Математический анализ Примеры

$- \frac{2 x}{y}$

Этап 1

Рассмотрим определение производной на основе предела.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Этап 2

Найдем компоненты определения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Найдем значение функции в $x = x + h$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $x + h$ .

$f (x + h) = - \frac{2 (x + h)}{y}$

Этап 2.1.2

Окончательный ответ: $- \frac{2 (x + h)}{y}$ .

$- \frac{2 (x + h)}{y}$

Этап 2.2

Найдем компоненты определения.

$f (x + h) = - \frac{2 (x + h)}{y}$

$f (x) = - \frac{2 x}{y}$

$f (x + h) = - \frac{2 (x + h)}{y}$

$f (x) = - \frac{2 x}{y}$

Этап 3

Подставим компоненты.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{- \frac{2 (x + h)}{y} - (- \frac{2 x}{y})}{h}$

Этап 4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Умножим $- - \frac{2 x}{y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{- \frac{2 (x + h)}{y} + 1 (\frac{2 x}{y})}{h}$

Этап 4.1.1.2

Умножим $\frac{2 x}{y}$ на $1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{- \frac{2 (x + h)}{y} + \frac{2 x}{y}}{h}$

Этап 4.1.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{- 2 (x + h) + 2 x}{y}}{h}$

Этап 4.1.3

Перепишем $\frac{- 2 (x + h) + 2 x}{y}$ в разложенном на множители виде.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.3.1

Вынесем множитель $2$ из $- 2 (x + h) + 2 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.3.1.1

Вынесем множитель $2$ из $- 2 (x + h)$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{2 (- (x + h)) + 2 x}{y}}{h}$

Этап 4.1.3.1.2

Вынесем множитель $2$ из $2 x$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{2 (- (x + h)) + 2 (x)}{y}}{h}$

Этап 4.1.3.1.3

Вынесем множитель $2$ из $2 (- (x + h)) + 2 (x)$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{2 (- (x + h) + x)}{y}}{h}$

Этап 4.1.3.2

Применим свойство дистрибутивности.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{2 (- x - h + x)}{y}}{h}$

Этап 4.1.3.3

Добавим $- x$ и $x$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{2 (- h + 0)}{y}}{h}$

Этап 4.1.3.4

Добавим $- h$ и $0$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{2 \cdot (- 1 h)}{y}}{h}$

Этап 4.1.3.5

Объединим показатели степеней.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.3.5.1

Вынесем за скобки отрицательное значение.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{- (2 h)}{y}}{h}$

Этап 4.1.3.5.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{- 2 h}{y}}{h}$

Этап 4.1.4

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{- \frac{2 h}{y}}{h}$

Этап 4.2

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$f' (x) = lim_{h \to 0} - \frac{2 h}{y} \cdot \frac{1}{h}$

Этап 4.3

Сократим общий множитель $h$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{2 h}{y}$ в числитель.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{- 2 h}{y} \cdot \frac{1}{h}$

Этап 4.3.2

Вынесем множитель $h$ из $- 2 h$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h \cdot - 2}{y} \cdot \frac{1}{h}$

Этап 4.3.3

Сократим общий множитель.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h \cdot - 2}{y} \cdot \frac{1}{h}$

Этап 4.3.4

Перепишем это выражение.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{- 2}{y}$

Этап 4.4

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f' (x) = lim_{h \to 0} - \frac{2}{y}$

Этап 5

Найдем предел $- \frac{2}{y}$ , который является константой по мере приближения $h$ к $0$ .

$- \frac{2}{y}$

Этап 6