Математический анализ Примеры

$\int_{0}^{\infty} e^{- x} d x$

Этап 1

Запишем интеграл в виде предела, когда $t$ стремится к $\infty$ .

$lim_{t \to \infty} \int_{0}^{t} e^{- x} d x$

Этап 2

Пусть $u = - x$ . Тогда $d u = - d x$ , следовательно $- d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Пусть $u = - x$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Дифференцируем $- x$ .

$\frac{d}{d x} [- x]$

Этап 2.1.2

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{d}{d x} [x]$

Этап 2.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$- 1 \cdot 1$

Этап 2.1.4

Умножим $- 1$ на $1$ .

$- 1$

Этап 2.2

Подставим нижнее предельное значение вместо $x$ в $u = - x$ .

$u_{lower} = - 0$

Этап 2.3

Умножим $- 1$ на $0$ .

$u_{lower} = 0$

Этап 2.4

Подставим верхнее предельное значение вместо $x$ в $u = - x$ .

$u_{upper} = - t$

Этап 2.5

Значения, найденные для $u_{lower}$ и $u_{upper}$ , будут использованы для вычисления данного определенного интеграла.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = - t$

Этап 2.6

Переформулируем задачу, используя $u$ , $d u$ и новые пределы интегрирования.

$lim_{t \to \infty} \int_{0}^{- t} - e^{u} d u$

Этап 3

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$lim_{t \to \infty} - \int_{0}^{- t} e^{u} d u$

Этап 4

Интеграл $e^{u}$ по $u$ имеет вид $e^{u}$ .

$lim_{t \to \infty} - (e^{u}]_{0}^{- t})$

Этап 5

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Найдем значение $e^{u}$ в $- t$ и в $0$ .

$lim_{t \to \infty} - ((e^{- t}) - e^{0})$

Этап 5.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$lim_{t \to \infty} - (e^{- t} - 1 \cdot 1)$

Этап 5.2.2

Умножим $- 1$ на $1$ .

$lim_{t \to \infty} - (e^{- t} - 1)$

Этап 6

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Вынесем член $- 1$ из-под знака предела, так как он не зависит от $t$ .

$- lim_{t \to \infty} e^{- t} - 1$

Этап 6.1.2

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $t$ к $\infty$ .

$- (lim_{t \to \infty} e^{- t} - lim_{t \to \infty} 1)$

Этап 6.2

Поскольку показатель степени $- t$ стремится к $- \infty$ , величина $e^{- t}$ стремится к $0$ .

$- (0 - lim_{t \to \infty} 1)$

Этап 6.3

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $t$ к $\infty$ .

$- (0 - 1 \cdot 1)$

Этап 6.3.2

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.1

Умножим $- 1$ на $1$ .

$- (0 - 1)$

Этап 6.3.2.2

Вычтем $1$ из $0$ .

$- - 1$

Этап 6.3.2.3

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$1$