Математический анализ Примеры

$\int \frac{3}{4 + 25 x^{2}} d x$

Этап 1

Поскольку $3$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $3$ из-под знака интеграла.

$3 \int \frac{1}{4 + 25 x^{2}} d x$

Этап 2

Вынесем множитель $25$ из $4 + 25 x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Вынесем множитель $25$ из $4$ .

$3 \int \frac{1}{25 (\frac{4}{25}) + 25 x^{2}} d x$

Этап 2.2

Вынесем множитель $25$ из $25 x^{2}$ .

$3 \int \frac{1}{25 (\frac{4}{25}) + 25 (x^{2})} d x$

Этап 2.3

Вынесем множитель $25$ из $25 (\frac{4}{25}) + 25 (x^{2})$ .

$3 \int \frac{1}{25 (\frac{4}{25} + x^{2})} d x$

Этап 3

Поскольку $\frac{1}{25}$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $\frac{1}{25}$ из-под знака интеграла.

$3 (\frac{1}{25} \int \frac{1}{\frac{4}{25} + x^{2}} d x)$

Этап 4

Объединим $\frac{1}{25}$ и $3$ .

$\frac{3}{25} \int \frac{1}{\frac{4}{25} + x^{2}} d x$

Этап 5

Перепишем $\frac{4}{25}$ в виде ${(\frac{2}{5})}^{2}$ .

$\frac{3}{25} \int \frac{1}{{(\frac{2}{5})}^{2} + x^{2}} d x$

Этап 6

Интеграл $\frac{1}{{(\frac{2}{5})}^{2} + x^{2}}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{\frac{2}{5}} \arctan (\frac{x}{\frac{2}{5}}) + C$ .

$\frac{3}{25} (\frac{1}{\frac{2}{5}} \arctan (\frac{x}{\frac{2}{5}}) + C)$

Этап 7

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1

Умножим на обратную дробь, чтобы разделить на $\frac{2}{5}$ .

$\frac{3}{25} (1 (\frac{5}{2}) \arctan (\frac{x}{\frac{2}{5}}) + C)$

Этап 7.1.2

Умножим $\frac{5}{2}$ на $1$ .

$\frac{3}{25} (\frac{5}{2} \arctan (\frac{x}{\frac{2}{5}}) + C)$

Этап 7.1.3

Умножим на обратную дробь, чтобы разделить на $\frac{2}{5}$ .

$\frac{3}{25} (\frac{5}{2} \arctan (x \frac{5}{2}) + C)$

Этап 7.1.4

Объединим $x$ и $\frac{5}{2}$ .

$\frac{3}{25} (\frac{5}{2} \arctan (\frac{x \cdot 5}{2}) + C)$

Этап 7.1.5

Перенесем $5$ влево от $x$ .

$\frac{3}{25} (\frac{5}{2} \arctan (\frac{5 \cdot x}{2}) + C)$

Этап 7.1.6

Объединим $\frac{5}{2}$ и $\arctan (\frac{5 x}{2})$ .

$\frac{3}{25} (\frac{5 \arctan (\frac{5 x}{2})}{2} + C)$

Этап 7.2

Перепишем $\frac{3}{25} (\frac{5 \arctan (\frac{5 x}{2})}{2} + C)$ в виде $\frac{3}{25} \cdot \frac{5}{2} \arctan (\frac{5}{2} x) + C$ .

$\frac{3}{25} \cdot \frac{5}{2} \arctan (\frac{5}{2} x) + C$

Этап 7.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1

Умножим $\frac{3}{25}$ на $\frac{5}{2}$ .

$\frac{3 \cdot 5}{25 \cdot 2} \arctan (\frac{5}{2} x) + C$

Этап 7.3.2

Умножим $3$ на $5$ .

$\frac{15}{25 \cdot 2} \arctan (\frac{5}{2} x) + C$

Этап 7.3.3

Умножим $25$ на $2$ .

$\frac{15}{50} \arctan (\frac{5}{2} x) + C$

Этап 7.3.4

Сократим общий множитель $15$ и $50$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.4.1

Вынесем множитель $5$ из $15$ .

$\frac{5 (3)}{50} \arctan (\frac{5}{2} x) + C$

Этап 7.3.4.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.4.2.1

Вынесем множитель $5$ из $50$ .

$\frac{5 \cdot 3}{5 \cdot 10} \arctan (\frac{5}{2} x) + C$

Этап 7.3.4.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{5 \cdot 3}{5 \cdot 10} \arctan (\frac{5}{2} x) + C$

Этап 7.3.4.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{3}{10} \arctan (\frac{5}{2} x) + C$