Математический анализ Примеры

$\int_{0}^{1} \sqrt{x} - x d x$

Этап 1

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int_{0}^{1} \sqrt{x} d x + \int_{0}^{1} - x d x$

Этап 2

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x}$ в виде $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\int_{0}^{1} x^{\frac{1}{2}} d x + \int_{0}^{1} - x d x$

Этап 3

По правилу степени интеграл $x^{\frac{1}{2}}$ по $x$ имеет вид $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}]_{0}^{1} + \int_{0}^{1} - x d x$

Этап 4

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} x d x$

Этап 5

По правилу степени интеграл $x$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}]_{0}^{1} - (\frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{1})$

Этап 6

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x^{2}$ .

$\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}]_{0}^{1} - (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{1})$

Этап 6.2

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Найдем значение $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ в $1$ и в $0$ .

$(\frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}} - (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{1})$

Этап 6.2.2

Найдем значение $\frac{x^{2}}{2}$ в $1$ и в $0$ .

$\frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}} - (\frac{1^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 6.2.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.3.1

Единица в любой степени равна единице.

$\frac{2}{3} \cdot 1 - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}} - (\frac{1^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 6.2.3.2

Умножим $\frac{2}{3}$ на $1$ .

$\frac{2}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}} - (\frac{1^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 6.2.3.3

Перепишем $0$ в виде $0^{2}$ .

$\frac{2}{3} - \frac{2}{3} \cdot {(0^{2})}^{\frac{3}{2}} - (\frac{1^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 6.2.3.4

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})} - (\frac{1^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 6.2.3.5

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.3.5.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})} - (\frac{1^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 6.2.3.5.2

Перепишем это выражение.

$\frac{2}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{3} - (\frac{1^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 6.2.3.6

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$\frac{2}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0 - (\frac{1^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 6.2.3.7

Умножим $0$ на $- 1$ .

$\frac{2}{3} + 0 (\frac{2}{3}) - (\frac{1^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 6.2.3.8

Умножим $0$ на $\frac{2}{3}$ .

$\frac{2}{3} + 0 - (\frac{1^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 6.2.3.9

Добавим $\frac{2}{3}$ и $0$ .

$\frac{2}{3} - (\frac{1^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 6.2.3.10

Единица в любой степени равна единице.

$\frac{2}{3} - (\frac{1}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 6.2.3.11

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$\frac{2}{3} - (\frac{1}{2} - \frac{0}{2})$

Этап 6.2.3.12

Сократим общий множитель $0$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.3.12.1

Вынесем множитель $2$ из $0$ .

$\frac{2}{3} - (\frac{1}{2} - \frac{2 (0)}{2})$

Этап 6.2.3.12.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.3.12.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$\frac{2}{3} - (\frac{1}{2} - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1})$

Этап 6.2.3.12.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{2}{3} - (\frac{1}{2} - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1})$

Этап 6.2.3.12.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{2}{3} - (\frac{1}{2} - \frac{0}{1})$

Этап 6.2.3.12.2.4

Разделим $0$ на $1$ .

$\frac{2}{3} - (\frac{1}{2} - 0)$

Этап 6.2.3.13

Умножим $- 1$ на $0$ .

$\frac{2}{3} - (\frac{1}{2} + 0)$

Этап 6.2.3.14

Добавим $\frac{1}{2}$ и $0$ .

$\frac{2}{3} - \frac{1}{2}$

Этап 6.2.3.15

Чтобы записать $\frac{2}{3}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2}{3} \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2}$

Этап 6.2.3.16

Чтобы записать $- \frac{1}{2}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2}{3} \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{3}$

Этап 6.2.3.17

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $6$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.3.17.1

Умножим $\frac{2}{3}$ на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2 \cdot 2}{3 \cdot 2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{3}$

Этап 6.2.3.17.2

Умножим $3$ на $2$ .

$\frac{2 \cdot 2}{6} - \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{3}$

Этап 6.2.3.17.3

Умножим $\frac{1}{2}$ на $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2 \cdot 2}{6} - \frac{3}{2 \cdot 3}$

Этап 6.2.3.17.4

Умножим $2$ на $3$ .

$\frac{2 \cdot 2}{6} - \frac{3}{6}$

Этап 6.2.3.18

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{2 \cdot 2 - 3}{6}$

Этап 6.2.3.19

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.3.19.1

Умножим $2$ на $2$ .

$\frac{4 - 3}{6}$

Этап 6.2.3.19.2

Вычтем $3$ из $4$ .

$\frac{1}{6}$

Этап 7

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{1}{6}$

Десятичная форма:

$0.1\overline{6}$

Этап 8