Математический анализ Примеры

${(2 x + 3)}^{4}$

Этап 1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{4}$ и $g (x) = 2 x + 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $2 x + 3$ .

$\frac{d}{d u} [u^{4}] \frac{d}{d x} [2 x + 3]$

Этап 1.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 4$ .

$4 u^{3} \frac{d}{d x} [2 x + 3]$

Этап 1.1.3

Заменим все вхождения $u$ на $2 x + 3$ .

$4 {(2 x + 3)}^{3} \frac{d}{d x} [2 x + 3]$

Этап 1.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

По правилу суммы производная $2 x + 3$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$4 {(2 x + 3)}^{3} (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [3])$

Этап 1.2.2

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 {(2 x + 3)}^{3} (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3])$

Этап 1.2.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$4 {(2 x + 3)}^{3} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [3])$

Этап 1.2.4

Умножим $2$ на $1$ .

$4 {(2 x + 3)}^{3} (2 + \frac{d}{d x} [3])$

Этап 1.2.5

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3$ относительно $x$ равна $0$ .

$4 {(2 x + 3)}^{3} (2 + 0)$

Этап 1.2.6

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.6.1

Добавим $2$ и $0$ .

$4 {(2 x + 3)}^{3} \cdot 2$

Этап 1.2.6.2

Умножим $2$ на $4$ .

$f' (x) = 8 {(2 x + 3)}^{3}$

Этап 2

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Поскольку $8$ является константой относительно $x$ , производная $8 {(2 x + 3)}^{3}$ по $x$ равна $8 \frac{d}{d x} [{(2 x + 3)}^{3}]$ .

$8 \frac{d}{d x} [{(2 x + 3)}^{3}]$

Этап 2.2

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $2 x + 3$ .

$8 (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [2 x + 3])$

Этап 2.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$8 (3 u^{2} \frac{d}{d x} [2 x + 3])$

Этап 2.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $2 x + 3$ .

$8 (3 {(2 x + 3)}^{2} \frac{d}{d x} [2 x + 3])$

Этап 2.3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Умножим $3$ на $8$ .

$24 ({(2 x + 3)}^{2} \frac{d}{d x} [2 x + 3])$

Этап 2.3.2

По правилу суммы производная $2 x + 3$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$24 {(2 x + 3)}^{2} (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [3])$

Этап 2.3.3

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$24 {(2 x + 3)}^{2} (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3])$

Этап 2.3.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$24 {(2 x + 3)}^{2} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [3])$

Этап 2.3.5

Умножим $2$ на $1$ .

$24 {(2 x + 3)}^{2} (2 + \frac{d}{d x} [3])$

Этап 2.3.6

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3$ относительно $x$ равна $0$ .

$24 {(2 x + 3)}^{2} (2 + 0)$

Этап 2.3.7

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.7.1

Добавим $2$ и $0$ .

$24 {(2 x + 3)}^{2} \cdot 2$

Этап 2.3.7.2

Умножим $2$ на $24$ .

$f'' (x) = 48 {(2 x + 3)}^{2}$

Этап 3

Найдем третью производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перепишем ${(2 x + 3)}^{2}$ в виде $(2 x + 3) (2 x + 3)$ .

$\frac{d}{d x} [48 ((2 x + 3) (2 x + 3))]$

Этап 3.2

Развернем $(2 x + 3) (2 x + 3)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{d}{d x} [48 (2 x (2 x + 3) + 3 (2 x + 3))]$

Этап 3.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{d}{d x} [48 (2 x (2 x) + 2 x \cdot 3 + 3 (2 x + 3))]$

Этап 3.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{d}{d x} [48 (2 x (2 x) + 2 x \cdot 3 + 3 (2 x) + 3 \cdot 3)]$

Этап 3.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{d}{d x} [48 (2 \cdot 2 x \cdot x + 2 x \cdot 3 + 3 (2 x) + 3 \cdot 3)]$

Этап 3.3.1.2

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.2.1

Перенесем $x$ .

$\frac{d}{d x} [48 (2 \cdot 2 (x \cdot x) + 2 x \cdot 3 + 3 (2 x) + 3 \cdot 3)]$

Этап 3.3.1.2.2

Умножим $x$ на $x$ .

$\frac{d}{d x} [48 (2 \cdot 2 x^{2} + 2 x \cdot 3 + 3 (2 x) + 3 \cdot 3)]$

Этап 3.3.1.3

Умножим $2$ на $2$ .

$\frac{d}{d x} [48 (4 x^{2} + 2 x \cdot 3 + 3 (2 x) + 3 \cdot 3)]$

Этап 3.3.1.4

Умножим $3$ на $2$ .

$\frac{d}{d x} [48 (4 x^{2} + 6 x + 3 (2 x) + 3 \cdot 3)]$

Этап 3.3.1.5

Умножим $2$ на $3$ .

$\frac{d}{d x} [48 (4 x^{2} + 6 x + 6 x + 3 \cdot 3)]$

Этап 3.3.1.6

Умножим $3$ на $3$ .

$\frac{d}{d x} [48 (4 x^{2} + 6 x + 6 x + 9)]$

Этап 3.3.2

Добавим $6 x$ и $6 x$ .

$\frac{d}{d x} [48 (4 x^{2} + 12 x + 9)]$

Этап 3.4

Поскольку $48$ является константой относительно $x$ , производная $48 (4 x^{2} + 12 x + 9)$ по $x$ равна $48 \frac{d}{d x} [4 x^{2} + 12 x + 9]$ .

$48 \frac{d}{d x} [4 x^{2} + 12 x + 9]$

Этап 3.5

По правилу суммы производная $4 x^{2} + 12 x + 9$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [12 x] + \frac{d}{d x} [9]$ .

$48 (\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [12 x] + \frac{d}{d x} [9])$

Этап 3.6

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4 x^{2}$ по $x$ равна $4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$48 (4 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [12 x] + \frac{d}{d x} [9])$

Этап 3.7

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$48 (4 (2 x) + \frac{d}{d x} [12 x] + \frac{d}{d x} [9])$

Этап 3.8

Умножим $2$ на $4$ .

$48 (8 x + \frac{d}{d x} [12 x] + \frac{d}{d x} [9])$

Этап 3.9

Поскольку $12$ является константой относительно $x$ , производная $12 x$ по $x$ равна $12 \frac{d}{d x} [x]$ .

$48 (8 x + 12 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [9])$

Этап 3.10

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$48 (8 x + 12 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [9])$

Этап 3.11

Умножим $12$ на $1$ .

$48 (8 x + 12 + \frac{d}{d x} [9])$

Этап 3.12

Поскольку $9$ является константой относительно $x$ , производная $9$ относительно $x$ равна $0$ .

$48 (8 x + 12 + 0)$

Этап 3.13

Добавим $8 x + 12$ и $0$ .

$48 (8 x + 12)$

Этап 3.14

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.14.1

Применим свойство дистрибутивности.

$48 (8 x) + 48 \cdot 12$

Этап 3.14.2

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.14.2.1

Умножим $8$ на $48$ .

$384 x + 48 \cdot 12$

Этап 3.14.2.2

Умножим $48$ на $12$ .

$f''' (x) = 384 x + 576$

Этап 4

Найдем четвертую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

По правилу суммы производная $384 x + 576$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [384 x] + \frac{d}{d x} [576]$ .

$\frac{d}{d x} [384 x] + \frac{d}{d x} [576]$

Этап 4.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [384 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Поскольку $384$ является константой относительно $x$ , производная $384 x$ по $x$ равна $384 \frac{d}{d x} [x]$ .

$384 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [576]$

Этап 4.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$384 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [576]$

Этап 4.2.3

Умножим $384$ на $1$ .

$384 + \frac{d}{d x} [576]$

Этап 4.3

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Поскольку $576$ является константой относительно $x$ , производная $576$ относительно $x$ равна $0$ .

$384 + 0$

Этап 4.3.2

Добавим $384$ и $0$ .

$f^{4} (x) = 384$