Математический анализ Примеры

$\int_{1}^{7} x \sqrt{6 x^{2} + 3} d x$

Этап 1

Пусть $u = 6 x^{2} + 3$ . Тогда $d u = 12 x d x$ , следовательно $\frac{1}{12} d u = x d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Пусть $u = 6 x^{2} + 3$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Дифференцируем $6 x^{2} + 3$ .

$\frac{d}{d x} [6 x^{2} + 3]$

Этап 1.1.2

По правилу суммы производная $6 x^{2} + 3$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3]$

Этап 1.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [6 x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Поскольку $6$ является константой относительно $x$ , производная $6 x^{2}$ по $x$ равна $6 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$6 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3]$

Этап 1.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$6 (2 x) + \frac{d}{d x} [3]$

Этап 1.1.3.3

Умножим $2$ на $6$ .

$12 x + \frac{d}{d x} [3]$

Этап 1.1.4

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.4.1

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3$ относительно $x$ равна $0$ .

$12 x + 0$

Этап 1.1.4.2

Добавим $12 x$ и $0$ .

$12 x$

Этап 1.2

Подставим нижнее предельное значение вместо $x$ в $u = 6 x^{2} + 3$ .

$u_{lower} = 6 \cdot 1^{2} + 3$

Этап 1.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1.1

Единица в любой степени равна единице.

$u_{lower} = 6 \cdot 1 + 3$

Этап 1.3.1.2

Умножим $6$ на $1$ .

$u_{lower} = 6 + 3$

Этап 1.3.2

Добавим $6$ и $3$ .

$u_{lower} = 9$

Этап 1.4

Подставим верхнее предельное значение вместо $x$ в $u = 6 x^{2} + 3$ .

$u_{upper} = 6 \cdot 7^{2} + 3$

Этап 1.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1.1

Возведем $7$ в степень $2$ .

$u_{upper} = 6 \cdot 49 + 3$

Этап 1.5.1.2

Умножим $6$ на $49$ .

$u_{upper} = 294 + 3$

Этап 1.5.2

Добавим $294$ и $3$ .

$u_{upper} = 297$

Этап 1.6

Значения, найденные для $u_{lower}$ и $u_{upper}$ , будут использованы для вычисления данного определенного интеграла.

$u_{lower} = 9$

$u_{upper} = 297$

Этап 1.7

Переформулируем задачу, используя $u$ , $d u$ и новые пределы интегрирования.

$\int_{9}^{297} \sqrt{u} \frac{1}{12} d u$

Этап 2

Объединим $\sqrt{u}$ и $\frac{1}{12}$ .

$\int_{9}^{297} \frac{\sqrt{u}}{12} d u$

Этап 3

Поскольку $\frac{1}{12}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{1}{12}$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{12} \int_{9}^{297} \sqrt{u} d u$

Этап 4

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{u}$ в виде $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{12} \int_{9}^{297} u^{\frac{1}{2}} d u$

Этап 5

По правилу степени интеграл $u^{\frac{1}{2}}$ по $u$ имеет вид $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{1}{12} \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{9}^{297}$

Этап 6

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Найдем значение $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ в $297$ и в $9$ .

$\frac{1}{12} ((\frac{2}{3} \cdot 297^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}})$

Этап 6.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Объединим $\frac{2}{3}$ и $297^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{1}{12} (\frac{2 \cdot 297^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}})$

Этап 6.2.2

Перепишем $9$ в виде $3^{2}$ .

$\frac{1}{12} (\frac{2 \cdot 297^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot {(3^{2})}^{\frac{3}{2}})$

Этап 6.2.3

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{12} (\frac{2 \cdot 297^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 3^{2 (\frac{3}{2})})$

Этап 6.2.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{12} (\frac{2 \cdot 297^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 3^{2 (\frac{3}{2})})$

Этап 6.2.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{12} (\frac{2 \cdot 297^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 3^{3})$

Этап 6.2.5

Возведем $3$ в степень $3$ .

$\frac{1}{12} (\frac{2 \cdot 297^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 27)$

Этап 6.2.6

Умножим $27$ на $- 1$ .

$\frac{1}{12} (\frac{2 \cdot 297^{\frac{3}{2}}}{3} - 27 (\frac{2}{3}))$

Этап 6.2.7

Объединим $- 27$ и $\frac{2}{3}$ .

$\frac{1}{12} (\frac{2 \cdot 297^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{- 27 \cdot 2}{3})$

Этап 6.2.8

Умножим $- 27$ на $2$ .

$\frac{1}{12} (\frac{2 \cdot 297^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{- 54}{3})$

Этап 6.2.9

Сократим общий множитель $- 54$ и $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.9.1

Вынесем множитель $3$ из $- 54$ .

$\frac{1}{12} (\frac{2 \cdot 297^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{3 \cdot - 18}{3})$

Этап 6.2.9.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.9.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$\frac{1}{12} (\frac{2 \cdot 297^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{3 \cdot - 18}{3 (1)})$

Этап 6.2.9.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{12} (\frac{2 \cdot 297^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{3 \cdot - 18}{3 \cdot 1})$

Этап 6.2.9.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{12} (\frac{2 \cdot 297^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{- 18}{1})$

Этап 6.2.9.2.4

Разделим $- 18$ на $1$ .

$\frac{1}{12} (\frac{2 \cdot 297^{\frac{3}{2}}}{3} - 18)$

Этап 7

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{1}{12} \cdot \frac{2 \cdot 297^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{1}{12} \cdot - 18$

Этап 7.2

Объединим.

$\frac{1 (2 \cdot 297^{\frac{3}{2}})}{12 \cdot 3} + \frac{1}{12} \cdot - 18$

Этап 7.3

Сократим общий множитель $6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1

Вынесем множитель $6$ из $12$ .

$\frac{1 (2 \cdot 297^{\frac{3}{2}})}{12 \cdot 3} + \frac{1}{6 (2)} \cdot - 18$

Этап 7.3.2

Вынесем множитель $6$ из $- 18$ .

$\frac{1 (2 \cdot 297^{\frac{3}{2}})}{12 \cdot 3} + \frac{1}{6 \cdot 2} \cdot (6 \cdot - 3)$

Этап 7.3.3

Сократим общий множитель.

$\frac{1 (2 \cdot 297^{\frac{3}{2}})}{12 \cdot 3} + \frac{1}{6 \cdot 2} \cdot (6 \cdot - 3)$

Этап 7.3.4

Перепишем это выражение.

$\frac{1 (2 \cdot 297^{\frac{3}{2}})}{12 \cdot 3} + \frac{1}{2} \cdot - 3$

Этап 7.4

Объединим $\frac{1}{2}$ и $- 3$ .

$\frac{1 (2 \cdot 297^{\frac{3}{2}})}{12 \cdot 3} + \frac{- 3}{2}$

Этап 7.5

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.5.1

Вынесем множитель $2$ из $1 (2 \cdot 297^{\frac{3}{2}})$ .

$\frac{2 (1 \cdot (297^{\frac{3}{2}}))}{12 \cdot 3} + \frac{- 3}{2}$

Этап 7.5.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.5.2.1

Вынесем множитель $2$ из $12 \cdot 3$ .

$\frac{2 (1 \cdot (297^{\frac{3}{2}}))}{2 (6 \cdot 3)} + \frac{- 3}{2}$

Этап 7.5.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{2 (1 \cdot (297^{\frac{3}{2}}))}{2 (6 \cdot 3)} + \frac{- 3}{2}$

Этап 7.5.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{1 \cdot (297^{\frac{3}{2}})}{6 \cdot 3} + \frac{- 3}{2}$

Этап 7.5.3

Умножим $297^{\frac{3}{2}}$ на $1$ .

$\frac{297^{\frac{3}{2}}}{6 \cdot 3} + \frac{- 3}{2}$

Этап 7.5.4

Умножим $6$ на $3$ .

$\frac{297^{\frac{3}{2}}}{18} + \frac{- 3}{2}$

Этап 7.5.5

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{297^{\frac{3}{2}}}{18} - \frac{3}{2}$

Этап 8

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{297^{\frac{3}{2}}}{18} - \frac{3}{2}$

Десятичная форма:

$282.85585100 \dots$

Этап 9