Математический анализ Примеры

$f (x) = x^{2} - 4 \sqrt{x}$

Этап 1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.1

По правилу суммы производная $x^{2} - 4 \sqrt{x}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 \sqrt{x}]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 4 \sqrt{x})$

Этап 1.1.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$f' (x) = 2 x + \frac{d}{d x} (- 4 \sqrt{x})$

Этап 1.1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 4 \sqrt{x}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x}$ в виде $x^{\frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = 2 x + \frac{d}{d x} (- 4 x^{\frac{1}{2}})$

Этап 1.1.2.2

Поскольку $- 4$ является константой относительно $x$ , производная $- 4 x^{\frac{1}{2}}$ по $x$ равна $- 4 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

$f' (x) = 2 x - 4 \frac{d}{d x} x^{\frac{1}{2}}$

Этап 1.1.2.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = \frac{1}{2}$ .

$f' (x) = 2 x - 4 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})$

Этап 1.1.2.4

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$f' (x) = 2 x - 4 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Этап 1.1.2.5

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$f' (x) = 2 x - 4 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Этап 1.1.2.6

Объединим числители над общим знаменателем.

$f' (x) = 2 x - 4 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})$

Этап 1.1.2.7

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.7.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$f' (x) = 2 x - 4 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})$

Этап 1.1.2.7.2

Вычтем $2$ из $1$ .

$f' (x) = 2 x - 4 (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})$

Этап 1.1.2.8

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f' (x) = 2 x - 4 (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})$

Этап 1.1.2.9

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = 2 x - 4 \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Этап 1.1.2.10

Объединим $- 4$ и $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$f' (x) = 2 x + \frac{- 4 x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Этап 1.1.2.11

Перенесем $x^{- \frac{1}{2}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = 2 x + \frac{- 4}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Этап 1.1.2.12

Вынесем множитель $2$ из $- 4$ .

$f' (x) = 2 x + \frac{2 \cdot - 2}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Этап 1.1.2.13

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.13.1

Вынесем множитель $2$ из $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = 2 x + \frac{2 \cdot - 2}{2 (x^{\frac{1}{2}})}$

Этап 1.1.2.13.2

Сократим общий множитель.

$f' (x) = 2 x + \frac{2 \cdot - 2}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Этап 1.1.2.13.3

Перепишем это выражение.

$f' (x) = 2 x + \frac{- 2}{x^{\frac{1}{2}}}$

Этап 1.1.2.14

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f' (x) = 2 x - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}$

Этап 1.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $2 x - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$2 x - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}$

Этап 2

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $2 x - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$2 x - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} = 0$

Этап 2.2

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$1, x^{\frac{1}{2}}, 1$

Этап 2.2.2

НОК единицы и любого выражения есть это выражение.

$x^{\frac{1}{2}}$

Этап 2.3

Каждый член в $2 x - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} = 0$ умножим на $x^{\frac{1}{2}}$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Умножим каждый член $2 x - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} = 0$ на $x^{\frac{1}{2}}$ .

$2 x \cdot x^{\frac{1}{2}} - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} x^{\frac{1}{2}} = 0 x^{\frac{1}{2}}$

Этап 2.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1.1

Умножим $x$ на $x^{\frac{1}{2}}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1.1.1

Перенесем $x^{\frac{1}{2}}$ .

$2 (x^{\frac{1}{2}} x) - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} x^{\frac{1}{2}} = 0 x^{\frac{1}{2}}$

Этап 2.3.2.1.1.2

Умножим $x^{\frac{1}{2}}$ на $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1.1.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$2 (x^{\frac{1}{2}} x^{1}) - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} x^{\frac{1}{2}} = 0 x^{\frac{1}{2}}$

Этап 2.3.2.1.1.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$2 x^{\frac{1}{2} + 1} - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} x^{\frac{1}{2}} = 0 x^{\frac{1}{2}}$

Этап 2.3.2.1.1.3

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$2 x^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}} - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} x^{\frac{1}{2}} = 0 x^{\frac{1}{2}}$

Этап 2.3.2.1.1.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$2 x^{\frac{1 + 2}{2}} - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} x^{\frac{1}{2}} = 0 x^{\frac{1}{2}}$

Этап 2.3.2.1.1.5

Добавим $1$ и $2$ .

$2 x^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} x^{\frac{1}{2}} = 0 x^{\frac{1}{2}}$

Этап 2.3.2.1.2

Сократим общий множитель $x^{\frac{1}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1.2.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}$ в числитель.

$2 x^{\frac{3}{2}} + \frac{- 2}{x^{\frac{1}{2}}} x^{\frac{1}{2}} = 0 x^{\frac{1}{2}}$

Этап 2.3.2.1.2.2

Сократим общий множитель.

$2 x^{\frac{3}{2}} + \frac{- 2}{x^{\frac{1}{2}}} x^{\frac{1}{2}} = 0 x^{\frac{1}{2}}$

Этап 2.3.2.1.2.3

Перепишем это выражение.

$2 x^{\frac{3}{2}} - 2 = 0 x^{\frac{1}{2}}$

Этап 2.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1

Умножим $0$ на $x^{\frac{1}{2}}$ .

$2 x^{\frac{3}{2}} - 2 = 0$

Этап 2.4

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Добавим $2$ к обеим частям уравнения.

$2 x^{\frac{3}{2}} = 2$

Этап 2.4.2

Возведем обе части уравнения в степень $\frac{2}{3}$ , чтобы исключить дробный показатель в левой части.

${(2 x^{\frac{3}{2}})}^{\frac{2}{3}} = 2^{\frac{2}{3}}$

Этап 2.4.3

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.3.1

Упростим ${(2 x^{\frac{3}{2}})}^{\frac{2}{3}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.3.1.1

Применим правило умножения к $2 x^{\frac{3}{2}}$ .

$2^{\frac{2}{3}} {(x^{\frac{3}{2}})}^{\frac{2}{3}} = 2^{\frac{2}{3}}$

Этап 2.4.3.1.2

Перемножим экспоненты в ${(x^{\frac{3}{2}})}^{\frac{2}{3}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.3.1.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2^{\frac{2}{3}} x^{\frac{3}{2} \cdot \frac{2}{3}} = 2^{\frac{2}{3}}$

Этап 2.4.3.1.2.2

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.3.1.2.2.1

Сократим общий множитель.

$2^{\frac{2}{3}} x^{\frac{3}{2} \cdot \frac{2}{3}} = 2^{\frac{2}{3}}$

Этап 2.4.3.1.2.2.2

Перепишем это выражение.

$2^{\frac{2}{3}} x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 2^{\frac{2}{3}}$

Этап 2.4.3.1.2.3

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.3.1.2.3.1

Сократим общий множитель.

$2^{\frac{2}{3}} x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 2^{\frac{2}{3}}$

Этап 2.4.3.1.2.3.2

Перепишем это выражение.

$2^{\frac{2}{3}} x^{1} = 2^{\frac{2}{3}}$

Этап 2.4.3.1.3

Упростим.

$2^{\frac{2}{3}} x = 2^{\frac{2}{3}}$

Этап 2.4.3.1.4

Изменим порядок множителей в $2^{\frac{2}{3}} x$ .

$x \cdot 2^{\frac{2}{3}} = 2^{\frac{2}{3}}$

Этап 2.4.4

Разделим каждый член $x \cdot 2^{\frac{2}{3}} = 2^{\frac{2}{3}}$ на $2^{\frac{2}{3}}$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.4.1

Разделим каждый член $x \cdot 2^{\frac{2}{3}} = 2^{\frac{2}{3}}$ на $2^{\frac{2}{3}}$ .

$\frac{x \cdot 2^{\frac{2}{3}}}{2^{\frac{2}{3}}} = \frac{2^{\frac{2}{3}}}{2^{\frac{2}{3}}}$

Этап 2.4.4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.4.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{x \cdot 2^{\frac{2}{3}}}{2^{\frac{2}{3}}} = \frac{2^{\frac{2}{3}}}{2^{\frac{2}{3}}}$

Этап 2.4.4.2.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{2^{\frac{2}{3}}}{2^{\frac{2}{3}}}$

Этап 2.4.4.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.4.3.1

Сократим общий множитель.

$x = \frac{2^{\frac{2}{3}}}{2^{\frac{2}{3}}}$

Этап 2.4.4.3.2

Перепишем это выражение.

$x = 1$

Этап 3

Найдем значения, при которых производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Преобразуем выражения, перейдя от дробных степеней к радикалам.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Применим правило $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ , чтобы представить возведение в степень в виде радикала.

$2 x - \frac{2}{\sqrt{x^{1}}}$

Этап 3.1.2

Любое число, возведенное в степень $1$ , является основанием.

$2 x - \frac{2}{\sqrt{x}}$

Этап 3.2

Зададим знаменатель в $\frac{2}{\sqrt{x}}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$\sqrt{x} = 0$

Этап 3.3

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Чтобы избавиться от радикала в левой части уравнения, возведем обе части уравнения в квадрат.

${\sqrt{x}}^{2} = 0^{2}$

Этап 3.3.2

Упростим каждую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x}$ в виде $x^{\frac{1}{2}}$ .

${(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Этап 3.3.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.2.1

Упростим ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.2.1.1

Перемножим экспоненты в ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.2.1.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Этап 3.3.2.2.1.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.2.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Этап 3.3.2.2.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

$x^{1} = 0^{2}$

Этап 3.3.2.2.1.2

Упростим.

$x = 0^{2}$

Этап 3.3.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.3.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$x = 0$

Этап 3.4

Зададим подкоренное выражение в $\sqrt{x}$ меньшим $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$x < 0$

Этап 3.5

Уравнение не определено, если знаменатель равен $0$ , аргумент под знаком квадратного корня меньше $0$ или аргумент под знаком логарифма меньше или равен $0$ .

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

Этап 4

Вычислим $x^{2} - 4 \sqrt{x}$ для каждого значения $x$ , для которого производная равна $0$ или не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Найдем значение в $x = 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Подставим $1$ вместо $x$ .

${(1)}^{2} - 4 \sqrt{1}$

Этап 4.1.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1.1

Единица в любой степени равна единице.

$1 - 4 \sqrt{1}$

Этап 4.1.2.1.2

Любой корень из $1$ равен $1$ .

$1 - 4 \cdot 1$

Этап 4.1.2.1.3

Умножим $- 4$ на $1$ .

$1 - 4$

Этап 4.1.2.2

Вычтем $4$ из $1$ .

$- 3$

Этап 4.2

Найдем значение в $x = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Подставим $0$ вместо $x$ .

${(0)}^{2} - 4 \sqrt{0}$

Этап 4.2.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$0 - 4 \sqrt{0}$

Этап 4.2.2.1.2

Перепишем $0$ в виде $0^{2}$ .

$0 - 4 \sqrt{0^{2}}$

Этап 4.2.2.1.3

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$0 - 4 \cdot 0$

Этап 4.2.2.1.4

Умножим $- 4$ на $0$ .

$0 + 0$

Этап 4.2.2.2

Добавим $0$ и $0$ .

$0$

Этап 4.3

Перечислим все точки.

$(1, - 3), (0, 0)$

Этап 5