Математический анализ Примеры

$\int \frac{1}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}} d x$

Этап 1

Применим правило $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ , чтобы представить возведение в степень в виде радикала.

$\int \frac{1}{\sqrt{{(1 + x^{2})}^{3}}} d x$

Этап 2

Пусть $x = \tan (t)$ , где $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Тогда $d x = \sec^{2} (t) d t$ . Заметим, что поскольку $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , выражение $\sec^{2} (t)$ положительно.

$\int \frac{1}{\sqrt{{(1 + \tan^{2} (t))}^{3}}} \sec^{2} (t) d t$

Этап 3

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Упростим $\sqrt{{(1 + \tan^{2} (t))}^{3}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Переставляем члены.

$\int \frac{1}{\sqrt{{(\tan^{2} (t) + 1)}^{3}}} \sec^{2} (t) d t$

Этап 3.1.2

Применим формулу Пифагора.

$\int \frac{1}{\sqrt{{(\sec^{2} (t))}^{3}}} \sec^{2} (t) d t$

Этап 3.1.3

Перемножим экспоненты в ${(\sec^{2} (t))}^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.3.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{{\sec (t)}^{2 \cdot 3}}} \sec^{2} (t) d t$

Этап 3.1.3.2

Умножим $2$ на $3$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{\sec^{6} (t)}} \sec^{2} (t) d t$

Этап 3.1.4

Перепишем $\sec^{6} (t)$ в виде ${(\sec^{3} (t))}^{2}$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{{(\sec^{3} (t))}^{2}}} \sec^{2} (t) d t$

Этап 3.1.5

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$\int \frac{1}{\sec^{3} (t)} \sec^{2} (t) d t$

Этап 3.2

Сократим выражение, путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Сократим общий множитель $\sec^{2} (t)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Вынесем множитель $\sec^{2} (t)$ из $\sec^{3} (t)$ .

$\int \frac{1}{\sec^{2} (t) \sec (t)} \sec^{2} (t) d t$

Этап 3.2.1.2

Сократим общий множитель.

$\int \frac{1}{\sec^{2} (t) \sec (t)} \sec^{2} (t) d t$

Этап 3.2.1.3

Перепишем это выражение.

$\int \frac{1}{\sec (t)} d t$

Этап 3.2.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Выразим $\sec (t)$ через синусы и косинусы.

$\int \frac{1}{\frac{1}{\cos (t)}} d t$

Этап 3.2.2.2

Умножим на обратную дробь, чтобы разделить на $\frac{1}{\cos (t)}$ .

$\int 1 \cos (t) d t$

Этап 3.2.2.3

Умножим $\cos (t)$ на $1$ .

$\int \cos (t) d t$

Этап 4

Интеграл $\cos (t)$ по $t$ имеет вид $\sin (t)$ .

$\sin (t) + C$

Этап 5

Заменим все вхождения $t$ на $\arctan (x)$ .

$\sin (\arctan (x)) + C$