Математический анализ Примеры

$\int_{0}^{π} {(1 + \cos (7 t))}^{2} \sin (7 t) d t$

Этап 1

Пусть $u_{2} = 1 + \cos (7 t)$ . Тогда $d u_{2} = - 7 \sin (7 t) d t$ , следовательно $- \frac{1}{7} d u_{2} = \sin (7 t) d t$ . Перепишем, используя $u_{2}$ и $d$ $u_{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Пусть $u_{2} = 1 + \cos (7 t)$ . Найдем $\frac{d u_{2}}{d t}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Дифференцируем $1 + \cos (7 t)$ .

$\frac{d}{d t} [1 + \cos (7 t)]$

Этап 1.1.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

По правилу суммы производная $1 + \cos (7 t)$ по $t$ имеет вид $\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [\cos (7 t)]$ .

$\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [\cos (7 t)]$

Этап 1.1.2.2

Поскольку $1$ является константой относительно $t$ , производная $1$ относительно $t$ равна $0$ .

$0 + \frac{d}{d t} [\cos (7 t)]$

Этап 1.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d t} [\cos (7 t)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ имеет вид $f' (g (t)) g' (t)$ , где $f (t) = \cos (t)$ и $g (t) = 7 t$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $7 t$ .

$0 + \frac{d}{d u_{1}} [\cos (u_{1})] \frac{d}{d t} [7 t]$

Этап 1.1.3.1.2

Производная $\cos (u_{1})$ по $u_{1}$ равна $- \sin (u_{1})$ .

$0 - \sin (u_{1}) \frac{d}{d t} [7 t]$

Этап 1.1.3.1.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $7 t$ .

$0 - \sin (7 t) \frac{d}{d t} [7 t]$

Этап 1.1.3.2

Поскольку $7$ является константой относительно $t$ , производная $7 t$ по $t$ равна $7 \frac{d}{d t} [t]$ .

$0 - \sin (7 t) (7 \frac{d}{d t} [t])$

Этап 1.1.3.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ имеет вид $n t^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$0 - \sin (7 t) (7 \cdot 1)$

Этап 1.1.3.4

Умножим $7$ на $1$ .

$0 - \sin (7 t) \cdot 7$

Этап 1.1.3.5

Умножим $7$ на $- 1$ .

$0 - 7 \sin (7 t)$

Этап 1.1.4

Вычтем $7 \sin (7 t)$ из $0$ .

$- 7 \sin (7 t)$

Этап 1.2

Подставим нижнее предельное значение вместо $t$ в $u_{2} = 1 + \cos (7 t)$ .

$u_{lower} = 1 + \cos (7 \cdot 0)$

Этап 1.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1.1

Умножим $7$ на $0$ .

$u_{lower} = 1 + \cos (0)$

Этап 1.3.1.2

Точное значение $\cos (0)$ : $1$ .

$u_{lower} = 1 + 1$

Этап 1.3.2

Добавим $1$ и $1$ .

$u_{lower} = 2$

Этап 1.4

Подставим верхнее предельное значение вместо $t$ в $u_{2} = 1 + \cos (7 t)$ .

$u_{upper} = 1 + \cos (7 π)$

Этап 1.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1.1

Удалим число полных оборотов $2 π$ , чтобы угол оказался больше или равен $0$ и меньше $2 π$ .

$u_{upper} = 1 + \cos (π)$

Этап 1.5.1.2

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте. Добавим минус к выражению, так как косинус отрицательный во втором квадранте.

$u_{upper} = 1 - \cos (0)$

Этап 1.5.1.3

Точное значение $\cos (0)$ : $1$ .

$u_{upper} = 1 - 1 \cdot 1$

Этап 1.5.1.4

Умножим $- 1$ на $1$ .

$u_{upper} = 1 - 1$

Этап 1.5.2

Вычтем $1$ из $1$ .

$u_{upper} = 0$

Этап 1.6

Значения, найденные для $u_{lower}$ и $u_{upper}$ , будут использованы для вычисления данного определенного интеграла.

$u_{lower} = 2$

$u_{upper} = 0$

Этап 1.7

Переформулируем задачу, используя $u_{2}$ , $d u_{2}$ и новые пределы интегрирования.

$\int_{2}^{0} {u_{2}}^{2} \frac{1}{- 7} d u_{2}$

Этап 2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\int_{2}^{0} {u_{2}}^{2} (- \frac{1}{7}) d u_{2}$

Этап 2.2

Объединим ${u_{2}}^{2}$ и $\frac{1}{7}$ .

$\int_{2}^{0} - \frac{{u_{2}}^{2}}{7} d u_{2}$

Этап 3

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $u_{2}$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$- \int_{2}^{0} \frac{{u_{2}}^{2}}{7} d u_{2}$

Этап 4

Поскольку $\frac{1}{7}$ — константа по отношению к $u_{2}$ , вынесем $\frac{1}{7}$ из-под знака интеграла.

$- (\frac{1}{7} \int_{2}^{0} {u_{2}}^{2} d u_{2})$

Этап 5

По правилу степени интеграл ${u_{2}}^{2}$ по $u_{2}$ имеет вид $\frac{1}{3} {u_{2}}^{3}$ .

$- \frac{1}{7} \frac{1}{3} {u_{2}}^{3}]_{2}^{0}$

Этап 6

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Найдем значение $\frac{1}{3} {u_{2}}^{3}$ в $0$ и в $2$ .

$- \frac{1}{7} ((\frac{1}{3} \cdot 0^{3}) - \frac{1}{3} \cdot 2^{3})$

Этап 6.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$- \frac{1}{7} (\frac{1}{3} \cdot 0 - \frac{1}{3} \cdot 2^{3})$

Этап 6.2.2

Умножим $\frac{1}{3}$ на $0$ .

$- \frac{1}{7} (0 - \frac{1}{3} \cdot 2^{3})$

Этап 6.2.3

Возведем $2$ в степень $3$ .

$- \frac{1}{7} (0 - \frac{1}{3} \cdot 8)$

Этап 6.2.4

Умножим $8$ на $- 1$ .

$- \frac{1}{7} (0 - 8 (\frac{1}{3}))$

Этап 6.2.5

Объединим $- 8$ и $\frac{1}{3}$ .

$- \frac{1}{7} (0 + \frac{- 8}{3})$

Этап 6.2.6

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{1}{7} (0 - \frac{8}{3})$

Этап 6.2.7

Вычтем $\frac{8}{3}$ из $0$ .

$- \frac{1}{7} (- \frac{8}{3})$

Этап 6.2.8

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$1 (\frac{1}{7}) \frac{8}{3}$

Этап 6.2.9

Умножим $\frac{1}{7}$ на $1$ .

$\frac{1}{7} \cdot \frac{8}{3}$

Этап 6.2.10

Умножим $\frac{1}{7}$ на $\frac{8}{3}$ .

$\frac{8}{7 \cdot 3}$

Этап 6.2.11

Умножим $7$ на $3$ .

$\frac{8}{21}$

Этап 7

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{8}{21}$

Десятичная форма:

$0.\overline{380952}$