Математический анализ Примеры

$y = (x + 5) (x^{2} - 5)$

Этап 1

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} ((x + 5) (x^{2} - 5))$

Этап 2

Производная $y$ по $x$ равна $y'$ .

$y'$

Этап 3

Продифференцируем правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x + 5$ и $g (x) = x^{2} - 5$ .

$(x + 5) \frac{d}{d x} [x^{2} - 5] + (x^{2} - 5) \frac{d}{d x} [x + 5]$

Этап 3.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

По правилу суммы производная $x^{2} - 5$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$(x + 5) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5]) + (x^{2} - 5) \frac{d}{d x} [x + 5]$

Этап 3.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$(x + 5) (2 x + \frac{d}{d x} [- 5]) + (x^{2} - 5) \frac{d}{d x} [x + 5]$

Этап 3.2.3

Поскольку $- 5$ является константой относительно $x$ , производная $- 5$ относительно $x$ равна $0$ .

$(x + 5) (2 x + 0) + (x^{2} - 5) \frac{d}{d x} [x + 5]$

Этап 3.2.4

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.4.1

Добавим $2 x$ и $0$ .

$(x + 5) (2 x) + (x^{2} - 5) \frac{d}{d x} [x + 5]$

Этап 3.2.4.2

Перенесем $2$ влево от $x + 5$ .

$2 \cdot (x + 5) x + (x^{2} - 5) \frac{d}{d x} [x + 5]$

Этап 3.2.5

По правилу суммы производная $x + 5$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$2 (x + 5) x + (x^{2} - 5) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5])$

Этап 3.2.6

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$2 (x + 5) x + (x^{2} - 5) (1 + \frac{d}{d x} [5])$

Этап 3.2.7

Поскольку $5$ является константой относительно $x$ , производная $5$ относительно $x$ равна $0$ .

$2 (x + 5) x + (x^{2} - 5) (1 + 0)$

Этап 3.2.8

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.8.1

Добавим $1$ и $0$ .

$2 (x + 5) x + (x^{2} - 5) \cdot 1$

Этап 3.2.8.2

Умножим $x^{2} - 5$ на $1$ .

$2 (x + 5) x + x^{2} - 5$

Этап 3.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$(2 x + 2 \cdot 5) x + x^{2} - 5$

Этап 3.3.2

Применим свойство дистрибутивности.

$2 x \cdot x + 2 \cdot 5 x + x^{2} - 5$

Этап 3.3.3

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$2 (x^{1} x) + 2 \cdot 5 x + x^{2} - 5$

Этап 3.3.3.2

Возведем $x$ в степень $1$ .

$2 (x^{1} x^{1}) + 2 \cdot 5 x + x^{2} - 5$

Этап 3.3.3.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$2 x^{1 + 1} + 2 \cdot 5 x + x^{2} - 5$

Этап 3.3.3.4

Добавим $1$ и $1$ .

$2 x^{2} + 2 \cdot 5 x + x^{2} - 5$

Этап 3.3.3.5

Умножим $2$ на $5$ .

$2 x^{2} + 10 x + x^{2} - 5$

Этап 3.3.3.6

Добавим $2 x^{2}$ и $x^{2}$ .

$3 x^{2} + 10 x - 5$

Этап 4

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$y' = 3 x^{2} + 10 x - 5$

Этап 5

Заменим $y'$ на $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = 3 x^{2} + 10 x - 5$