Математический анализ Примеры

$y = \frac{x^{7}}{7} \cdot \ln (x) - \frac{x^{7}}{49}$

Этап 1

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\frac{x^{7}}{7} \cdot \ln (x) - \frac{x^{7}}{49})$

Этап 2

Производная $y$ по $x$ равна $y'$ .

$y'$

Этап 3

Продифференцируем правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

По правилу суммы производная $\frac{x^{7}}{7} \cdot \ln (x) - \frac{x^{7}}{49}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [\frac{x^{7}}{7} \cdot \ln (x)] + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{7}}{49}]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{7}}{7} \cdot \ln (x)] + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{7}}{49}]$

Этап 3.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [\frac{x^{7}}{7} \cdot \ln (x)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Объединим $\frac{x^{7}}{7}$ и $\ln (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{7} \ln (x)}{7}] + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{7}}{49}]$

Этап 3.2.2

Поскольку $\frac{1}{7}$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{x^{7} \ln (x)}{7}$ по $x$ равна $\frac{1}{7} \frac{d}{d x} [x^{7} \ln (x)]$ .

$\frac{1}{7} \frac{d}{d x} [x^{7} \ln (x)] + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{7}}{49}]$

Этап 3.2.3

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x^{7}$ и $g (x) = \ln (x)$ .

$\frac{1}{7} (x^{7} \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{7}]) + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{7}}{49}]$

Этап 3.2.4

Производная $\ln (x)$ по $x$ равна $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{7} (x^{7} \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{7}]) + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{7}}{49}]$

Этап 3.2.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 7$ .

$\frac{1}{7} (x^{7} \frac{1}{x} + \ln (x) (7 x^{6})) + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{7}}{49}]$

Этап 3.2.6

Объединим $x^{7}$ и $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{7} (\frac{x^{7}}{x} + \ln (x) (7 x^{6})) + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{7}}{49}]$

Этап 3.2.7

Сократим общий множитель $x^{7}$ и $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.7.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{7}$ .

$\frac{1}{7} (\frac{x \cdot x^{6}}{x} + \ln (x) (7 x^{6})) + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{7}}{49}]$

Этап 3.2.7.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.7.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{1}{7} (\frac{x \cdot x^{6}}{x^{1}} + \ln (x) (7 x^{6})) + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{7}}{49}]$

Этап 3.2.7.2.2

Вынесем множитель $x$ из $x^{1}$ .

$\frac{1}{7} (\frac{x \cdot x^{6}}{x \cdot 1} + \ln (x) (7 x^{6})) + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{7}}{49}]$

Этап 3.2.7.2.3

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{7} (\frac{x \cdot x^{6}}{x \cdot 1} + \ln (x) (7 x^{6})) + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{7}}{49}]$

Этап 3.2.7.2.4

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{7} (\frac{x^{6}}{1} + \ln (x) (7 x^{6})) + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{7}}{49}]$

Этап 3.2.7.2.5

Разделим $x^{6}$ на $1$ .

$\frac{1}{7} (x^{6} + \ln (x) (7 x^{6})) + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{7}}{49}]$

Этап 3.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- \frac{x^{7}}{49}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Поскольку $- \frac{1}{49}$ является константой относительно $x$ , производная $- \frac{x^{7}}{49}$ по $x$ равна $- \frac{1}{49} \frac{d}{d x} [x^{7}]$ .

$\frac{1}{7} (x^{6} + \ln (x) (7 x^{6})) - \frac{1}{49} \frac{d}{d x} [x^{7}]$

Этап 3.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 7$ .

$\frac{1}{7} (x^{6} + \ln (x) (7 x^{6})) - \frac{1}{49} (7 x^{6})$

Этап 3.3.3

Умножим $7$ на $- 1$ .

$\frac{1}{7} (x^{6} + \ln (x) (7 x^{6})) - 7 (\frac{1}{49}) x^{6}$

Этап 3.3.4

Объединим $- 7$ и $\frac{1}{49}$ .

$\frac{1}{7} (x^{6} + \ln (x) (7 x^{6})) + \frac{- 7}{49} x^{6}$

Этап 3.3.5

Объединим $\frac{- 7}{49}$ и $x^{6}$ .

$\frac{1}{7} (x^{6} + \ln (x) (7 x^{6})) + \frac{- 7 x^{6}}{49}$

Этап 3.3.6

Сократим общий множитель $- 7$ и $49$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.6.1

Вынесем множитель $7$ из $- 7 x^{6}$ .

$\frac{1}{7} (x^{6} + \ln (x) (7 x^{6})) + \frac{7 (- x^{6})}{49}$

Этап 3.3.6.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.6.2.1

Вынесем множитель $7$ из $49$ .

$\frac{1}{7} (x^{6} + \ln (x) (7 x^{6})) + \frac{7 (- x^{6})}{7 (7)}$

Этап 3.3.6.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{7} (x^{6} + \ln (x) (7 x^{6})) + \frac{7 (- x^{6})}{7 \cdot 7}$

Этап 3.3.6.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{7} (x^{6} + \ln (x) (7 x^{6})) + \frac{- x^{6}}{7}$

Этап 3.3.7

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{1}{7} (x^{6} + \ln (x) (7 x^{6})) - \frac{x^{6}}{7}$

Этап 3.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{1}{7} x^{6} + \frac{1}{7} (\ln (x) (7 x^{6})) - \frac{x^{6}}{7}$

Этап 3.4.2

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1

Объединим $\ln (x)$ и $\frac{1}{7}$ .

$\frac{1}{7} x^{6} + \frac{\ln (x)}{7} (7 x^{6}) - \frac{x^{6}}{7}$

Этап 3.4.2.2

Объединим $7$ и $\frac{\ln (x)}{7}$ .

$\frac{1}{7} x^{6} + \frac{7 \ln (x)}{7} x^{6} - \frac{x^{6}}{7}$

Этап 3.4.2.3

Объединим $\frac{7 \ln (x)}{7}$ и $x^{6}$ .

$\frac{1}{7} x^{6} + \frac{7 \ln (x) x^{6}}{7} - \frac{x^{6}}{7}$

Этап 3.4.2.4

Сократим общий множитель $7$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{7} x^{6} + \frac{7 \ln (x) x^{6}}{7} - \frac{x^{6}}{7}$

Этап 3.4.2.4.2

Разделим $\ln (x) x^{6}$ на $1$ .

$\frac{1}{7} x^{6} + \ln (x) x^{6} - \frac{x^{6}}{7}$

Этап 3.4.2.5

Чтобы записать $\frac{1}{7} x^{6}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{7}{7}$ .

$\ln (x) x^{6} + \frac{1}{7} x^{6} \cdot \frac{7}{7} - \frac{x^{6}}{7}$

Этап 3.4.2.6

Объединим $\frac{1}{7} x^{6}$ и $\frac{7}{7}$ .

$\ln (x) x^{6} + \frac{\frac{1}{7} x^{6} \cdot 7}{7} - \frac{x^{6}}{7}$

Этап 3.4.2.7

Объединим числители над общим знаменателем.

$\ln (x) x^{6} + \frac{\frac{1}{7} x^{6} \cdot 7 - x^{6}}{7}$

Этап 3.4.2.8

Объединим $\frac{1}{7}$ и $x^{6}$ .

$\ln (x) x^{6} + \frac{\frac{x^{6}}{7} \cdot 7 - x^{6}}{7}$

Этап 3.4.2.9

Объединим $\frac{x^{6}}{7}$ и $7$ .

$\ln (x) x^{6} + \frac{\frac{x^{6} \cdot 7}{7} - x^{6}}{7}$

Этап 3.4.2.10

Перенесем $7$ влево от $x^{6}$ .

$\ln (x) x^{6} + \frac{\frac{7 \cdot x^{6}}{7} - x^{6}}{7}$

Этап 3.4.2.11

Сократим общий множитель $7$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.11.1

Сократим общий множитель.

$\ln (x) x^{6} + \frac{\frac{7 x^{6}}{7} - x^{6}}{7}$

Этап 3.4.2.11.2

Разделим $x^{6}$ на $1$ .

$\ln (x) x^{6} + \frac{x^{6} - x^{6}}{7}$

Этап 3.4.2.12

Вычтем $x^{6}$ из $x^{6}$ .

$\ln (x) x^{6} + \frac{0}{7}$

Этап 3.4.2.13

Сократим общий множитель $0$ и $7$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.13.1

Вынесем множитель $7$ из $0$ .

$\ln (x) x^{6} + \frac{7 (0)}{7}$

Этап 3.4.2.13.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.13.2.1

Вынесем множитель $7$ из $7$ .

$\ln (x) x^{6} + \frac{7 \cdot 0}{7 \cdot 1}$

Этап 3.4.2.13.2.2

Сократим общий множитель.

$\ln (x) x^{6} + \frac{7 \cdot 0}{7 \cdot 1}$

Этап 3.4.2.13.2.3

Перепишем это выражение.

$\ln (x) x^{6} + \frac{0}{1}$

Этап 3.4.2.13.2.4

Разделим $0$ на $1$ .

$\ln (x) x^{6} + 0$

Этап 3.4.2.14

Добавим $\ln (x) x^{6}$ и $0$ .

$\ln (x) x^{6}$

Этап 3.4.3

Изменим порядок множителей в $\ln (x) x^{6}$ .

$x^{6} \ln (x)$

Этап 4

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$y' = x^{6} \ln (x)$

Этап 5

Заменим $y'$ на $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = x^{6} \ln (x)$