z$

$1$

$z^{7}$

$0 z^{6}$

$0 z^{5}$

$0 z^{4}$

$0 z^{3}$

$0 z^{2}$

$0 z$

$1$

$z^{7}$

$z^{6}$

$0 z^{5}$

$z^{6}$

$z^{5}$

$0 z^{4}$

$z^{5}$

$z^{4}$

$0 z^{3}$

$z^{4}$

$z^{3}$

Этап 5.19

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $z^{4} - z^{3}$ .

$z^{6}$

$z^{5}$

$z^{4}$

$z^{3}$

$z$

$1$

$z^{7}$

$0 z^{6}$

$0 z^{5}$

$0 z^{4}$

$0 z^{3}$

$0 z^{2}$

$0 z$

$1$

$z^{7}$

$z^{6}$

$0 z^{5}$

$z^{6}$

$z^{5}$

$0 z^{4}$

$z^{5}$

$z^{4}$

$0 z^{3}$

$z^{4}$

$z^{3}$

Этап 5.20

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

$z^{6}$

$z^{5}$

$z^{4}$

$z^{3}$

$z$

$1$

$z^{7}$

$0 z^{6}$

$0 z^{5}$

$0 z^{4}$

$0 z^{3}$

$0 z^{2}$

$0 z$

$1$

$z^{7}$

$z^{6}$

$0 z^{5}$

$z^{6}$

$z^{5}$

$0 z^{4}$

$z^{5}$

$z^{4}$

$0 z^{3}$

$z^{4}$

$z^{3}$

Этап 5.21

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

$z^{6}$

$z^{5}$

$z^{4}$

$z^{3}$

$z$

$1$

$z^{7}$

$0 z^{6}$

$0 z^{5}$

$0 z^{4}$

$0 z^{3}$

$0 z^{2}$

$0 z$

$1$

$z^{7}$

$z^{6}$

$0 z^{5}$

$z^{6}$

$z^{5}$

$0 z^{4}$

$z^{5}$

$z^{4}$

$0 z^{3}$

$z^{4}$

$z^{3}$

$0 z^{2}$

Этап 5.22

Разделим член с максимальной степенью в делимом $z^{3}$ на член с максимальной степенью в делителе $z$ .

$z^{6}$

$z^{5}$

$z^{4}$

$z^{3}$

$z^{2}$

$z$

$1$

$z^{7}$

$0 z^{6}$

$0 z^{5}$

$0 z^{4}$

$0 z^{3}$

$0 z^{2}$

$0 z$

$1$

$z^{7}$

$z^{6}$

$0 z^{5}$

$z^{6}$

$z^{5}$

$0 z^{4}$

$z^{5}$

$z^{4}$

$0 z^{3}$

$z^{4}$

$z^{3}$

$0 z^{2}$

Этап 5.23

Умножим новое частное на делитель.

$z^{6}$

$z^{5}$

$z^{4}$

$z^{3}$

$z^{2}$

$z$

$1$

$z^{7}$

$0 z^{6}$

$0 z^{5}$

$0 z^{4}$

$0 z^{3}$

$0 z^{2}$

$0 z$

$1$

$z^{7}$

$z^{6}$

$0 z^{5}$

$z^{6}$

$z^{5}$

$0 z^{4}$

$z^{5}$

$z^{4}$

$0 z^{3}$

$z^{4}$

$z^{3}$

$0 z^{2}$

$z^{3}$

$z^{2}$

Этап 5.24

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $z^{3} - z^{2}$ .

$z^{6}$

$z^{5}$

$z^{4}$

$z^{3}$

$z^{2}$

$z$

$1$

$z^{7}$

$0 z^{6}$

$0 z^{5}$

$0 z^{4}$

$0 z^{3}$

$0 z^{2}$

$0 z$

$1$

$z^{7}$

$z^{6}$

$0 z^{5}$

$z^{6}$

$z^{5}$

$0 z^{4}$

$z^{5}$

$z^{4}$

$0 z^{3}$

$z^{4}$

$z^{3}$

$0 z^{2}$

$z^{3}$

$z^{2}$

Этап 5.25

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

$z^{6}$

$z^{5}$

$z^{4}$

$z^{3}$

$z^{2}$

$z$

$1$

$z^{7}$

$0 z^{6}$

$0 z^{5}$

$0 z^{4}$

$0 z^{3}$

$0 z^{2}$

$0 z$

$1$

$z^{7}$

$z^{6}$

$0 z^{5}$

$z^{6}$

$z^{5}$

$0 z^{4}$

$z^{5}$

$z^{4}$

$0 z^{3}$

$z^{4}$

$z^{3}$

$0 z^{2}$

$z^{3}$

$z^{2}$

Этап 5.26

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

$z^{6}$

$z^{5}$

$z^{4}$

$z^{3}$

$z^{2}$

$z$

$1$

$z^{7}$

$0 z^{6}$

$0 z^{5}$

$0 z^{4}$

$0 z^{3}$

$0 z^{2}$

$0 z$

$1$

$z^{7}$

$z^{6}$

$0 z^{5}$

$z^{6}$

$z^{5}$

$0 z^{4}$

$z^{5}$

$z^{4}$

$0 z^{3}$

$z^{4}$

$z^{3}$

$0 z^{2}$

$z^{3}$

$z^{2}$

$0 z$

Этап 5.27

Разделим член с максимальной степенью в делимом $z^{2}$ на член с максимальной степенью в делителе $z$ .

$z^{6}$

$z^{5}$

$z^{4}$

$z^{3}$

$z^{2}$

$z$

$1$

$z^{7}$

$0 z^{6}$

$0 z^{5}$

$0 z^{4}$

$0 z^{3}$

$0 z^{2}$

$0 z$

$1$

$z^{7}$

$z^{6}$

$0 z^{5}$

$z^{6}$

$z^{5}$

$0 z^{4}$

$z^{5}$

$z^{4}$

$0 z^{3}$

$z^{4}$

$z^{3}$

$0 z^{2}$

$z^{3}$

$z^{2}$

$0 z$

Этап 5.28

Умножим новое частное на делитель.

$z^{6}$

$z^{5}$

$z^{4}$

$z^{3}$

$z^{2}$

$z$

$1$

$z^{7}$

$0 z^{6}$

$0 z^{5}$

$0 z^{4}$

$0 z^{3}$

$0 z^{2}$

$0 z$

$1$

$z^{7}$

$z^{6}$

$0 z^{5}$

$z^{6}$

$z^{5}$

$0 z^{4}$

$z^{5}$

$z^{4}$

$0 z^{3}$

$z^{4}$

$z^{3}$

$0 z^{2}$

$z^{3}$

$z^{2}$

$0 z$

$z^{2}$

$z$

Этап 5.29

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $z^{2} - z$ .

$z^{6}$

$z^{5}$

$z^{4}$

$z^{3}$

$z^{2}$

$z$

$1$

$z^{7}$

$0 z^{6}$

$0 z^{5}$

$0 z^{4}$

$0 z^{3}$

$0 z^{2}$

$0 z$

$1$

$z^{7}$

$z^{6}$

$0 z^{5}$

$z^{6}$

$z^{5}$

$0 z^{4}$

$z^{5}$

$z^{4}$

$0 z^{3}$

$z^{4}$

$z^{3}$

$0 z^{2}$

$z^{3}$

$z^{2}$

$0 z$

$z^{2}$

$z$

Этап 5.30

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

$z^{6}$

$z^{5}$

$z^{4}$

$z^{3}$

$z^{2}$

$z$

$1$

$z^{7}$

$0 z^{6}$

$0 z^{5}$

$0 z^{4}$

$0 z^{3}$

$0 z^{2}$

$0 z$

$1$

$z^{7}$

$z^{6}$

$0 z^{5}$

$z^{6}$

$z^{5}$

$0 z^{4}$

$z^{5}$

$z^{4}$

$0 z^{3}$

$z^{4}$

$z^{3}$

$0 z^{2}$

$z^{3}$

$z^{2}$

$0 z$

$z^{2}$

$z$

Этап 5.31

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

$z^{6}$

$z^{5}$

$z^{4}$

$z^{3}$

$z^{2}$

$z$

$1$

$z^{7}$

$0 z^{6}$

$0 z^{5}$

$0 z^{4}$

$0 z^{3}$

$0 z^{2}$

$0 z$

$1$

$z^{7}$

$z^{6}$

$0 z^{5}$

$z^{6}$

$z^{5}$

$0 z^{4}$

$z^{5}$

$z^{4}$

$0 z^{3}$

$z^{4}$

$z^{3}$

$0 z^{2}$

$z^{3}$

$z^{2}$

$0 z$

$z^{2}$

$z$

$1$

Этап 5.32

Разделим член с максимальной степенью в делимом $z$ на член с максимальной степенью в делителе $z$ .

$z^{6}$

$z^{5}$

$z^{4}$

$z^{3}$

$z^{2}$

$z$

$1$

$z$

$1$

$z^{7}$

$0 z^{6}$

$0 z^{5}$

$0 z^{4}$

$0 z^{3}$

$0 z^{2}$

$0 z$

$1$

$z^{7}$

$z^{6}$

$0 z^{5}$

$z^{6}$

$z^{5}$

$0 z^{4}$

$z^{5}$

$z^{4}$

$0 z^{3}$

$z^{4}$

$z^{3}$

$0 z^{2}$

$z^{3}$

$z^{2}$

$0 z$

$z^{2}$

$z$

$1$

Этап 5.33

Умножим новое частное на делитель.

$z^{6}$

$z^{5}$

$z^{4}$

$z^{3}$

$z^{2}$

$z$

$1$

$z$

$1$

$z^{7}$

$0 z^{6}$

$0 z^{5}$

$0 z^{4}$

$0 z^{3}$

$0 z^{2}$

$0 z$

$1$

$z^{7}$

$z^{6}$

$0 z^{5}$

$z^{6}$

$z^{5}$

$0 z^{4}$

$z^{5}$

$z^{4}$

$0 z^{3}$

$z^{4}$

$z^{3}$

$0 z^{2}$

$z^{3}$

$z^{2}$

$0 z$

$z^{2}$

$z$

$1$

$z$

$1$

Этап 5.34

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $z - 1$ .

$z^{6}$

$z^{5}$

$z^{4}$

$z^{3}$

$z^{2}$

$z$

$1$

$z$

$1$

$z^{7}$

$0 z^{6}$

$0 z^{5}$

$0 z^{4}$

$0 z^{3}$

$0 z^{2}$

$0 z$

$1$

$z^{7}$

$z^{6}$

$0 z^{5}$

$z^{6}$

$z^{5}$

$0 z^{4}$

$z^{5}$

$z^{4}$

$0 z^{3}$

$z^{4}$

$z^{3}$

$0 z^{2}$

$z^{3}$

$z^{2}$

$0 z$

$z^{2}$

$z$

$1$

$z$

$1$

Этап 5.35

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

$z^{6}$

$z^{5}$

$z^{4}$

$z^{3}$

$z^{2}$

$z$

$1$

$z$

$1$

$z^{7}$

$0 z^{6}$

$0 z^{5}$

$0 z^{4}$

$0 z^{3}$

$0 z^{2}$

$0 z$

$1$

$z^{7}$

$z^{6}$

$0 z^{5}$

$z^{6}$

$z^{5}$

$0 z^{4}$

$z^{5}$

$z^{4}$

$0 z^{3}$

$z^{4}$

$z^{3}$

$0 z^{2}$

$z^{3}$

$z^{2}$

$0 z$

$z^{2}$

$z$

$1$

$z$

$1$

$0$

Этап 5.36

Поскольку остаток равен $0$ , окончательным ответом является частное.

$z^{6} + z^{5} + z^{4} + z^{3} + z^{2} + z + 1$

Этап 6

Запишем $z^{7} - 1$ в виде набора множителей.

$(z - 1) (z^{6} + z^{5} + z^{4} + z^{3} + z^{2} + z + 1)$