Математический анализ Примеры

$y = \frac{3 (1 - \sin (x))}{2 \cos (x)}$

Этап 1

Поскольку $\frac{3}{2}$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{3 (1 - \sin (x))}{2 \cos (x)}$ по $x$ равна $\frac{3}{2} \frac{d}{d x} [\frac{1 - \sin (x)}{\cos (x)}]$ .

$\frac{3}{2} \frac{d}{d x} [\frac{1 - \sin (x)}{\cos (x)}]$

Этап 2

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = 1 - \sin (x)$ и $g (x) = \cos (x)$ .

$\frac{3}{2} \cdot \frac{\cos (x) \frac{d}{d x} [1 - \sin (x)] - (1 - \sin (x)) \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\cos^{2} (x)}$

Этап 3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

По правилу суммы производная $1 - \sin (x)$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]$ .

$\frac{3}{2} \cdot \frac{\cos (x) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]) - (1 - \sin (x)) \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\cos^{2} (x)}$

Этап 3.2

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{3}{2} \cdot \frac{\cos (x) (0 + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]) - (1 - \sin (x)) \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\cos^{2} (x)}$

Этап 3.3

Добавим $0$ и $\frac{d}{d x} [- \sin (x)]$ .

$\frac{3}{2} \cdot \frac{\cos (x) \frac{d}{d x} [- \sin (x)] - (1 - \sin (x)) \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\cos^{2} (x)}$

Этап 3.4

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- \sin (x)$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$\frac{3}{2} \cdot \frac{\cos (x) (- \frac{d}{d x} [\sin (x)]) - (1 - \sin (x)) \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\cos^{2} (x)}$

Этап 4

Производная $\sin (x)$ по $x$ равна $\cos (x)$ .

$\frac{3}{2} \cdot \frac{\cos (x) (- \cos (x)) - (1 - \sin (x)) \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\cos^{2} (x)}$

Этап 5

Возведем $\cos (x)$ в степень $1$ .

$\frac{3}{2} \cdot \frac{- (\cos^{1} (x) \cos (x)) - (1 - \sin (x)) \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\cos^{2} (x)}$

Этап 6

Возведем $\cos (x)$ в степень $1$ .

$\frac{3}{2} \cdot \frac{- (\cos^{1} (x) \cos^{1} (x)) - (1 - \sin (x)) \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\cos^{2} (x)}$

Этап 7

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{3}{2} \cdot \frac{- {\cos (x)}^{1 + 1} - (1 - \sin (x)) \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\cos^{2} (x)}$

Этап 8

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{3}{2} \cdot \frac{- \cos^{2} (x) - (1 - \sin (x)) \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\cos^{2} (x)}$

Этап 9

Производная $\cos (x)$ по $x$ равна $- \sin (x)$ .

$\frac{3}{2} \cdot \frac{- \cos^{2} (x) - (1 - \sin (x)) (- \sin (x))}{\cos^{2} (x)}$

Этап 10

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$\frac{3}{2} \cdot \frac{- \cos^{2} (x) + 1 (1 - \sin (x)) \sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

Этап 10.2

Умножим $1 - \sin (x)$ на $1$ .

$\frac{3}{2} \cdot \frac{- \cos^{2} (x) + (1 - \sin (x)) \sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

Этап 10.3

Умножим $\frac{3}{2}$ на $\frac{- \cos^{2} (x) + (1 - \sin (x)) \sin (x)}{\cos^{2} (x)}$ .

$\frac{3 (- \cos^{2} (x) + (1 - \sin (x)) \sin (x))}{2 \cos^{2} (x)}$

Этап 11

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{3 (- \cos^{2} (x) + 1 \sin (x) - \sin (x) \sin (x))}{2 \cos^{2} (x)}$

Этап 11.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{3 (- \cos^{2} (x)) + 3 (1 \sin (x)) + 3 (- \sin (x) \sin (x))}{2 \cos^{2} (x)}$

Этап 11.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.3.1.1

Умножим $- 1$ на $3$ .

$\frac{- 3 \cos^{2} (x) + 3 (1 \sin (x)) + 3 (- \sin (x) \sin (x))}{2 \cos^{2} (x)}$

Этап 11.3.1.2

Умножим $\sin (x)$ на $1$ .

$\frac{- 3 \cos^{2} (x) + 3 \sin (x) + 3 (- \sin (x) \sin (x))}{2 \cos^{2} (x)}$

Этап 11.3.1.3

Умножим $- \sin (x) \sin (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.3.1.3.1

Возведем $\sin (x)$ в степень $1$ .

$\frac{- 3 \cos^{2} (x) + 3 \sin (x) + 3 (- (\sin^{1} (x) \sin (x)))}{2 \cos^{2} (x)}$

Этап 11.3.1.3.2

Возведем $\sin (x)$ в степень $1$ .

$\frac{- 3 \cos^{2} (x) + 3 \sin (x) + 3 (- (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x)))}{2 \cos^{2} (x)}$

Этап 11.3.1.3.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{- 3 \cos^{2} (x) + 3 \sin (x) + 3 (- {\sin (x)}^{1 + 1})}{2 \cos^{2} (x)}$

Этап 11.3.1.3.4

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{- 3 \cos^{2} (x) + 3 \sin (x) + 3 (- \sin^{2} (x))}{2 \cos^{2} (x)}$

Этап 11.3.1.4

Умножим $- 1$ на $3$ .

$\frac{- 3 \cos^{2} (x) + 3 \sin (x) - 3 \sin^{2} (x)}{2 \cos^{2} (x)}$

Этап 11.3.2

Перенесем $- 3 \sin^{2} (x)$ .

$\frac{- 3 \cos^{2} (x) - 3 \sin^{2} (x) + 3 \sin (x)}{2 \cos^{2} (x)}$

Этап 11.3.3

Вынесем множитель $- 3$ из $- 3 \cos^{2} (x)$ .

$\frac{- 3 (\cos^{2} (x)) - 3 \sin^{2} (x) + 3 \sin (x)}{2 \cos^{2} (x)}$

Этап 11.3.4

Вынесем множитель $- 3$ из $- 3 \sin^{2} (x)$ .

$\frac{- 3 (\cos^{2} (x)) - 3 (\sin^{2} (x)) + 3 \sin (x)}{2 \cos^{2} (x)}$

Этап 11.3.5

Вынесем множитель $- 3$ из $- 3 (\cos^{2} (x)) - 3 (\sin^{2} (x))$ .

$\frac{- 3 (\cos^{2} (x) + \sin^{2} (x)) + 3 \sin (x)}{2 \cos^{2} (x)}$

Этап 11.3.6

Переставляем члены.

$\frac{- 3 (\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x)) + 3 \sin (x)}{2 \cos^{2} (x)}$

Этап 11.3.7

Применим формулу Пифагора.

$\frac{- 3 \cdot 1 + 3 \sin (x)}{2 \cos^{2} (x)}$

Этап 11.3.8

Умножим $- 3$ на $1$ .

$\frac{- 3 + 3 \sin (x)}{2 \cos^{2} (x)}$

Этап 11.4

Вынесем множитель $3$ из $- 3 + 3 \sin (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.4.1

Вынесем множитель $3$ из $- 3$ .

$\frac{3 \cdot - 1 + 3 \sin (x)}{2 \cos^{2} (x)}$

Этап 11.4.2

Вынесем множитель $3$ из $3 \cdot - 1 + 3 \sin (x)$ .

$\frac{3 (- 1 + \sin (x))}{2 \cos^{2} (x)}$

Этап 11.5

Перепишем $- 1$ в виде $- 1 (1)$ .

$\frac{3 (- 1 (1) + \sin (x))}{2 \cos^{2} (x)}$

Этап 11.6

Вынесем множитель $- 1$ из $\sin (x)$ .

$\frac{3 (- 1 (1) - 1 (- \sin (x)))}{2 \cos^{2} (x)}$

Этап 11.7

Вынесем множитель $- 1$ из $- 1 (1) - 1 (- \sin (x))$ .

$\frac{3 (- 1 (1 - \sin (x)))}{2 \cos^{2} (x)}$

Этап 11.8

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{3 (1 - \sin (x))}{2 \cos^{2} (x)}$