Математический анализ Примеры

$\int_{1}^{4} \frac{t^{8} - t^{4}}{t^{6}} d t$

Этап 1

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Вынесем множитель $t^{4}$ из $t^{8} - t^{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.1

Вынесем множитель $t^{4}$ из $t^{8}$ .

$\int_{1}^{4} \frac{t^{4} t^{4} - t^{4}}{t^{6}} d t$

Этап 1.1.1.2

Вынесем множитель $t^{4}$ из $- t^{4}$ .

$\int_{1}^{4} \frac{t^{4} t^{4} + t^{4} \cdot - 1}{t^{6}} d t$

Этап 1.1.1.3

Вынесем множитель $t^{4}$ из $t^{4} t^{4} + t^{4} \cdot - 1$ .

$\int_{1}^{4} \frac{t^{4} (t^{4} - 1)}{t^{6}} d t$

Этап 1.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Вынесем множитель $t^{4}$ из $t^{6}$ .

$\int_{1}^{4} \frac{t^{4} (t^{4} - 1)}{t^{4} t^{2}} d t$

Этап 1.1.2.2

Сократим общий множитель.

$\int_{1}^{4} \frac{t^{4} (t^{4} - 1)}{t^{4} t^{2}} d t$

Этап 1.1.2.3

Перепишем это выражение.

$\int_{1}^{4} \frac{t^{4} - 1}{t^{2}} d t$

Этап 1.2

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Вынесем $t^{2}$ из знаменателя, возведя в $- 1$ степень.

$\int_{1}^{4} (t^{4} - 1) {(t^{2})}^{- 1} d t$

Этап 1.2.2

Перемножим экспоненты в ${(t^{2})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int_{1}^{4} (t^{4} - 1) t^{2 \cdot - 1} d t$

Этап 1.2.2.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\int_{1}^{4} (t^{4} - 1) t^{- 2} d t$

Этап 2

Умножим $(t^{4} - 1) t^{- 2}$ .

$\int_{1}^{4} t^{4} t^{- 2} - 1 t^{- 2} d t$

Этап 3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим $t^{4}$ на $t^{- 2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\int_{1}^{4} t^{4 - 2} - 1 t^{- 2} d t$

Этап 3.1.2

Вычтем $2$ из $4$ .

$\int_{1}^{4} t^{2} - 1 t^{- 2} d t$

Этап 3.2

Перепишем $- 1 t^{- 2}$ в виде $- t^{- 2}$ .

$\int_{1}^{4} t^{2} - t^{- 2} d t$

Этап 4

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int_{1}^{4} t^{2} d t + \int_{1}^{4} - t^{- 2} d t$

Этап 5

По правилу степени интеграл $t^{2}$ по $t$ имеет вид $\frac{1}{3} t^{3}$ .

$\frac{1}{3} t^{3}]_{1}^{4} + \int_{1}^{4} - t^{- 2} d t$

Этап 6

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $t$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{3} t^{3}]_{1}^{4} - \int_{1}^{4} t^{- 2} d t$

Этап 7

По правилу степени интеграл $t^{- 2}$ по $t$ имеет вид $- t^{- 1}$ .

$\frac{1}{3} t^{3}]_{1}^{4} - (- t^{- 1}]_{1}^{4})$

Этап 8

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Найдем значение $\frac{1}{3} t^{3}$ в $4$ и в $1$ .

$(\frac{1}{3} \cdot 4^{3}) - \frac{1}{3} \cdot 1^{3} - (- t^{- 1}]_{1}^{4})$

Этап 8.2

Найдем значение $- t^{- 1}$ в $4$ и в $1$ .

$\frac{1}{3} \cdot 4^{3} - \frac{1}{3} \cdot 1^{3} - (- 4^{- 1} + 1^{- 1})$

Этап 8.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1

Возведем $4$ в степень $3$ .

$\frac{1}{3} \cdot 64 - \frac{1}{3} \cdot 1^{3} - (- 4^{- 1} + 1^{- 1})$

Этап 8.3.2

Объединим $\frac{1}{3}$ и $64$ .

$\frac{64}{3} - \frac{1}{3} \cdot 1^{3} - (- 4^{- 1} + 1^{- 1})$

Этап 8.3.3

Единица в любой степени равна единице.

$\frac{64}{3} - \frac{1}{3} \cdot 1 - (- 4^{- 1} + 1^{- 1})$

Этап 8.3.4

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{64}{3} - \frac{1}{3} - (- 4^{- 1} + 1^{- 1})$

Этап 8.3.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{64 - 1}{3} - (- 4^{- 1} + 1^{- 1})$

Этап 8.3.6

Вычтем $1$ из $64$ .

$\frac{63}{3} - (- 4^{- 1} + 1^{- 1})$

Этап 8.3.7

Сократим общий множитель $63$ и $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.7.1

Вынесем множитель $3$ из $63$ .

$\frac{3 \cdot 21}{3} - (- 4^{- 1} + 1^{- 1})$

Этап 8.3.7.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.7.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$\frac{3 \cdot 21}{3 (1)} - (- 4^{- 1} + 1^{- 1})$

Этап 8.3.7.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{3 \cdot 21}{3 \cdot 1} - (- 4^{- 1} + 1^{- 1})$

Этап 8.3.7.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{21}{1} - (- 4^{- 1} + 1^{- 1})$

Этап 8.3.7.2.4

Разделим $21$ на $1$ .

$21 - (- 4^{- 1} + 1^{- 1})$

Этап 8.3.8

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$21 - (- \frac{1}{4} + 1^{- 1})$

Этап 8.3.9

Единица в любой степени равна единице.

$21 - (- \frac{1}{4} + 1)$

Этап 8.3.10

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$21 - (- \frac{1}{4} + \frac{4}{4})$

Этап 8.3.11

Объединим числители над общим знаменателем.

$21 - \frac{- 1 + 4}{4}$

Этап 8.3.12

Добавим $- 1$ и $4$ .

$21 - \frac{3}{4}$

Этап 8.3.13

Чтобы записать $21$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{4}{4}$ .

$21 \cdot \frac{4}{4} - \frac{3}{4}$

Этап 8.3.14

Объединим $21$ и $\frac{4}{4}$ .

$\frac{21 \cdot 4}{4} - \frac{3}{4}$

Этап 8.3.15

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{21 \cdot 4 - 3}{4}$

Этап 8.3.16

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.16.1

Умножим $21$ на $4$ .

$\frac{84 - 3}{4}$

Этап 8.3.16.2

Вычтем $3$ из $84$ .

$\frac{81}{4}$

Этап 9

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{81}{4}$

Десятичная форма:

$20.25$

Форма смешанных чисел:

$20 \frac{1}{4}$

Этап 10