Математический анализ Примеры

$\int_{0}^{π} x \cos (3 x) d x$

Этап 1

Проинтегрируем по частям, используя формулу $\int u d v = u v - \int v d u$ , где $u = x$ и $d v = \cos (3 x)$ .

$x (\frac{1}{3} \sin (3 x))]_{0}^{π} - \int_{0}^{π} \frac{1}{3} \sin (3 x) d x$

Этап 2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Объединим $\frac{1}{3}$ и $\sin (3 x)$ .

$x \frac{\sin (3 x)}{3}]_{0}^{π} - \int_{0}^{π} \frac{1}{3} \sin (3 x) d x$

Этап 2.2

Объединим $x$ и $\frac{\sin (3 x)}{3}$ .

$\frac{x \sin (3 x)}{3}]_{0}^{π} - \int_{0}^{π} \frac{1}{3} \sin (3 x) d x$

Этап 3

Поскольку $\frac{1}{3}$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $\frac{1}{3}$ из-под знака интеграла.

$\frac{x \sin (3 x)}{3}]_{0}^{π} - (\frac{1}{3} \int_{0}^{π} \sin (3 x) d x)$

Этап 4

Пусть $u = 3 x$ . Тогда $d u = 3 d x$ , следовательно $\frac{1}{3} d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Пусть $u = 3 x$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Дифференцируем $3 x$ .

$\frac{d}{d x} [3 x]$

Этап 4.1.2

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 x$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x]$

Этап 4.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$3 \cdot 1$

Этап 4.1.4

Умножим $3$ на $1$ .

$3$

Этап 4.2

Подставим нижнее предельное значение вместо $x$ в $u = 3 x$ .

$u_{lower} = 3 \cdot 0$

Этап 4.3

Умножим $3$ на $0$ .

$u_{lower} = 0$

Этап 4.4

Подставим верхнее предельное значение вместо $x$ в $u = 3 x$ .

$u_{upper} = 3 π$

Этап 4.5

Значения, найденные для $u_{lower}$ и $u_{upper}$ , будут использованы для вычисления данного определенного интеграла.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 3 π$

Этап 4.6

Переформулируем задачу, используя $u$ , $d u$ и новые пределы интегрирования.

$\frac{x \sin (3 x)}{3}]_{0}^{π} - \frac{1}{3} \int_{0}^{3 π} \sin (u) \frac{1}{3} d u$

Этап 5

Объединим $\sin (u)$ и $\frac{1}{3}$ .

$\frac{x \sin (3 x)}{3}]_{0}^{π} - \frac{1}{3} \int_{0}^{3 π} \frac{\sin (u)}{3} d u$

Этап 6

Поскольку $\frac{1}{3}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{1}{3}$ из-под знака интеграла.

$\frac{x \sin (3 x)}{3}]_{0}^{π} - \frac{1}{3} (\frac{1}{3} \int_{0}^{3 π} \sin (u) d u)$

Этап 7

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Умножим $\frac{1}{3}$ на $\frac{1}{3}$ .

$\frac{x \sin (3 x)}{3}]_{0}^{π} - \frac{1}{3 \cdot 3} \int_{0}^{3 π} \sin (u) d u$

Этап 7.2

Умножим $3$ на $3$ .

$\frac{x \sin (3 x)}{3}]_{0}^{π} - \frac{1}{9} \int_{0}^{3 π} \sin (u) d u$

Этап 8

Интеграл $\sin (u)$ по $u$ имеет вид $- \cos (u)$ .

$\frac{x \sin (3 x)}{3}]_{0}^{π} - \frac{1}{9} - \cos (u)]_{0}^{3 π}$

Этап 9

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Найдем значение $\frac{x \sin (3 x)}{3}$ в $π$ и в $0$ .

$(\frac{π \sin (3 π)}{3}) - \frac{0 \sin (3 \cdot 0)}{3} - \frac{1}{9} - \cos (u)]_{0}^{3 π}$

Этап 9.2

Найдем значение $- \cos (u)$ в $3 π$ и в $0$ .

$(\frac{π \sin (3 π)}{3}) - \frac{0 \sin (3 \cdot 0)}{3} - \frac{1}{9} ((- \cos (3 π)) + \cos (0))$

Этап 9.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.1

Умножим $3$ на $0$ .

$\frac{π \sin (3 π)}{3} - \frac{0 \sin (0)}{3} - \frac{1}{9} ((- \cos (3 π)) + \cos (0))$

Этап 9.3.2

Умножим $0$ на $\sin (0)$ .

$\frac{π \sin (3 π)}{3} - \frac{0}{3} - \frac{1}{9} ((- \cos (3 π)) + \cos (0))$

Этап 9.3.3

Сократим общий множитель $0$ и $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.3.1

Вынесем множитель $3$ из $0$ .

$\frac{π \sin (3 π)}{3} - \frac{3 (0)}{3} - \frac{1}{9} ((- \cos (3 π)) + \cos (0))$

Этап 9.3.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.3.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$\frac{π \sin (3 π)}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1} - \frac{1}{9} ((- \cos (3 π)) + \cos (0))$

Этап 9.3.3.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{π \sin (3 π)}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1} - \frac{1}{9} ((- \cos (3 π)) + \cos (0))$

Этап 9.3.3.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{π \sin (3 π)}{3} - \frac{0}{1} - \frac{1}{9} ((- \cos (3 π)) + \cos (0))$

Этап 9.3.3.2.4

Разделим $0$ на $1$ .

$\frac{π \sin (3 π)}{3} - 0 - \frac{1}{9} ((- \cos (3 π)) + \cos (0))$

Этап 9.3.4

Умножим $- 1$ на $0$ .

$\frac{π \sin (3 π)}{3} + 0 - \frac{1}{9} ((- \cos (3 π)) + \cos (0))$

Этап 9.3.5

Добавим $\frac{π \sin (3 π)}{3}$ и $0$ .

$\frac{π \sin (3 π)}{3} - \frac{1}{9} ((- \cos (3 π)) + \cos (0))$

Этап 9.3.6

Чтобы записать $- \frac{1}{9} (- \cos (3 π) + \cos (0))$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$\frac{π \sin (3 π)}{3} - \frac{1}{9} (- \cos (3 π) + \cos (0)) \cdot \frac{3}{3}$

Этап 9.3.7

Объединим $- \frac{1}{9} (- \cos (3 π) + \cos (0))$ и $\frac{3}{3}$ .

$\frac{π \sin (3 π)}{3} + \frac{- \frac{1}{9} (- \cos (3 π) + \cos (0)) \cdot 3}{3}$

Этап 9.3.8

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{π \sin (3 π) - \frac{1}{9} (- \cos (3 π) + \cos (0)) \cdot 3}{3}$

Этап 9.3.9

Умножим $3$ на $- 1$ .

$\frac{π \sin (3 π) - 3 (\frac{1}{9}) (- \cos (3 π) + \cos (0))}{3}$

Этап 9.3.10

Объединим $- 3$ и $\frac{1}{9}$ .

$\frac{π \sin (3 π) + \frac{- 3}{9} (- \cos (3 π) + \cos (0))}{3}$

Этап 9.3.11

Сократим общий множитель $- 3$ и $9$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.11.1

Вынесем множитель $3$ из $- 3$ .

$\frac{π \sin (3 π) + \frac{3 (- 1)}{9} (- \cos (3 π) + \cos (0))}{3}$

Этап 9.3.11.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.11.2.1

Вынесем множитель $3$ из $9$ .

$\frac{π \sin (3 π) + \frac{3 \cdot - 1}{3 \cdot 3} (- \cos (3 π) + \cos (0))}{3}$

Этап 9.3.11.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{π \sin (3 π) + \frac{3 \cdot - 1}{3 \cdot 3} (- \cos (3 π) + \cos (0))}{3}$

Этап 9.3.11.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{π \sin (3 π) + \frac{- 1}{3} (- \cos (3 π) + \cos (0))}{3}$

Этап 9.3.12

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{π \sin (3 π) - \frac{1}{3} (- \cos (3 π) + \cos (0))}{3}$

Этап 10

Точное значение $\cos (0)$ : $1$ .

$\frac{π \sin (3 π) - \frac{1}{3} (- \cos (3 π) + 1)}{3}$

Этап 11

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Удалим число полных оборотов $2 π$ , чтобы угол оказался больше или равен $0$ и меньше $2 π$ .

$\frac{π \sin (π) - \frac{1}{3} (- \cos (3 π) + 1)}{3}$

Этап 11.2

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте.

$\frac{π \sin (0) - \frac{1}{3} (- \cos (3 π) + 1)}{3}$

Этап 11.3

Точное значение $\sin (0)$ : $0$ .

$\frac{π \cdot 0 - \frac{1}{3} (- \cos (3 π) + 1)}{3}$

Этап 11.4

Умножим $π$ на $0$ .

$\frac{0 - \frac{1}{3} (- \cos (3 π) + 1)}{3}$

Этап 11.5

Удалим число полных оборотов $2 π$ , чтобы угол оказался больше или равен $0$ и меньше $2 π$ .

$\frac{0 - \frac{1}{3} (- \cos (π) + 1)}{3}$

Этап 11.6

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте. Добавим минус к выражению, так как косинус отрицательный во втором квадранте.

$\frac{0 - \frac{1}{3} (- - \cos (0) + 1)}{3}$

Этап 11.7

Точное значение $\cos (0)$ : $1$ .

$\frac{0 - \frac{1}{3} (- (- 1 \cdot 1) + 1)}{3}$

Этап 11.8

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{0 - \frac{1}{3} (- - 1 + 1)}{3}$

Этап 11.9

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$\frac{0 - \frac{1}{3} (1 + 1)}{3}$

Этап 11.10

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{0 - \frac{1}{3} \cdot 2}{3}$

Этап 11.11

Умножим $- \frac{1}{3} \cdot 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.11.1

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\frac{0 - 2 (\frac{1}{3})}{3}$

Этап 11.11.2

Объединим $- 2$ и $\frac{1}{3}$ .

$\frac{0 + \frac{- 2}{3}}{3}$

Этап 11.12

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{0 - \frac{2}{3}}{3}$

Этап 11.13

Вычтем $\frac{2}{3}$ из $0$ .

$\frac{- \frac{2}{3}}{3}$

Этап 11.14

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$- \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{3}$

Этап 11.15

Умножим $- \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.15.1

Умножим $\frac{1}{3}$ на $\frac{2}{3}$ .

$- \frac{2}{3 \cdot 3}$

Этап 11.15.2

Умножим $3$ на $3$ .

$- \frac{2}{9}$

Этап 12

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$- \frac{2}{9}$

Десятичная форма:

$- 0.\overline{2}$