Математический анализ Примеры

$3 \sin (x) \cos (y) = 1$

Этап 1

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d x} (3 \sin (x) \cos (y)) = \frac{d}{d x} (1)$

Этап 2

Продифференцируем левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 \sin (x) \cos (y)$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [\sin (x) \cos (y)]$ .

$3 \frac{d}{d x} [\sin (x) \cos (y)]$

Этап 2.2

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = \sin (x)$ и $g (x) = \cos (y)$ .

$3 (\sin (x) \frac{d}{d x} [\cos (y)] + \cos (y) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Этап 2.3

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \cos (x)$ и $g (x) = y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $y$ .

$3 (\sin (x) (\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [y]) + \cos (y) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Этап 2.3.2

Производная $\cos (u)$ по $u$ равна $- \sin (u)$ .

$3 (\sin (x) (- \sin (u) \frac{d}{d x} [y]) + \cos (y) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Этап 2.3.3

Заменим все вхождения $u$ на $y$ .

$3 (\sin (x) (- \sin (y) \frac{d}{d x} [y]) + \cos (y) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Этап 2.4

Перепишем $\frac{d}{d x} [y]$ в виде $y'$ .

$3 (\sin (x) (- \sin (y) y') + \cos (y) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Этап 2.5

Производная $\sin (x)$ по $x$ равна $\cos (x)$ .

$3 (\sin (x) (- \sin (y) y') + \cos (y) \cos (x))$

Этап 2.6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1

Применим свойство дистрибутивности.

$3 (\sin (x) (- \sin (y) y')) + 3 (\cos (y) \cos (x))$

Этап 2.6.2

Умножим $- 1$ на $3$ .

$- 3 \sin (x) \sin (y) y' + 3 \cos (y) \cos (x)$

Этап 2.6.3

Изменим порядок членов.

$- 3 \sin (x) \sin (y) y' + 3 \cos (x) \cos (y)$

Этап 3

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$0$

Этап 4

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$- 3 \sin (x) \sin (y) y' + 3 \cos (x) \cos (y) = 0$

Этап 5

Решим относительно $y'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Изменим порядок множителей в $- 3 \sin (x) \sin (y) y' + 3 \cos (x) \cos (y)$ .

$- 3 y' \sin (x) \sin (y) + 3 \cos (x) \cos (y) = 0$

Этап 5.2

Вычтем $3 \cos (x) \cos (y)$ из обеих частей уравнения.

$- 3 y' \sin (x) \sin (y) = - 3 \cos (x) \cos (y)$

Этап 5.3

Разделим каждый член $- 3 y' \sin (x) \sin (y) = - 3 \cos (x) \cos (y)$ на $- 3 \sin (x) \sin (y)$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Разделим каждый член $- 3 y' \sin (x) \sin (y) = - 3 \cos (x) \cos (y)$ на $- 3 \sin (x) \sin (y)$ .

$\frac{- 3 y' \sin (x) \sin (y)}{- 3 \sin (x) \sin (y)} = \frac{- 3 \cos (x) \cos (y)}{- 3 \sin (x) \sin (y)}$

Этап 5.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1

Сократим общий множитель $- 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{- 3 y' \sin (x) \sin (y)}{- 3 \sin (x) \sin (y)} = \frac{- 3 \cos (x) \cos (y)}{- 3 \sin (x) \sin (y)}$

Этап 5.3.2.1.2

Перепишем это выражение.

$\frac{y' \sin (x) \sin (y)}{\sin (x) \sin (y)} = \frac{- 3 \cos (x) \cos (y)}{- 3 \sin (x) \sin (y)}$

Этап 5.3.2.2

Сократим общий множитель $\sin (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y' \sin (x) \sin (y)}{\sin (x) \sin (y)} = \frac{- 3 \cos (x) \cos (y)}{- 3 \sin (x) \sin (y)}$

Этап 5.3.2.2.2

Перепишем это выражение.

$\frac{y' \sin (y)}{\sin (y)} = \frac{- 3 \cos (x) \cos (y)}{- 3 \sin (x) \sin (y)}$

Этап 5.3.2.3

Сократим общий множитель $\sin (y)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.3.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y' \sin (y)}{\sin (y)} = \frac{- 3 \cos (x) \cos (y)}{- 3 \sin (x) \sin (y)}$

Этап 5.3.2.3.2

Разделим $y'$ на $1$ .

$y' = \frac{- 3 \cos (x) \cos (y)}{- 3 \sin (x) \sin (y)}$

Этап 5.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1

Сократим общий множитель $- 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1.1

Сократим общий множитель.

$y' = \frac{- 3 \cos (x) \cos (y)}{- 3 \sin (x) \sin (y)}$

Этап 5.3.3.1.2

Перепишем это выражение.

$y' = \frac{\cos (x) \cos (y)}{\sin (x) \sin (y)}$

Этап 5.3.3.2

Разделим дроби.

$y' = \frac{\cos (y)}{\sin (y)} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$

Этап 5.3.3.3

Переведем $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ в $\cot (x)$ .

$y' = \frac{\cos (y)}{\sin (y)} \cot (x)$

Этап 5.3.3.4

Переведем $\frac{\cos (y)}{\sin (y)}$ в $\cot (y)$ .

$y' = \cot (y) \cot (x)$

Этап 6

Заменим $y'$ на $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \cot (y) \cot (x)$