Математический анализ Примеры

$\frac{1}{x + k e^{x}}$

Этап 1

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = 1$ и $g (x) = x + k e^{x}$ .

$\frac{(x + k e^{x}) \frac{d}{d x} [1] - 1 \cdot 1 \frac{d}{d x} [x + k e^{x}]}{{(x + k e^{x})}^{2}}$

Этап 2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{(x + k e^{x}) \cdot 0 - 1 \cdot 1 \frac{d}{d x} [x + k e^{x}]}{{(x + k e^{x})}^{2}}$

Этап 2.2

По правилу суммы производная $x + k e^{x}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [k e^{x}]$ .

$\frac{(x + k e^{x}) \cdot 0 - 1 \cdot 1 (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [k e^{x}])}{{(x + k e^{x})}^{2}}$

Этап 2.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{(x + k e^{x}) \cdot 0 - 1 \cdot 1 (1 + \frac{d}{d x} [k e^{x}])}{{(x + k e^{x})}^{2}}$

Этап 3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [k e^{x}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Поскольку $k$ является константой относительно $x$ , производная $k e^{x}$ по $x$ равна $k \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$\frac{(x + k e^{x}) \cdot 0 - 1 \cdot 1 (1 + k \frac{d}{d x} [e^{x}])}{{(x + k e^{x})}^{2}}$

Этап 3.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ имеет вид $a^{x} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$\frac{(x + k e^{x}) \cdot 0 - 1 \cdot 1 (1 + k e^{x})}{{(x + k e^{x})}^{2}}$

Этап 4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Изменим порядок членов.

$\frac{(x + k e^{x}) \cdot 0 - 1 \cdot 1 (e^{x} k + 1)}{{(x + k e^{x})}^{2}}$

Этап 4.2

Изменим порядок множителей в $e^{x} k + 1$ .

$\frac{(x + k e^{x}) \cdot 0 - 1 \cdot 1 (k e^{x} + 1)}{{(x + k e^{x})}^{2}}$

Этап 5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{x \cdot 0 + k e^{x} \cdot 0 - 1 \cdot 1 (k e^{x} + 1)}{{(x + k e^{x})}^{2}}$

Этап 5.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{x \cdot 0 + k e^{x} \cdot 0 - 1 \cdot 1 (k e^{x}) - 1 \cdot 1 \cdot 1}{{(x + k e^{x})}^{2}}$

Этап 5.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1.1

Умножим $x$ на $0$ .

$\frac{0 + k e^{x} \cdot 0 - 1 \cdot 1 (k e^{x}) - 1 \cdot 1 \cdot 1}{{(x + k e^{x})}^{2}}$

Этап 5.3.1.2

Умножим $k e^{x} \cdot 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1.2.1

Умножим $0$ на $k$ .

$\frac{0 + 0 e^{x} - 1 \cdot 1 (k e^{x}) - 1 \cdot 1 \cdot 1}{{(x + k e^{x})}^{2}}$

Этап 5.3.1.2.2

Умножим $0$ на $e^{x}$ .

$\frac{0 + 0 - 1 \cdot 1 (k e^{x}) - 1 \cdot 1 \cdot 1}{{(x + k e^{x})}^{2}}$

Этап 5.3.1.3

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{0 + 0 - (k e^{x}) - 1 \cdot 1 \cdot 1}{{(x + k e^{x})}^{2}}$

Этап 5.3.1.4

Умножим $- 1 \cdot 1 \cdot 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1.4.1

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{0 + 0 - k e^{x} - 1 \cdot 1}{{(x + k e^{x})}^{2}}$

Этап 5.3.1.4.2

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{0 + 0 - k e^{x} - 1}{{(x + k e^{x})}^{2}}$

Этап 5.3.2

Объединим противоположные члены в $0 + 0 - k e^{x} - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1

Добавим $0$ и $0$ .

$\frac{0 - k e^{x} - 1}{{(x + k e^{x})}^{2}}$

Этап 5.3.2.2

Вычтем $k e^{x}$ из $0$ .

$\frac{- k e^{x} - 1}{{(x + k e^{x})}^{2}}$

Этап 5.4

Изменим порядок членов.

$\frac{- e^{x} k - 1}{{(e^{x} k + x)}^{2}}$

Этап 5.5

Вынесем множитель $- 1$ из $- e^{x} k$ .

$\frac{- (e^{x} k) - 1}{{(e^{x} k + x)}^{2}}$

Этап 5.6

Перепишем $- 1$ в виде $- 1 (1)$ .

$\frac{- (e^{x} k) - 1 (1)}{{(e^{x} k + x)}^{2}}$

Этап 5.7

Вынесем множитель $- 1$ из $- (e^{x} k) - 1 (1)$ .

$\frac{- (e^{x} k + 1)}{{(e^{x} k + x)}^{2}}$

Этап 5.8

Перепишем $- (e^{x} k + 1)$ в виде $- 1 (e^{x} k + 1)$ .

$\frac{- 1 (e^{x} k + 1)}{{(e^{x} k + x)}^{2}}$

Этап 5.9

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{e^{x} k + 1}{{(e^{x} k + x)}^{2}}$

Этап 5.10

Изменим порядок множителей в $- \frac{e^{x} k + 1}{{(e^{x} k + x)}^{2}}$ .

$- \frac{k e^{x} + 1}{{(k e^{x} + x)}^{2}}$