Математический анализ Примеры

Построить касательную в заданной точке с помощью определения предела y=5x^3-3x , (1,2)
,
Этап 1
Запишем в виде функции.
Этап 2
Проверим, лежит ли заданная точка на графике заданной функции.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 2.1
Найдем значение в точке .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 2.1.1
Заменим в этом выражении переменную на .
Этап 2.1.2
Упростим результат.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 2.1.2.1
Упростим каждый член.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 2.1.2.1.1
Единица в любой степени равна единице.
Этап 2.1.2.1.2
Умножим на .
Этап 2.1.2.1.3
Умножим на .
Этап 2.1.2.2
Вычтем из .
Этап 2.1.2.3
Окончательный ответ: .
Этап 2.2
Поскольку , точка лежит на графике.
Точка лежит на графике
Точка лежит на графике
Этап 3
Угловой коэффициент касательной равен производной выражения.
Производная от
Этап 4
Рассмотрим определение производной на основе предела.
Этап 5
Найдем компоненты определения.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 5.1
Найдем значение функции в .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 5.1.1
Заменим в этом выражении переменную на .
Этап 5.1.2
Упростим результат.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 5.1.2.1
Упростим каждый член.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 5.1.2.1.1
Воспользуемся бином Ньютона.
Этап 5.1.2.1.2
Применим свойство дистрибутивности.
Этап 5.1.2.1.3
Упростим.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 5.1.2.1.3.1
Умножим на .
Этап 5.1.2.1.3.2
Умножим на .
Этап 5.1.2.1.4
Избавимся от скобок.
Этап 5.1.2.1.5
Применим свойство дистрибутивности.
Этап 5.1.2.2
Окончательный ответ: .
Этап 5.2
Упорядочим.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 5.2.1
Перенесем .
Этап 5.2.2
Перенесем .
Этап 5.2.3
Перенесем .
Этап 5.2.4
Перенесем .
Этап 5.2.5
Перенесем .
Этап 5.2.6
Изменим порядок и .
Этап 5.3
Найдем компоненты определения.
Этап 6
Подставим компоненты.
Этап 7
Упростим.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 7.1
Упростим числитель.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 7.1.1
Применим свойство дистрибутивности.
Этап 7.1.2
Умножим на .
Этап 7.1.3
Умножим на .
Этап 7.1.4
Вычтем из .
Этап 7.1.5
Добавим и .
Этап 7.1.6
Добавим и .
Этап 7.1.7
Добавим и .
Этап 7.1.8
Вынесем множитель из .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 7.1.8.1
Вынесем множитель из .
Этап 7.1.8.2
Вынесем множитель из .
Этап 7.1.8.3
Вынесем множитель из .
Этап 7.1.8.4
Вынесем множитель из .
Этап 7.1.8.5
Вынесем множитель из .
Этап 7.1.8.6
Вынесем множитель из .
Этап 7.1.8.7
Вынесем множитель из .
Этап 7.2
Сократим выражение, путем отбрасывания общих множителей.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 7.2.1
Сократим общий множитель .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 7.2.1.1
Сократим общий множитель.
Этап 7.2.1.2
Разделим на .
Этап 7.2.2
Упростим выражение.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 7.2.2.1
Перенесем .
Этап 7.2.2.2
Перенесем .
Этап 7.2.2.3
Изменим порядок и .
Этап 8
Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении к .
Этап 9
Найдем предел , который является константой по мере приближения к .
Этап 10
Вынесем член из-под знака предела, так как он не зависит от .
Этап 11
Вынесем член из-под знака предела, так как он не зависит от .
Этап 12
Вынесем степень в выражении из-под знака предела по правилу степени для пределов.
Этап 13
Найдем предел , который является константой по мере приближения к .
Этап 14
Найдем значения пределов, подставив значение для всех вхождений .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 14.1
Найдем предел , подставив значение для .
Этап 14.2
Найдем предел , подставив значение для .
Этап 15
Упростим ответ.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 15.1
Упростим каждый член.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 15.1.1
Умножим .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 15.1.1.1
Умножим на .
Этап 15.1.1.2
Умножим на .
Этап 15.1.2
Возведение в любую положительную степень дает .
Этап 15.1.3
Умножим на .
Этап 15.1.4
Умножим на .
Этап 15.2
Объединим противоположные члены в .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 15.2.1
Добавим и .
Этап 15.2.2
Добавим и .
Этап 16
Найдем угловой коэффициент . В этом случае .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 16.1
Избавимся от скобок.
Этап 16.2
Упростим .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 16.2.1
Упростим каждый член.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 16.2.1.1
Единица в любой степени равна единице.
Этап 16.2.1.2
Умножим на .
Этап 16.2.2
Вычтем из .
Этап 17
Угловой коэффициент равен , а точка ― .
Этап 18
Найдем значение , используя уравнение прямой.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 18.1
Найдем с помощью уравнения прямой.
Этап 18.2
Подставим значение в уравнение.
Этап 18.3
Подставим значение в уравнение.
Этап 18.4
Подставим значение в уравнение.
Этап 18.5
Найдем значение .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 18.5.1
Перепишем уравнение в виде .
Этап 18.5.2
Умножим на .
Этап 18.5.3
Перенесем все члены без в правую часть уравнения.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 18.5.3.1
Вычтем из обеих частей уравнения.
Этап 18.5.3.2
Вычтем из .
Этап 19
Теперь, когда известны значения (углового коэффициента) и (координат точки пересечения с осью y), подставим их в , чтобы найти уравнение прямой.
Этап 20