Математический анализ Примеры

$\int_{2}^{6} x \sqrt{x - 2} d x$

Этап 1

Проинтегрируем по частям, используя формулу $\int u d v = u v - \int v d u$ , где $u = x$ и $d v = \sqrt{x - 2}$ .

$x (\frac{2}{3} {(x - 2)}^{\frac{3}{2}})]_{2}^{6} - \int_{2}^{6} \frac{2}{3} {(x - 2)}^{\frac{3}{2}} d x$

Этап 2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Объединим $\frac{2}{3}$ и ${(x - 2)}^{\frac{3}{2}}$ .

$x \frac{2 {(x - 2)}^{\frac{3}{2}}}{3}]_{2}^{6} - \int_{2}^{6} \frac{2}{3} {(x - 2)}^{\frac{3}{2}} d x$

Этап 2.2

Объединим $x$ и $\frac{2 {(x - 2)}^{\frac{3}{2}}}{3}$ .

$\frac{x (2 {(x - 2)}^{\frac{3}{2}})}{3}]_{2}^{6} - \int_{2}^{6} \frac{2}{3} {(x - 2)}^{\frac{3}{2}} d x$

Этап 3

Поскольку $\frac{2}{3}$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $\frac{2}{3}$ из-под знака интеграла.

$\frac{x (2 {(x - 2)}^{\frac{3}{2}})}{3}]_{2}^{6} - (\frac{2}{3} \int_{2}^{6} {(x - 2)}^{\frac{3}{2}} d x)$

Этап 4

Пусть $u = x - 2$ . Тогда $d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Пусть $u = x - 2$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Дифференцируем $x - 2$ .

$\frac{d}{d x} [x - 2]$

Этап 4.1.2

По правилу суммы производная $x - 2$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Этап 4.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 2]$

Этап 4.1.4

Поскольку $- 2$ является константой относительно $x$ , производная $- 2$ относительно $x$ равна $0$ .

$1 + 0$

Этап 4.1.5

Добавим $1$ и $0$ .

$1$

Этап 4.2

Подставим нижнее предельное значение вместо $x$ в $u = x - 2$ .

$u_{lower} = 2 - 2$

Этап 4.3

Вычтем $2$ из $2$ .

$u_{lower} = 0$

Этап 4.4

Подставим верхнее предельное значение вместо $x$ в $u = x - 2$ .

$u_{upper} = 6 - 2$

Этап 4.5

Вычтем $2$ из $6$ .

$u_{upper} = 4$

Этап 4.6

Значения, найденные для $u_{lower}$ и $u_{upper}$ , будут использованы для вычисления данного определенного интеграла.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 4$

Этап 4.7

Переформулируем задачу, используя $u$ , $d u$ и новые пределы интегрирования.

$\frac{x (2 {(x - 2)}^{\frac{3}{2}})}{3}]_{2}^{6} - \frac{2}{3} \int_{0}^{4} u^{\frac{3}{2}} d u$

Этап 5

По правилу степени интеграл $u^{\frac{3}{2}}$ по $u$ имеет вид $\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}$ .

$\frac{x (2 {(x - 2)}^{\frac{3}{2}})}{3}]_{2}^{6} - \frac{2}{3} \frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}]_{0}^{4}$

Этап 6

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Найдем значение $\frac{x (2 {(x - 2)}^{\frac{3}{2}})}{3}$ в $6$ и в $2$ .

$(\frac{6 (2 {(6 - 2)}^{\frac{3}{2}})}{3}) - \frac{2 (2 {(2 - 2)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{2}{3} \frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}]_{0}^{4}$

Этап 6.2

Найдем значение $\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}$ в $4$ и в $0$ .

$(\frac{6 (2 {(6 - 2)}^{\frac{3}{2}})}{3}) - \frac{2 (2 {(2 - 2)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 4^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

Этап 6.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Вычтем $2$ из $6$ .

$\frac{6 (2 \cdot 4^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{2 (2 {(2 - 2)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 4^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

Этап 6.3.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$\frac{6 (2 \cdot {(2^{2})}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{2 (2 {(2 - 2)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 4^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

Этап 6.3.3

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{6 (2 \cdot 2^{2 (\frac{3}{2})})}{3} - \frac{2 (2 {(2 - 2)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 4^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

Этап 6.3.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{6 (2 \cdot 2^{2 (\frac{3}{2})})}{3} - \frac{2 (2 {(2 - 2)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 4^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

Этап 6.3.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{6 (2 \cdot 2^{3})}{3} - \frac{2 (2 {(2 - 2)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 4^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

Этап 6.3.5

Возведем $2$ в степень $3$ .

$\frac{6 (2 \cdot 8)}{3} - \frac{2 (2 {(2 - 2)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 4^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

Этап 6.3.6

Умножим $2$ на $8$ .

$\frac{6 \cdot 16}{3} - \frac{2 (2 {(2 - 2)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 4^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

Этап 6.3.7

Умножим $6$ на $16$ .

$\frac{96}{3} - \frac{2 (2 {(2 - 2)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 4^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

Этап 6.3.8

Сократим общий множитель $96$ и $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.8.1

Вынесем множитель $3$ из $96$ .

$\frac{3 \cdot 32}{3} - \frac{2 (2 {(2 - 2)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 4^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

Этап 6.3.8.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.8.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$\frac{3 \cdot 32}{3 (1)} - \frac{2 (2 {(2 - 2)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 4^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

Этап 6.3.8.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{3 \cdot 32}{3 \cdot 1} - \frac{2 (2 {(2 - 2)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 4^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

Этап 6.3.8.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{32}{1} - \frac{2 (2 {(2 - 2)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 4^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

Этап 6.3.8.2.4

Разделим $32$ на $1$ .

$32 - \frac{2 (2 {(2 - 2)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 4^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

Этап 6.3.9

Вычтем $2$ из $2$ .

$32 - \frac{2 (2 \cdot 0^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 4^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

Этап 6.3.10

Перепишем $0$ в виде $0^{2}$ .

$32 - \frac{2 (2 \cdot {(0^{2})}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 4^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

Этап 6.3.11

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$32 - \frac{2 (2 \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})})}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 4^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

Этап 6.3.12

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.12.1

Сократим общий множитель.

$32 - \frac{2 (2 \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})})}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 4^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

Этап 6.3.12.2

Перепишем это выражение.

$32 - \frac{2 (2 \cdot 0^{3})}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 4^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

Этап 6.3.13

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$32 - \frac{2 (2 \cdot 0)}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 4^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

Этап 6.3.14

Умножим $2$ на $0$ .

$32 - \frac{2 \cdot 0}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 4^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

Этап 6.3.15

Умножим $2$ на $0$ .

$32 - \frac{0}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 4^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

Этап 6.3.16

Сократим общий множитель $0$ и $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.16.1

Вынесем множитель $3$ из $0$ .

$32 - \frac{3 (0)}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 4^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

Этап 6.3.16.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.16.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$32 - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 4^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

Этап 6.3.16.2.2

Сократим общий множитель.

$32 - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 4^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

Этап 6.3.16.2.3

Перепишем это выражение.

$32 - \frac{0}{1} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 4^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

Этап 6.3.16.2.4

Разделим $0$ на $1$ .

$32 - 0 - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 4^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

Этап 6.3.17

Умножим $- 1$ на $0$ .

$32 + 0 - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 4^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

Этап 6.3.18

Добавим $32$ и $0$ .

$32 - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 4^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

Этап 6.3.19

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$32 - \frac{2}{3} (\frac{2}{5} \cdot {(2^{2})}^{\frac{5}{2}} - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

Этап 6.3.20

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$32 - \frac{2}{3} (\frac{2}{5} \cdot 2^{2 (\frac{5}{2})} - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

Этап 6.3.21

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.21.1

Сократим общий множитель.

$32 - \frac{2}{3} (\frac{2}{5} \cdot 2^{2 (\frac{5}{2})} - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

Этап 6.3.21.2

Перепишем это выражение.

$32 - \frac{2}{3} (\frac{2}{5} \cdot 2^{5} - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

Этап 6.3.22

Возведем $2$ в степень $5$ .

$32 - \frac{2}{3} (\frac{2}{5} \cdot 32 - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

Этап 6.3.23

Объединим $\frac{2}{5}$ и $32$ .

$32 - \frac{2}{3} (\frac{2 \cdot 32}{5} - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

Этап 6.3.24

Умножим $2$ на $32$ .

$32 - \frac{2}{3} (\frac{64}{5} - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

Этап 6.3.25

Перепишем $0$ в виде $0^{2}$ .

$32 - \frac{2}{3} (\frac{64}{5} - \frac{2}{5} \cdot {(0^{2})}^{\frac{5}{2}})$

Этап 6.3.26

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$32 - \frac{2}{3} (\frac{64}{5} - \frac{2}{5} \cdot 0^{2 (\frac{5}{2})})$

Этап 6.3.27

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.27.1

Сократим общий множитель.

$32 - \frac{2}{3} (\frac{64}{5} - \frac{2}{5} \cdot 0^{2 (\frac{5}{2})})$

Этап 6.3.27.2

Перепишем это выражение.

$32 - \frac{2}{3} (\frac{64}{5} - \frac{2}{5} \cdot 0^{5})$

Этап 6.3.28

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$32 - \frac{2}{3} (\frac{64}{5} - \frac{2}{5} \cdot 0)$

Этап 6.3.29

Умножим $0$ на $- 1$ .

$32 - \frac{2}{3} (\frac{64}{5} + 0 (\frac{2}{5}))$

Этап 6.3.30

Умножим $0$ на $\frac{2}{5}$ .

$32 - \frac{2}{3} (\frac{64}{5} + 0)$

Этап 6.3.31

Добавим $\frac{64}{5}$ и $0$ .

$32 - \frac{2}{3} \cdot \frac{64}{5}$

Этап 6.3.32

Умножим $\frac{64}{5}$ на $\frac{2}{3}$ .

$32 - \frac{64 \cdot 2}{5 \cdot 3}$

Этап 6.3.33

Умножим $64$ на $2$ .

$32 - \frac{128}{5 \cdot 3}$

Этап 6.3.34

Умножим $5$ на $3$ .

$32 - \frac{128}{15}$

Этап 6.3.35

Чтобы записать $32$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{15}{15}$ .

$32 \cdot \frac{15}{15} - \frac{128}{15}$

Этап 6.3.36

Объединим $32$ и $\frac{15}{15}$ .

$\frac{32 \cdot 15}{15} - \frac{128}{15}$

Этап 6.3.37

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{32 \cdot 15 - 128}{15}$

Этап 6.3.38

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.38.1

Умножим $32$ на $15$ .

$\frac{480 - 128}{15}$

Этап 6.3.38.2

Вычтем $128$ из $480$ .

$\frac{352}{15}$

Этап 7

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{352}{15}$

Десятичная форма:

$23.4\overline{6}$

Форма смешанных чисел:

$23 \frac{7}{15}$

Этап 8