Математический анализ Примеры

$w = \frac{2}{3} - \frac{y^{2}}{5} + \frac{4 y^{2}}{3}$

Этап 1

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d w} (w) = \frac{d}{d w} (\frac{2}{3} - \frac{y^{2}}{5} + \frac{4 y^{2}}{3})$

Этап 2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d w} [w^{n}]$ имеет вид $n w^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$1$

Этап 3

Продифференцируем правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

По правилу суммы производная $\frac{2}{3} - \frac{y^{2}}{5} + \frac{4 y^{2}}{3}$ по $w$ имеет вид $\frac{d}{d w} [\frac{2}{3}] + \frac{d}{d w} [- \frac{y^{2}}{5}] + \frac{d}{d w} [\frac{4 y^{2}}{3}]$ .

$\frac{d}{d w} [\frac{2}{3}] + \frac{d}{d w} [- \frac{y^{2}}{5}] + \frac{d}{d w} [\frac{4 y^{2}}{3}]$

Этап 3.1.2

Поскольку $\frac{2}{3}$ является константой относительно $w$ , производная $\frac{2}{3}$ относительно $w$ равна $0$ .

$0 + \frac{d}{d w} [- \frac{y^{2}}{5}] + \frac{d}{d w} [\frac{4 y^{2}}{3}]$

Этап 3.2

Найдем значение $\frac{d}{d w} [- \frac{y^{2}}{5}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Поскольку $- \frac{1}{5}$ является константой относительно $w$ , производная $- \frac{y^{2}}{5}$ по $w$ равна $- \frac{1}{5} \frac{d}{d w} [y^{2}]$ .

$0 - \frac{1}{5} \frac{d}{d w} [y^{2}] + \frac{d}{d w} [\frac{4 y^{2}}{3}]$

Этап 3.2.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d w} [f (g (w))]$ имеет вид $f' (g (w)) g' (w)$ , где $f (w) = w^{2}$ и $g (w) = y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $y$ .

$0 - \frac{1}{5} (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d w} [y]) + \frac{d}{d w} [\frac{4 y^{2}}{3}]$

Этап 3.2.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ имеет вид $n {u_{1}}^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$0 - \frac{1}{5} (2 u_{1} \frac{d}{d w} [y]) + \frac{d}{d w} [\frac{4 y^{2}}{3}]$

Этап 3.2.2.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $y$ .

$0 - \frac{1}{5} (2 y \frac{d}{d w} [y]) + \frac{d}{d w} [\frac{4 y^{2}}{3}]$

Этап 3.2.3

Перепишем $\frac{d}{d w} [y]$ в виде $y'$ .

$0 - \frac{1}{5} (2 y y') + \frac{d}{d w} [\frac{4 y^{2}}{3}]$

Этап 3.2.4

Умножим $2$ на $- 1$ .

$0 - 2 (\frac{1}{5}) (y y') + \frac{d}{d w} [\frac{4 y^{2}}{3}]$

Этап 3.2.5

Объединим $- 2$ и $\frac{1}{5}$ .

$0 + \frac{- 2}{5} (y y') + \frac{d}{d w} [\frac{4 y^{2}}{3}]$

Этап 3.2.6

Объединим $y$ и $\frac{- 2}{5}$ .

$0 + \frac{y \cdot - 2}{5} y' + \frac{d}{d w} [\frac{4 y^{2}}{3}]$

Этап 3.2.7

Объединим $\frac{y \cdot - 2}{5}$ и $y'$ .

$0 + \frac{y \cdot - 2 y'}{5} + \frac{d}{d w} [\frac{4 y^{2}}{3}]$

Этап 3.2.8

Перенесем $- 2$ влево от $y$ .

$0 + \frac{- 2 \cdot y y'}{5} + \frac{d}{d w} [\frac{4 y^{2}}{3}]$

Этап 3.2.9

Вынесем знак минуса перед дробью.

$0 - \frac{2 y y'}{5} + \frac{d}{d w} [\frac{4 y^{2}}{3}]$

Этап 3.3

Найдем значение $\frac{d}{d w} [\frac{4 y^{2}}{3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Поскольку $\frac{4}{3}$ является константой относительно $w$ , производная $\frac{4 y^{2}}{3}$ по $w$ равна $\frac{4}{3} \frac{d}{d w} [y^{2}]$ .

$0 - \frac{2 y y'}{5} + \frac{4}{3} \frac{d}{d w} [y^{2}]$

Этап 3.3.2

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{2}$ как $y$ .

$0 - \frac{2 y y'}{5} + \frac{4}{3} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d w} [y])$

Этап 3.3.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ имеет вид $n {u_{2}}^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$0 - \frac{2 y y'}{5} + \frac{4}{3} (2 u_{2} \frac{d}{d w} [y])$

Этап 3.3.2.3

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $y$ .

$0 - \frac{2 y y'}{5} + \frac{4}{3} (2 y \frac{d}{d w} [y])$

Этап 3.3.3

Перепишем $\frac{d}{d w} [y]$ в виде $y'$ .

$0 - \frac{2 y y'}{5} + \frac{4}{3} (2 y y')$

Этап 3.3.4

Объединим $2$ и $\frac{4}{3}$ .

$0 - \frac{2 y y'}{5} + \frac{2 \cdot 4}{3} (y y')$

Этап 3.3.5

Умножим $2$ на $4$ .

$0 - \frac{2 y y'}{5} + \frac{8}{3} (y y')$

Этап 3.3.6

Объединим $y$ и $\frac{8}{3}$ .

$0 - \frac{2 y y'}{5} + \frac{y \cdot 8}{3} y'$

Этап 3.3.7

Объединим $\frac{y \cdot 8}{3}$ и $y'$ .

$0 - \frac{2 y y'}{5} + \frac{y \cdot 8 y'}{3}$

Этап 3.3.8

Перенесем $8$ влево от $y$ .

$0 - \frac{2 y y'}{5} + \frac{8 y y'}{3}$

Этап 3.4

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Вычтем $\frac{2 y y'}{5}$ из $0$ .

$- \frac{2 y y'}{5} + \frac{8 y y'}{3}$

Этап 3.4.2

Чтобы записать $- \frac{2 y y'}{5}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{2 y y'}{5} \cdot \frac{3}{3} + \frac{8 y y'}{3}$

Этап 3.4.3

Чтобы записать $\frac{8 y y'}{3}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{5}{5}$ .

$- \frac{2 y y'}{5} \cdot \frac{3}{3} + \frac{8 y y'}{3} \cdot \frac{5}{5}$

Этап 3.4.4

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $15$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.4.1

Умножим $\frac{2 y y'}{5}$ на $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{2 y y' \cdot 3}{5 \cdot 3} + \frac{8 y y'}{3} \cdot \frac{5}{5}$

Этап 3.4.4.2

Умножим $5$ на $3$ .

$- \frac{2 y y' \cdot 3}{15} + \frac{8 y y'}{3} \cdot \frac{5}{5}$

Этап 3.4.4.3

Умножим $\frac{8 y y'}{3}$ на $\frac{5}{5}$ .

$- \frac{2 y y' \cdot 3}{15} + \frac{8 y y' \cdot 5}{3 \cdot 5}$

Этап 3.4.4.4

Умножим $3$ на $5$ .

$- \frac{2 y y' \cdot 3}{15} + \frac{8 y y' \cdot 5}{15}$

Этап 3.4.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{- 2 y y' \cdot 3 + 8 y y' \cdot 5}{15}$

Этап 3.4.6

Умножим $3$ на $- 2$ .

$\frac{- 6 y y' + 8 y y' \cdot 5}{15}$

Этап 3.4.7

Умножим $5$ на $8$ .

$\frac{- 6 y y' + 40 y y'}{15}$

Этап 3.4.8

Добавим $- 6 y y'$ и $40 y y'$ .

$\frac{34 y y'}{15}$

Этап 4

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$1 = \frac{34 y y'}{15}$

Этап 5

Решим относительно $y'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Перепишем уравнение в виде $\frac{34 y y'}{15} = 1$ .

$\frac{34 y y'}{15} = 1$

Этап 5.2

Умножим обе части уравнения на $\frac{15}{34}$ .

$\frac{15}{34} \cdot \frac{34 y y'}{15} = \frac{15}{34} \cdot 1$

Этап 5.3

Упростим обе части уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1.1

Упростим $\frac{15}{34} \cdot \frac{34 y y'}{15}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1.1.1

Сократим общий множитель $15$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1.1.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{15}{34} \cdot \frac{34 y y'}{15} = \frac{15}{34} \cdot 1$

Этап 5.3.1.1.1.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{34} (34 y y') = \frac{15}{34} \cdot 1$

Этап 5.3.1.1.2

Сократим общий множитель $34$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1.1.2.1

Вынесем множитель $34$ из $34 y y'$ .

$\frac{1}{34} (34 (y y')) = \frac{15}{34} \cdot 1$

Этап 5.3.1.1.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{34} (34 (y y')) = \frac{15}{34} \cdot 1$

Этап 5.3.1.1.2.3

Перепишем это выражение.

$y y' = \frac{15}{34} \cdot 1$

Этап 5.3.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1

Умножим $\frac{15}{34}$ на $1$ .

$y y' = \frac{15}{34}$

Этап 5.4

Разделим каждый член $y y' = \frac{15}{34}$ на $y$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Разделим каждый член $y y' = \frac{15}{34}$ на $y$ .

$\frac{y y'}{y} = \frac{\frac{15}{34}}{y}$

Этап 5.4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.1

Сократим общий множитель $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y y'}{y} = \frac{\frac{15}{34}}{y}$

Этап 5.4.2.1.2

Разделим $y'$ на $1$ .

$y' = \frac{\frac{15}{34}}{y}$

Этап 5.4.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.3.1

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$y' = \frac{15}{34} \cdot \frac{1}{y}$

Этап 5.4.3.2

Умножим $\frac{15}{34}$ на $\frac{1}{y}$ .

$y' = \frac{15}{34 y}$

Этап 6

Заменим $y'$ на $\frac{d y}{d w}$ .

$\frac{d y}{d w} = \frac{15}{34 y}$