Математический анализ Примеры

$y = \frac{\cos (x)}{1 + \sin (x)}$

Этап 1

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\frac{\cos (x)}{1 + \sin (x)})$

Этап 2

Производная $y$ по $x$ равна $y'$ .

$y'$

Этап 3

Продифференцируем правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = \cos (x)$ и $g (x) = 1 + \sin (x)$ .

$\frac{(1 + \sin (x)) \frac{d}{d x} [\cos (x)] - \cos (x) \frac{d}{d x} [1 + \sin (x)]}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

Этап 3.2

Производная $\cos (x)$ по $x$ равна $- \sin (x)$ .

$\frac{(1 + \sin (x)) (- \sin (x)) - \cos (x) \frac{d}{d x} [1 + \sin (x)]}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

Этап 3.3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

По правилу суммы производная $1 + \sin (x)$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$\frac{(1 + \sin (x)) (- \sin (x)) - \cos (x) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\sin (x)])}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

Этап 3.3.2

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{(1 + \sin (x)) (- \sin (x)) - \cos (x) (0 + \frac{d}{d x} [\sin (x)])}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

Этап 3.3.3

Добавим $0$ и $\frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$\frac{(1 + \sin (x)) (- \sin (x)) - \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

Этап 3.4

Производная $\sin (x)$ по $x$ равна $\cos (x)$ .

$\frac{(1 + \sin (x)) (- \sin (x)) - \cos (x) \cos (x)}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

Этап 3.5

Возведем $\cos (x)$ в степень $1$ .

$\frac{(1 + \sin (x)) (- \sin (x)) - (\cos^{1} (x) \cos (x))}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

Этап 3.6

Возведем $\cos (x)$ в степень $1$ .

$\frac{(1 + \sin (x)) (- \sin (x)) - (\cos^{1} (x) \cos^{1} (x))}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

Этап 3.7

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{(1 + \sin (x)) (- \sin (x)) - {\cos (x)}^{1 + 1}}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

Этап 3.8

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{(1 + \sin (x)) (- \sin (x)) - \cos^{2} (x)}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

Этап 3.9

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.9.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{1 (- \sin (x)) + \sin (x) (- \sin (x)) - \cos^{2} (x)}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

Этап 3.9.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.9.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.9.2.1.1

Умножим $- \sin (x)$ на $1$ .

$\frac{- \sin (x) + \sin (x) (- \sin (x)) - \cos^{2} (x)}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

Этап 3.9.2.1.2

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{- \sin (x) - \sin (x) \sin (x) - \cos^{2} (x)}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

Этап 3.9.2.1.3

Умножим $- \sin (x) \sin (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.9.2.1.3.1

Возведем $\sin (x)$ в степень $1$ .

$\frac{- \sin (x) - (\sin^{1} (x) \sin (x)) - \cos^{2} (x)}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

Этап 3.9.2.1.3.2

Возведем $\sin (x)$ в степень $1$ .

$\frac{- \sin (x) - (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x)) - \cos^{2} (x)}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

Этап 3.9.2.1.3.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{- \sin (x) - {\sin (x)}^{1 + 1} - \cos^{2} (x)}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

Этап 3.9.2.1.3.4

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{- \sin (x) - \sin^{2} (x) - \cos^{2} (x)}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

Этап 3.9.2.2

Вынесем множитель $- 1$ из $- \sin^{2} (x)$ .

$\frac{- \sin (x) - (\sin^{2} (x)) - \cos^{2} (x)}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

Этап 3.9.2.3

Вынесем множитель $- 1$ из $- \cos^{2} (x)$ .

$\frac{- \sin (x) - (\sin^{2} (x)) - (\cos^{2} (x))}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

Этап 3.9.2.4

Вынесем множитель $- 1$ из $- (\sin^{2} (x)) - (\cos^{2} (x))$ .

$\frac{- \sin (x) - (\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x))}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

Этап 3.9.2.5

Применим формулу Пифагора.

$\frac{- \sin (x) - 1 \cdot 1}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

Этап 3.9.2.6

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{- \sin (x) - 1}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

Этап 3.9.3

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.9.3.1

Сократим общий множитель $- \sin (x) - 1$ и ${(1 + \sin (x))}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.9.3.1.1

Вынесем множитель $- 1$ из $- \sin (x)$ .

$\frac{- (\sin (x)) - 1}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

Этап 3.9.3.1.2

Перепишем $- 1$ в виде $- 1 (1)$ .

$\frac{- (\sin (x)) - 1 (1)}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

Этап 3.9.3.1.3

Вынесем множитель $- 1$ из $- (\sin (x)) - 1 (1)$ .

$\frac{- (\sin (x) + 1)}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

Этап 3.9.3.1.4

Перепишем $- (\sin (x) + 1)$ в виде $- 1 (\sin (x) + 1)$ .

$\frac{- 1 (\sin (x) + 1)}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

Этап 3.9.3.1.5

Изменим порядок членов.

$\frac{- 1 (1 + \sin (x))}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

Этап 3.9.3.1.6

Вынесем множитель $1 + \sin (x)$ из $- 1 (1 + \sin (x))$ .

$\frac{(1 + \sin (x)) \cdot - 1}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

Этап 3.9.3.1.7

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.9.3.1.7.1

Вынесем множитель $1 + \sin (x)$ из ${(1 + \sin (x))}^{2}$ .

$\frac{(1 + \sin (x)) \cdot - 1}{(1 + \sin (x)) (1 + \sin (x))}$

Этап 3.9.3.1.7.2

Сократим общий множитель.

$\frac{(1 + \sin (x)) \cdot - 1}{(1 + \sin (x)) (1 + \sin (x))}$

Этап 3.9.3.1.7.3

Перепишем это выражение.

$\frac{- 1}{1 + \sin (x)}$

Этап 3.9.3.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{1}{1 + \sin (x)}$

Этап 4

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$y' = - \frac{1}{1 + \sin (x)}$

Этап 5

Заменим $y'$ на $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{1}{1 + \sin (x)}$