Математический анализ Примеры

$f (x) = x^{\frac{3}{4}} - 6 x^{\frac{1}{4}}$

Этап 1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

По правилу суммы производная $x^{\frac{3}{4}} - 6 x^{\frac{1}{4}}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{4}}] + \frac{d}{d x} [- 6 x^{\frac{1}{4}}]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x^{\frac{3}{4}}) + \frac{d}{d x} (- 6 x^{\frac{1}{4}})$

Этап 1.1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{4}}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = \frac{3}{4}$ .

$f' (x) = \frac{3}{4} x^{\frac{3}{4} - 1} + \frac{d}{d x} (- 6 x^{\frac{1}{4}})$

Этап 1.1.2.2

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{4}{4}$ .

$f' (x) = \frac{3}{4} x^{\frac{3}{4} - 1 \cdot \frac{4}{4}} + \frac{d}{d x} (- 6 x^{\frac{1}{4}})$

Этап 1.1.2.3

Объединим $- 1$ и $\frac{4}{4}$ .

$f' (x) = \frac{3}{4} x^{\frac{3}{4} + \frac{- 1 \cdot 4}{4}} + \frac{d}{d x} (- 6 x^{\frac{1}{4}})$

Этап 1.1.2.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$f' (x) = \frac{3}{4} x^{\frac{3 - 1 \cdot 4}{4}} + \frac{d}{d x} (- 6 x^{\frac{1}{4}})$

Этап 1.1.2.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.5.1

Умножим $- 1$ на $4$ .

$f' (x) = \frac{3}{4} x^{\frac{3 - 4}{4}} + \frac{d}{d x} (- 6 x^{\frac{1}{4}})$

Этап 1.1.2.5.2

Вычтем $4$ из $3$ .

$f' (x) = \frac{3}{4} x^{\frac{- 1}{4}} + \frac{d}{d x} (- 6 x^{\frac{1}{4}})$

Этап 1.1.2.6

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f' (x) = \frac{3}{4} x^{- \frac{1}{4}} + \frac{d}{d x} (- 6 x^{\frac{1}{4}})$

Этап 1.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 6 x^{\frac{1}{4}}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Поскольку $- 6$ является константой относительно $x$ , производная $- 6 x^{\frac{1}{4}}$ по $x$ равна $- 6 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{4}}]$ .

$f' (x) = \frac{3}{4} x^{- \frac{1}{4}} - 6 \frac{d}{d x} x^{\frac{1}{4}}$

Этап 1.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = \frac{1}{4}$ .

$f' (x) = \frac{3}{4} x^{- \frac{1}{4}} - 6 (\frac{1}{4} x^{\frac{1}{4} - 1})$

Этап 1.1.3.3

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{4}{4}$ .

$f' (x) = \frac{3}{4} x^{- \frac{1}{4}} - 6 (\frac{1}{4} x^{\frac{1}{4} - 1 \cdot \frac{4}{4}})$

Этап 1.1.3.4

Объединим $- 1$ и $\frac{4}{4}$ .

$f' (x) = \frac{3}{4} x^{- \frac{1}{4}} - 6 (\frac{1}{4} x^{\frac{1}{4} + \frac{- 1 \cdot 4}{4}})$

Этап 1.1.3.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$f' (x) = \frac{3}{4} x^{- \frac{1}{4}} - 6 (\frac{1}{4} x^{\frac{1 - 1 \cdot 4}{4}})$

Этап 1.1.3.6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.6.1

Умножим $- 1$ на $4$ .

$f' (x) = \frac{3}{4} x^{- \frac{1}{4}} - 6 (\frac{1}{4} x^{\frac{1 - 4}{4}})$

Этап 1.1.3.6.2

Вычтем $4$ из $1$ .

$f' (x) = \frac{3}{4} x^{- \frac{1}{4}} - 6 (\frac{1}{4} x^{\frac{- 3}{4}})$

Этап 1.1.3.7

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f' (x) = \frac{3}{4} x^{- \frac{1}{4}} - 6 (\frac{1}{4} x^{- \frac{3}{4}})$

Этап 1.1.3.8

Объединим $\frac{1}{4}$ и $x^{- \frac{3}{4}}$ .

$f' (x) = \frac{3}{4} x^{- \frac{1}{4}} - 6 \frac{x^{- \frac{3}{4}}}{4}$

Этап 1.1.3.9

Объединим $- 6$ и $\frac{x^{- \frac{3}{4}}}{4}$ .

$f' (x) = \frac{3}{4} x^{- \frac{1}{4}} + \frac{- 6 x^{- \frac{3}{4}}}{4}$

Этап 1.1.3.10

Перенесем $x^{- \frac{3}{4}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = \frac{3}{4} x^{- \frac{1}{4}} + \frac{- 6}{4 x^{\frac{3}{4}}}$

Этап 1.1.3.11

Вынесем множитель $2$ из $- 6$ .

$f' (x) = \frac{3}{4} x^{- \frac{1}{4}} + \frac{2 (- 3)}{4 x^{\frac{3}{4}}}$

Этап 1.1.3.12

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.12.1

Вынесем множитель $2$ из $4 x^{\frac{3}{4}}$ .

$f' (x) = \frac{3}{4} x^{- \frac{1}{4}} + \frac{2 (- 3)}{2 (2 x^{\frac{3}{4}})}$

Этап 1.1.3.12.2

Сократим общий множитель.

$f' (x) = \frac{3}{4} x^{- \frac{1}{4}} + \frac{2 \cdot - 3}{2 (2 x^{\frac{3}{4}})}$

Этап 1.1.3.12.3

Перепишем это выражение.

$f' (x) = \frac{3}{4} x^{- \frac{1}{4}} + \frac{- 3}{2 x^{\frac{3}{4}}}$

Этап 1.1.3.13

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f' (x) = \frac{3}{4} x^{- \frac{1}{4}} - \frac{3}{2 x^{\frac{3}{4}}}$

Этап 1.1.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.4.1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{4}}} - \frac{3}{2 x^{\frac{3}{4}}}$

Этап 1.1.4.2

Умножим $\frac{3}{4}$ на $\frac{1}{x^{\frac{1}{4}}}$ .

$f' (x) = \frac{3}{4 x^{\frac{1}{4}}} - \frac{3}{2 x^{\frac{3}{4}}}$

Этап 1.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $\frac{3}{4 x^{\frac{1}{4}}} - \frac{3}{2 x^{\frac{3}{4}}}$ .

$\frac{3}{4 x^{\frac{1}{4}}} - \frac{3}{2 x^{\frac{3}{4}}}$

Этап 2

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $\frac{3}{4 x^{\frac{1}{4}}} - \frac{3}{2 x^{\frac{3}{4}}} = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$\frac{3}{4 x^{\frac{1}{4}}} - \frac{3}{2 x^{\frac{3}{4}}} = 0$

Этап 2.2

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$4 x^{\frac{1}{4}}, 2 x^{\frac{3}{4}}, 1$

Этап 2.2.2

Since $4 x^{\frac{1}{4}}, 2 x^{\frac{3}{4}}, 1$ contains both numbers and variables, there are two steps to find the LCM. Find LCM for the numeric part $4, 2, 1$ then find LCM for the variable part $x^{\frac{1}{4}}, x^{\frac{3}{4}}$ .

Этап 2.2.3

НОК — это наименьшее положительное число, на которое все числа делятся без остатка.

1. Перечислим простые множители каждого числа.

2. Применим каждый множитель наибольшее количество раз, которое он встречается в любом из чисел.

Этап 2.2.4

У $4$ есть множители: $2$ и $2$ .

$2 \cdot 2$

Этап 2.2.5

Поскольку $2$ не имеет множителей, кроме $1$ и $2$ .

$2$ — простое число

Этап 2.2.6

Число $1$ не является простым числом, поскольку оно имеет только один положительный делитель ― само число.

Не является простым

Этап 2.2.7

НОК $4, 2, 1$ представляет собой произведение всех простых множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$2 \cdot 2$

Этап 2.2.8

Умножим $2$ на $2$ .

$4$

Этап 2.2.9

НОК $x^{\frac{1}{4}}, x^{\frac{3}{4}}$ представляет собой произведение всех простых множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$x^{\frac{3}{4}}$

Этап 2.2.10

НОК $4 x^{\frac{1}{4}}, 2 x^{\frac{3}{4}}, 1$ представляет собой произведение числовой части $4$ и переменной части.

$4 x^{\frac{3}{4}}$

Этап 2.3

Каждый член в $\frac{3}{4 x^{\frac{1}{4}}} - \frac{3}{2 x^{\frac{3}{4}}} = 0$ умножим на $4 x^{\frac{3}{4}}$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Умножим каждый член $\frac{3}{4 x^{\frac{1}{4}}} - \frac{3}{2 x^{\frac{3}{4}}} = 0$ на $4 x^{\frac{3}{4}}$ .

$\frac{3}{4 x^{\frac{1}{4}}} (4 x^{\frac{3}{4}}) - \frac{3}{2 x^{\frac{3}{4}}} (4 x^{\frac{3}{4}}) = 0 (4 x^{\frac{3}{4}})$

Этап 2.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$4 \frac{3}{4 x^{\frac{1}{4}}} x^{\frac{3}{4}} - \frac{3}{2 x^{\frac{3}{4}}} (4 x^{\frac{3}{4}}) = 0 (4 x^{\frac{3}{4}})$

Этап 2.3.2.1.2

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1.2.1

Сократим общий множитель.

$4 \frac{3}{4 x^{\frac{1}{4}}} x^{\frac{3}{4}} - \frac{3}{2 x^{\frac{3}{4}}} (4 x^{\frac{3}{4}}) = 0 (4 x^{\frac{3}{4}})$

Этап 2.3.2.1.2.2

Перепишем это выражение.

$\frac{3}{x^{\frac{1}{4}}} x^{\frac{3}{4}} - \frac{3}{2 x^{\frac{3}{4}}} (4 x^{\frac{3}{4}}) = 0 (4 x^{\frac{3}{4}})$

Этап 2.3.2.1.3

Сократим общий множитель $x^{\frac{1}{4}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1.3.1

Вынесем множитель $x^{\frac{1}{4}}$ из $x^{\frac{3}{4}}$ .

$\frac{3}{x^{\frac{1}{4}}} (x^{\frac{1}{4}} x^{\frac{2}{4}}) - \frac{3}{2 x^{\frac{3}{4}}} (4 x^{\frac{3}{4}}) = 0 (4 x^{\frac{3}{4}})$

Этап 2.3.2.1.3.2

Сократим общий множитель.

$\frac{3}{x^{\frac{1}{4}}} (x^{\frac{1}{4}} x^{\frac{2}{4}}) - \frac{3}{2 x^{\frac{3}{4}}} (4 x^{\frac{3}{4}}) = 0 (4 x^{\frac{3}{4}})$

Этап 2.3.2.1.3.3

Перепишем это выражение.

$3 x^{\frac{2}{4}} - \frac{3}{2 x^{\frac{3}{4}}} (4 x^{\frac{3}{4}}) = 0 (4 x^{\frac{3}{4}})$

Этап 2.3.2.1.4

Сократим общий множитель $2$ и $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1.4.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$3 x^{\frac{2 (1)}{4}} - \frac{3}{2 x^{\frac{3}{4}}} (4 x^{\frac{3}{4}}) = 0 (4 x^{\frac{3}{4}})$

Этап 2.3.2.1.4.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1.4.2.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$3 x^{\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}} - \frac{3}{2 x^{\frac{3}{4}}} (4 x^{\frac{3}{4}}) = 0 (4 x^{\frac{3}{4}})$

Этап 2.3.2.1.4.2.2

Сократим общий множитель.

$3 x^{\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}} - \frac{3}{2 x^{\frac{3}{4}}} (4 x^{\frac{3}{4}}) = 0 (4 x^{\frac{3}{4}})$

Этап 2.3.2.1.4.2.3

Перепишем это выражение.

$3 x^{\frac{1}{2}} - \frac{3}{2 x^{\frac{3}{4}}} (4 x^{\frac{3}{4}}) = 0 (4 x^{\frac{3}{4}})$

Этап 2.3.2.1.5

Сократим общий множитель $2 x^{\frac{3}{4}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1.5.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{3}{2 x^{\frac{3}{4}}}$ в числитель.

$3 x^{\frac{1}{2}} + \frac{- 3}{2 x^{\frac{3}{4}}} (4 x^{\frac{3}{4}}) = 0 (4 x^{\frac{3}{4}})$

Этап 2.3.2.1.5.2

Вынесем множитель $2 x^{\frac{3}{4}}$ из $4 x^{\frac{3}{4}}$ .

$3 x^{\frac{1}{2}} + \frac{- 3}{2 x^{\frac{3}{4}}} (2 x^{\frac{3}{4}} (2)) = 0 (4 x^{\frac{3}{4}})$

Этап 2.3.2.1.5.3

Сократим общий множитель.

$3 x^{\frac{1}{2}} + \frac{- 3}{2 x^{\frac{3}{4}}} (2 x^{\frac{3}{4}} \cdot 2) = 0 (4 x^{\frac{3}{4}})$

Этап 2.3.2.1.5.4

Перепишем это выражение.

$3 x^{\frac{1}{2}} - 3 \cdot 2 = 0 (4 x^{\frac{3}{4}})$

Этап 2.3.2.1.6

Умножим $- 3$ на $2$ .

$3 x^{\frac{1}{2}} - 6 = 0 (4 x^{\frac{3}{4}})$

Этап 2.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1

Умножим $0 (4 x^{\frac{3}{4}})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1.1

Умножим $4$ на $0$ .

$3 x^{\frac{1}{2}} - 6 = 0 x^{\frac{3}{4}}$

Этап 2.3.3.1.2

Умножим $0$ на $x^{\frac{3}{4}}$ .

$3 x^{\frac{1}{2}} - 6 = 0$

Этап 2.4

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Добавим $6$ к обеим частям уравнения.

$3 x^{\frac{1}{2}} = 6$

Этап 2.4.2

Возведем обе части уравнения в степень $2$ , чтобы исключить дробный показатель в левой части.

${(3 x^{\frac{1}{2}})}^{2} = 6^{2}$

Этап 2.4.3

Упростим показатель степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.3.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.3.1.1

Упростим ${(3 x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.3.1.1.1

Применим правило умножения к $3 x^{\frac{1}{2}}$ .

$3^{2} {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = 6^{2}$

Этап 2.4.3.1.1.2

Возведем $3$ в степень $2$ .

$9 {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = 6^{2}$

Этап 2.4.3.1.1.3

Перемножим экспоненты в ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.3.1.1.3.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$9 x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 6^{2}$

Этап 2.4.3.1.1.3.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.3.1.1.3.2.1

Сократим общий множитель.

$9 x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 6^{2}$

Этап 2.4.3.1.1.3.2.2

Перепишем это выражение.

$9 x^{1} = 6^{2}$

Этап 2.4.3.1.1.4

Упростим.

$9 x = 6^{2}$

Этап 2.4.3.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.3.2.1

Возведем $6$ в степень $2$ .

$9 x = 36$

Этап 2.4.4

Разделим каждый член $9 x = 36$ на $9$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.4.1

Разделим каждый член $9 x = 36$ на $9$ .

$\frac{9 x}{9} = \frac{36}{9}$

Этап 2.4.4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.4.2.1

Сократим общий множитель $9$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.4.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{9 x}{9} = \frac{36}{9}$

Этап 2.4.4.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{36}{9}$

Этап 2.4.4.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.4.3.1

Разделим $36$ на $9$ .

$x = 4$

Этап 3

Найдем значения, при которых производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Преобразуем выражения, перейдя от дробных степеней к радикалам.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Применим правило $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ , чтобы представить возведение в степень в виде радикала.

$\frac{3}{4 \sqrt[4]{x^{1}}} - \frac{3}{2 x^{\frac{3}{4}}}$

Этап 3.1.2

Применим правило $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ , чтобы представить возведение в степень в виде радикала.

$\frac{3}{4 \sqrt[4]{x^{1}}} - \frac{3}{2 \sqrt[4]{x^{3}}}$

Этап 3.1.3

Любое число, возведенное в степень $1$ , является основанием.

$\frac{3}{4 \sqrt[4]{x}} - \frac{3}{2 \sqrt[4]{x^{3}}}$

Этап 3.2

Зададим знаменатель в $\frac{3}{4 \sqrt[4]{x}}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$4 \sqrt[4]{x} = 0$

Этап 3.3

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Чтобы избавиться от знака корня в левой части уравнения, возведем обе части в степень $4$ .

${(4 \sqrt[4]{x})}^{4} = 0^{4}$

Этап 3.3.2

Упростим каждую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt[4]{x}$ в виде $x^{\frac{1}{4}}$ .

${(4 x^{\frac{1}{4}})}^{4} = 0^{4}$

Этап 3.3.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.2.1

Упростим ${(4 x^{\frac{1}{4}})}^{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.2.1.1

Применим правило умножения к $4 x^{\frac{1}{4}}$ .

$4^{4} {(x^{\frac{1}{4}})}^{4} = 0^{4}$

Этап 3.3.2.2.1.2

Возведем $4$ в степень $4$ .

$256 {(x^{\frac{1}{4}})}^{4} = 0^{4}$

Этап 3.3.2.2.1.3

Перемножим экспоненты в ${(x^{\frac{1}{4}})}^{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.2.1.3.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$256 x^{\frac{1}{4} \cdot 4} = 0^{4}$

Этап 3.3.2.2.1.3.2

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.2.1.3.2.1

Сократим общий множитель.

$256 x^{\frac{1}{4} \cdot 4} = 0^{4}$

Этап 3.3.2.2.1.3.2.2

Перепишем это выражение.

$256 x^{1} = 0^{4}$

Этап 3.3.2.2.1.4

Упростим.

$256 x = 0^{4}$

Этап 3.3.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.3.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$256 x = 0$

Этап 3.3.3

Разделим каждый член $256 x = 0$ на $256$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.1

Разделим каждый член $256 x = 0$ на $256$ .

$\frac{256 x}{256} = \frac{0}{256}$

Этап 3.3.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.2.1

Сократим общий множитель $256$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{256 x}{256} = \frac{0}{256}$

Этап 3.3.3.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{0}{256}$

Этап 3.3.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.3.1

Разделим $0$ на $256$ .

$x = 0$

Этап 3.4

Зададим знаменатель в $\frac{3}{2 \sqrt[4]{x^{3}}}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$2 \sqrt[4]{x^{3}} = 0$

Этап 3.5

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Чтобы избавиться от знака корня в левой части уравнения, возведем обе части в степень $4$ .

${(2 \sqrt[4]{x^{3}})}^{4} = 0^{4}$

Этап 3.5.2

Упростим каждую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt[4]{x^{3}}$ в виде $x^{\frac{3}{4}}$ .

${(2 x^{\frac{3}{4}})}^{4} = 0^{4}$

Этап 3.5.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.2.1

Упростим ${(2 x^{\frac{3}{4}})}^{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.2.1.1

Применим правило умножения к $2 x^{\frac{3}{4}}$ .

$2^{4} {(x^{\frac{3}{4}})}^{4} = 0^{4}$

Этап 3.5.2.2.1.2

Возведем $2$ в степень $4$ .

$16 {(x^{\frac{3}{4}})}^{4} = 0^{4}$

Этап 3.5.2.2.1.3

Перемножим экспоненты в ${(x^{\frac{3}{4}})}^{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.2.1.3.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$16 x^{\frac{3}{4} \cdot 4} = 0^{4}$

Этап 3.5.2.2.1.3.2

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.2.1.3.2.1

Сократим общий множитель.

$16 x^{\frac{3}{4} \cdot 4} = 0^{4}$

Этап 3.5.2.2.1.3.2.2

Перепишем это выражение.

$16 x^{3} = 0^{4}$

Этап 3.5.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.3.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$16 x^{3} = 0$

Этап 3.5.3

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.3.1

Разделим каждый член $16 x^{3} = 0$ на $16$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.3.1.1

Разделим каждый член $16 x^{3} = 0$ на $16$ .

$\frac{16 x^{3}}{16} = \frac{0}{16}$

Этап 3.5.3.1.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.3.1.2.1

Сократим общий множитель $16$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.3.1.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{16 x^{3}}{16} = \frac{0}{16}$

Этап 3.5.3.1.2.1.2

Разделим $x^{3}$ на $1$ .

$x^{3} = \frac{0}{16}$

Этап 3.5.3.1.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.3.1.3.1

Разделим $0$ на $16$ .

$x^{3} = 0$

Этап 3.5.3.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \sqrt[3]{0}$

Этап 3.5.3.3

Упростим $\sqrt[3]{0}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.3.3.1

Перепишем $0$ в виде $0^{3}$ .

$x = \sqrt[3]{0^{3}}$

Этап 3.5.3.3.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что это вещественные числа.

$x = 0$

Этап 3.6

Зададим подкоренное выражение в $\sqrt[4]{x}$ меньшим $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$x < 0$

Этап 3.7

Зададим подкоренное выражение в $\sqrt[4]{x^{3}}$ меньшим $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$x^{3} < 0$

Этап 3.8

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.1

Take the specified root of both sides of the inequality to eliminate the exponent on the left side.

$\sqrt[3]{x^{3}} < \sqrt[3]{0}$

Этап 3.8.2

Упростим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.2.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.2.1.1

Вынесем члены из-под знака корня.

$x < \sqrt[3]{0}$

Этап 3.8.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.2.2.1

Упростим $\sqrt[3]{0}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.2.2.1.1

Перепишем $0$ в виде $0^{3}$ .

$x < \sqrt[3]{0^{3}}$

Этап 3.8.2.2.1.2

Вынесем члены из-под знака корня.

$x < 0$

Этап 3.9

Уравнение не определено, если знаменатель равен $0$ , аргумент под знаком квадратного корня меньше $0$ или аргумент под знаком логарифма меньше или равен $0$ .

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

Этап 4

Вычислим $x^{\frac{3}{4}} - 6 x^{\frac{1}{4}}$ для каждого значения $x$ , для которого производная равна $0$ или не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Найдем значение в $x = 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Подставим $4$ вместо $x$ .

${(4)}^{\frac{3}{4}} - 6 {(4)}^{\frac{1}{4}}$

Этап 4.1.2

Избавимся от скобок.

$4^{\frac{3}{4}} - 6 \cdot 4^{\frac{1}{4}}$

Этап 4.2

Найдем значение в $x = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Подставим $0$ вместо $x$ .

${(0)}^{\frac{3}{4}} - 6 {(0)}^{\frac{1}{4}}$

Этап 4.2.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1.1

Перепишем $0$ в виде $0^{4}$ .

${(0^{4})}^{\frac{3}{4}} - 6 {(0)}^{\frac{1}{4}}$

Этап 4.2.2.1.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$0^{4 (\frac{3}{4})} - 6 {(0)}^{\frac{1}{4}}$

Этап 4.2.2.1.3

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1.3.1

Сократим общий множитель.

$0^{4 (\frac{3}{4})} - 6 {(0)}^{\frac{1}{4}}$

Этап 4.2.2.1.3.2

Перепишем это выражение.

$0^{3} - 6 {(0)}^{\frac{1}{4}}$

Этап 4.2.2.1.4

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$0 - 6 {(0)}^{\frac{1}{4}}$

Этап 4.2.2.1.5

Перепишем $0$ в виде $0^{4}$ .

$0 - 6 {(0^{4})}^{\frac{1}{4}}$

Этап 4.2.2.1.6

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$0 - 6 \cdot 0^{4 (\frac{1}{4})}$

Этап 4.2.2.1.7

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1.7.1

Сократим общий множитель.

$0 - 6 \cdot 0^{4 (\frac{1}{4})}$

Этап 4.2.2.1.7.2

Перепишем это выражение.

$0 - 6 \cdot 0^{1}$

Этап 4.2.2.1.8

Найдем экспоненту.

$0 - 6 \cdot 0$

Этап 4.2.2.1.9

Умножим $- 6$ на $0$ .

$0 + 0$

Этап 4.2.2.2

Добавим $0$ и $0$ .

$0$

Этап 4.3

Перечислим все точки.

$(4, 4^{\frac{3}{4}} - 6 \cdot 4^{\frac{1}{4}}), (0, 0)$

Этап 5