Математический анализ Примеры

$lim_{y \to - 3} \sqrt{\frac{y^{2} - 9}{2 y^{2} + 7 y + 3}}$

Этап 1

Внесем предел под знак радикала.

$\sqrt{lim_{y \to - 3} \frac{y^{2} - 9}{2 y^{2} + 7 y + 3}}$

Этап 2

Применим правило Лопиталя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Найдем предел числителя и предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Возьмем предел числителя и предел знаменателя.

$\sqrt{\frac{lim_{y \to - 3} y^{2} - 9}{lim_{y \to - 3} 2 y^{2} + 7 y + 3}}$

Этап 2.1.2

Найдем предел числителя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $y$ к $- 3$ .

$\sqrt{\frac{lim_{y \to - 3} y^{2} - lim_{y \to - 3} 9}{lim_{y \to - 3} 2 y^{2} + 7 y + 3}}$

Этап 2.1.2.1.2

Вынесем степень $2$ в выражении $y^{2}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\sqrt{\frac{{(lim_{y \to - 3} y)}^{2} - lim_{y \to - 3} 9}{lim_{y \to - 3} 2 y^{2} + 7 y + 3}}$

Этап 2.1.2.1.3

Найдем предел $9$ , который является константой по мере приближения $y$ к $- 3$ .

$\sqrt{\frac{{(lim_{y \to - 3} y)}^{2} - 1 \cdot 9}{lim_{y \to - 3} 2 y^{2} + 7 y + 3}}$

Этап 2.1.2.2

Найдем предел $y$ , подставив значение $- 3$ для $y$ .

$\sqrt{\frac{{(- 3)}^{2} - 1 \cdot 9}{lim_{y \to - 3} 2 y^{2} + 7 y + 3}}$

Этап 2.1.2.3

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.3.1.1

Возведем $- 3$ в степень $2$ .

$\sqrt{\frac{9 - 1 \cdot 9}{lim_{y \to - 3} 2 y^{2} + 7 y + 3}}$

Этап 2.1.2.3.1.2

Умножим $- 1$ на $9$ .

$\sqrt{\frac{9 - 9}{lim_{y \to - 3} 2 y^{2} + 7 y + 3}}$

Этап 2.1.2.3.2

Вычтем $9$ из $9$ .

$\sqrt{\frac{0}{lim_{y \to - 3} 2 y^{2} + 7 y + 3}}$

Этап 2.1.3

Найдем предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $y$ к $- 3$ .

$\sqrt{\frac{0}{lim_{y \to - 3} 2 y^{2} + lim_{y \to - 3} 7 y + lim_{y \to - 3} 3}}$

Этап 2.1.3.2

Вынесем член $2$ из-под знака предела, так как он не зависит от $y$ .

$\sqrt{\frac{0}{2 lim_{y \to - 3} y^{2} + lim_{y \to - 3} 7 y + lim_{y \to - 3} 3}}$

Этап 2.1.3.3

Вынесем степень $2$ в выражении $y^{2}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\sqrt{\frac{0}{2 {(lim_{y \to - 3} y)}^{2} + lim_{y \to - 3} 7 y + lim_{y \to - 3} 3}}$

Этап 2.1.3.4

Вынесем член $7$ из-под знака предела, так как он не зависит от $y$ .

$\sqrt{\frac{0}{2 {(lim_{y \to - 3} y)}^{2} + 7 lim_{y \to - 3} y + lim_{y \to - 3} 3}}$

Этап 2.1.3.5

Найдем предел $3$ , который является константой по мере приближения $y$ к $- 3$ .

$\sqrt{\frac{0}{2 {(lim_{y \to - 3} y)}^{2} + 7 lim_{y \to - 3} y + 3}}$

Этап 2.1.3.6

Найдем значения пределов, подставив значение $- 3$ для всех вхождений $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.6.1

Найдем предел $y$ , подставив значение $- 3$ для $y$ .

$\sqrt{\frac{0}{2 {(- 3)}^{2} + 7 lim_{y \to - 3} y + 3}}$

Этап 2.1.3.6.2

Найдем предел $y$ , подставив значение $- 3$ для $y$ .

$\sqrt{\frac{0}{2 {(- 3)}^{2} + 7 \cdot - 3 + 3}}$

Этап 2.1.3.7

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.7.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.7.1.1

Возведем $- 3$ в степень $2$ .

$\sqrt{\frac{0}{2 \cdot 9 + 7 \cdot - 3 + 3}}$

Этап 2.1.3.7.1.2

Умножим $2$ на $9$ .

$\sqrt{\frac{0}{18 + 7 \cdot - 3 + 3}}$

Этап 2.1.3.7.1.3

Умножим $7$ на $- 3$ .

$\sqrt{\frac{0}{18 - 21 + 3}}$

Этап 2.1.3.7.2

Вычтем $21$ из $18$ .

$\sqrt{\frac{0}{- 3 + 3}}$

Этап 2.1.3.7.3

Добавим $- 3$ и $3$ .

$\sqrt{\frac{0}{0}}$

Этап 2.1.3.7.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\sqrt{\frac{0}{0}}$

Этап 2.1.3.8

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\sqrt{\frac{0}{0}}$

Этап 2.1.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\sqrt{\frac{0}{0}}$

Этап 2.2

Поскольку $\frac{0}{0}$ является неопределенной формой, применяется правило Лопиталя. Правило Лопиталя гласит, что предел отношения функций равен пределу отношения их производных.

$lim_{y \to - 3} \frac{y^{2} - 9}{2 y^{2} + 7 y + 3} = lim_{y \to - 3} \frac{\frac{d}{d y} [y^{2} - 9]}{\frac{d}{d y} [2 y^{2} + 7 y + 3]}$

Этап 2.3

Найдем производную числителя и знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Продифференцируем числитель и знаменатель.

$\sqrt{lim_{y \to - 3} \frac{\frac{d}{d y} [y^{2} - 9]}{\frac{d}{d y} [2 y^{2} + 7 y + 3]}}$

Этап 2.3.2

По правилу суммы производная $y^{2} - 9$ по $y$ имеет вид $\frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [- 9]$ .

$\sqrt{lim_{y \to - 3} \frac{\frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [- 9]}{\frac{d}{d y} [2 y^{2} + 7 y + 3]}}$

Этап 2.3.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\sqrt{lim_{y \to - 3} \frac{2 y + \frac{d}{d y} [- 9]}{\frac{d}{d y} [2 y^{2} + 7 y + 3]}}$

Этап 2.3.4

Поскольку $- 9$ является константой относительно $y$ , производная $- 9$ относительно $y$ равна $0$ .

$\sqrt{lim_{y \to - 3} \frac{2 y + 0}{\frac{d}{d y} [2 y^{2} + 7 y + 3]}}$

Этап 2.3.5

Добавим $2 y$ и $0$ .

$\sqrt{lim_{y \to - 3} \frac{2 y}{\frac{d}{d y} [2 y^{2} + 7 y + 3]}}$

Этап 2.3.6

По правилу суммы производная $2 y^{2} + 7 y + 3$ по $y$ имеет вид $\frac{d}{d y} [2 y^{2}] + \frac{d}{d y} [7 y] + \frac{d}{d y} [3]$ .

$\sqrt{lim_{y \to - 3} \frac{2 y}{\frac{d}{d y} [2 y^{2}] + \frac{d}{d y} [7 y] + \frac{d}{d y} [3]}}$

Этап 2.3.7

Найдем значение $\frac{d}{d y} [2 y^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.7.1

Поскольку $2$ является константой относительно $y$ , производная $2 y^{2}$ по $y$ равна $2 \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$\sqrt{lim_{y \to - 3} \frac{2 y}{2 \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [7 y] + \frac{d}{d y} [3]}}$

Этап 2.3.7.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\sqrt{lim_{y \to - 3} \frac{2 y}{2 \cdot 2 y + \frac{d}{d y} [7 y] + \frac{d}{d y} [3]}}$

Этап 2.3.7.3

Умножим $2$ на $2$ .

$\sqrt{lim_{y \to - 3} \frac{2 y}{4 y + \frac{d}{d y} [7 y] + \frac{d}{d y} [3]}}$

Этап 2.3.8

Найдем значение $\frac{d}{d y} [7 y]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.8.1

Поскольку $7$ является константой относительно $y$ , производная $7 y$ по $y$ равна $7 \frac{d}{d y} [y]$ .

$\sqrt{lim_{y \to - 3} \frac{2 y}{4 y + 7 \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [3]}}$

Этап 2.3.8.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\sqrt{lim_{y \to - 3} \frac{2 y}{4 y + 7 \cdot 1 + \frac{d}{d y} [3]}}$

Этап 2.3.8.3

Умножим $7$ на $1$ .

$\sqrt{lim_{y \to - 3} \frac{2 y}{4 y + 7 + \frac{d}{d y} [3]}}$

Этап 2.3.9

Поскольку $3$ является константой относительно $y$ , производная $3$ относительно $y$ равна $0$ .

$\sqrt{lim_{y \to - 3} \frac{2 y}{4 y + 7 + 0}}$

Этап 2.3.10

Добавим $4 y + 7$ и $0$ .

$\sqrt{lim_{y \to - 3} \frac{2 y}{4 y + 7}}$

Этап 3

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Вынесем член $2$ из-под знака предела, так как он не зависит от $y$ .

$\sqrt{2 lim_{y \to - 3} \frac{y}{4 y + 7}}$

Этап 3.2

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $y$ к $- 3$ .

$\sqrt{2 \frac{lim_{y \to - 3} y}{lim_{y \to - 3} 4 y + 7}}$

Этап 3.3

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $y$ к $- 3$ .

$\sqrt{2 \frac{lim_{y \to - 3} y}{lim_{y \to - 3} 4 y + lim_{y \to - 3} 7}}$

Этап 3.4

Вынесем член $4$ из-под знака предела, так как он не зависит от $y$ .

$\sqrt{2 \frac{lim_{y \to - 3} y}{4 lim_{y \to - 3} y + lim_{y \to - 3} 7}}$

Этап 3.5

Найдем предел $7$ , который является константой по мере приближения $y$ к $- 3$ .

$\sqrt{2 \frac{lim_{y \to - 3} y}{4 lim_{y \to - 3} y + 7}}$

Этап 4

Найдем значения пределов, подставив значение $- 3$ для всех вхождений $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Найдем предел $y$ , подставив значение $- 3$ для $y$ .

$\sqrt{2 \frac{- 3}{4 lim_{y \to - 3} y + 7}}$

Этап 4.2

Найдем предел $y$ , подставив значение $- 3$ для $y$ .

$\sqrt{2 \frac{- 3}{4 \cdot - 3 + 7}}$

Этап 5

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Объединим $2$ и $\frac{- 3}{4 \cdot - 3 + 7}$ .

$\sqrt{\frac{2 \cdot - 3}{4 \cdot - 3 + 7}}$

Этап 5.2

Умножим $4$ на $- 3$ .

$\sqrt{\frac{2 \cdot - 3}{- 12 + 7}}$

Этап 5.3

Добавим $- 12$ и $7$ .

$\sqrt{\frac{2 \cdot - 3}{- 5}}$

Этап 5.4

Умножим $2$ на $- 3$ .

$\sqrt{\frac{- 6}{- 5}}$

Этап 5.5

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\sqrt{\frac{6}{5}}$

Этап 5.6

Перепишем $\sqrt{\frac{6}{5}}$ в виде $\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{5}}$ .

$\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{5}}$

Этап 5.7

Умножим $\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{5}}$ на $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$

Этап 5.8

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.8.1

Умножим $\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{5}}$ на $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$\frac{\sqrt{6} \sqrt{5}}{\sqrt{5} \sqrt{5}}$

Этап 5.8.2

Возведем $\sqrt{5}$ в степень $1$ .

$\frac{\sqrt{6} \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1} \sqrt{5}}$

Этап 5.8.3

Возведем $\sqrt{5}$ в степень $1$ .

$\frac{\sqrt{6} \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1} {\sqrt{5}}^{1}}$

Этап 5.8.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{\sqrt{6} \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1 + 1}}$

Этап 5.8.5

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{\sqrt{6} \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{2}}$

Этап 5.8.6

Перепишем ${\sqrt{5}}^{2}$ в виде $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.8.6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{5}$ в виде $5^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\sqrt{6} \sqrt{5}}{{(5^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 5.8.6.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{6} \sqrt{5}}{5^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Этап 5.8.6.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\frac{\sqrt{6} \sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}}$

Этап 5.8.6.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.8.6.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{\sqrt{6} \sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}}$

Этап 5.8.6.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{\sqrt{6} \sqrt{5}}{5^{1}}$

Этап 5.8.6.5

Найдем экспоненту.

$\frac{\sqrt{6} \sqrt{5}}{5}$

Этап 5.9

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.9.1

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

$\frac{\sqrt{6 \cdot 5}}{5}$

Этап 5.9.2

Умножим $6$ на $5$ .

$\frac{\sqrt{30}}{5}$

Этап 6

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{\sqrt{30}}{5}$

Десятичная форма:

$1.09544511 \dots$