Математический анализ Примеры

$2 s - \frac{432}{s^{2}} = 0$

Этап 1

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$1, s^{2}, 1$

Этап 1.2

НОК единицы и любого выражения есть это выражение.

$s^{2}$

Этап 2

Каждый член в $2 s - \frac{432}{s^{2}} = 0$ умножим на $s^{2}$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Умножим каждый член $2 s - \frac{432}{s^{2}} = 0$ на $s^{2}$ .

$2 s \cdot s^{2} - \frac{432}{s^{2}} s^{2} = 0 s^{2}$

Этап 2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Умножим $s$ на $s^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1.1

Перенесем $s^{2}$ .

$2 (s^{2} s) - \frac{432}{s^{2}} s^{2} = 0 s^{2}$

Этап 2.2.1.1.2

Умножим $s^{2}$ на $s$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1.2.1

Возведем $s$ в степень $1$ .

$2 (s^{2} s^{1}) - \frac{432}{s^{2}} s^{2} = 0 s^{2}$

Этап 2.2.1.1.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$2 s^{2 + 1} - \frac{432}{s^{2}} s^{2} = 0 s^{2}$

Этап 2.2.1.1.3

Добавим $2$ и $1$ .

$2 s^{3} - \frac{432}{s^{2}} s^{2} = 0 s^{2}$

Этап 2.2.1.2

Сократим общий множитель $s^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.2.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{432}{s^{2}}$ в числитель.

$2 s^{3} + \frac{- 432}{s^{2}} s^{2} = 0 s^{2}$

Этап 2.2.1.2.2

Сократим общий множитель.

$2 s^{3} + \frac{- 432}{s^{2}} s^{2} = 0 s^{2}$

Этап 2.2.1.2.3

Перепишем это выражение.

$2 s^{3} - 432 = 0 s^{2}$

Этап 2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Умножим $0$ на $s^{2}$ .

$2 s^{3} - 432 = 0$

Этап 3

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Добавим $432$ к обеим частям уравнения.

$2 s^{3} = 432$

Этап 3.2

Вычтем $432$ из обеих частей уравнения.

$2 s^{3} - 432 = 0$

Этап 3.3

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Вынесем множитель $2$ из $2 s^{3} - 432$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1

Вынесем множитель $2$ из $2 s^{3}$ .

$2 (s^{3}) - 432 = 0$

Этап 3.3.1.2

Вынесем множитель $2$ из $- 432$ .

$2 s^{3} + 2 \cdot - 216 = 0$

Этап 3.3.1.3

Вынесем множитель $2$ из $2 s^{3} + 2 \cdot - 216$ .

$2 (s^{3} - 216) = 0$

Этап 3.3.2

Перепишем $216$ в виде $6^{3}$ .

$2 (s^{3} - 6^{3}) = 0$

Этап 3.3.3

Поскольку оба члена являются полными кубами, выполним разложение на множители, используя формулу разности кубов, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ , где $a = s$ и $b = 6$ .

$2 ((s - 6) (s^{2} + s \cdot 6 + 6^{2})) = 0$

Этап 3.3.4

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.4.1

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.4.1.1

Перенесем $6$ влево от $s$ .

$2 ((s - 6) (s^{2} + 6 s + 6^{2})) = 0$

Этап 3.3.4.1.2

Возведем $6$ в степень $2$ .

$2 ((s - 6) (s^{2} + 6 s + 36)) = 0$

Этап 3.3.4.2

Избавимся от ненужных скобок.

$2 (s - 6) (s^{2} + 6 s + 36) = 0$

Этап 3.4

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$s - 6 = 0$

$s^{2} + 6 s + 36 = 0$

Этап 3.5

Приравняем $s - 6$ к $0$ , затем решим относительно $s$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Приравняем $s - 6$ к $0$ .

$s - 6 = 0$

Этап 3.5.2

Добавим $6$ к обеим частям уравнения.

$s = 6$

Этап 3.6

Приравняем $s^{2} + 6 s + 36$ к $0$ , затем решим относительно $s$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1

Приравняем $s^{2} + 6 s + 36$ к $0$ .

$s^{2} + 6 s + 36 = 0$

Этап 3.6.2

Решим $s^{2} + 6 s + 36 = 0$ относительно $s$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.2.1

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 3.6.2.2

Подставим значения $a = 1$ , $b = 6$ и $c = 36$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $s$ .

$\frac{- 6 \pm \sqrt{6^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 36)}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.6.2.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.2.3.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.2.3.1.1

Возведем $6$ в степень $2$ .

$s = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 1 \cdot 36}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.6.2.3.1.2

Умножим $- 4 \cdot 1 \cdot 36$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.2.3.1.2.1

Умножим $- 4$ на $1$ .

$s = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 36}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.6.2.3.1.2.2

Умножим $- 4$ на $36$ .

$s = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 144}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.6.2.3.1.3

Вычтем $144$ из $36$ .

$s = \frac{- 6 \pm \sqrt{- 108}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.6.2.3.1.4

Перепишем $- 108$ в виде $- 1 (108)$ .

$s = \frac{- 6 \pm \sqrt{- 1 \cdot 108}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.6.2.3.1.5

Перепишем $\sqrt{- 1 (108)}$ в виде $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{108}$ .

$s = \frac{- 6 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{108}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.6.2.3.1.6

Перепишем $\sqrt{- 1}$ в виде $i$ .

$s = \frac{- 6 \pm i \cdot \sqrt{108}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.6.2.3.1.7

Перепишем $108$ в виде $6^{2} \cdot 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.2.3.1.7.1

Вынесем множитель $36$ из $108$ .

$s = \frac{- 6 \pm i \cdot \sqrt{36 (3)}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.6.2.3.1.7.2

Перепишем $36$ в виде $6^{2}$ .

$s = \frac{- 6 \pm i \cdot \sqrt{6^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.6.2.3.1.8

Вынесем члены из-под знака корня.

$s = \frac{- 6 \pm i \cdot (6 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Этап 3.6.2.3.1.9

Перенесем $6$ влево от $i$ .

$s = \frac{- 6 \pm 6 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.6.2.3.2

Умножим $2$ на $1$ .

$s = \frac{- 6 \pm 6 i \sqrt{3}}{2}$

Этап 3.6.2.3.3

Упростим $\frac{- 6 \pm 6 i \sqrt{3}}{2}$ .

$s = - 3 \pm 3 i \sqrt{3}$

Этап 3.6.2.4

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$s = - 3 + 3 i \sqrt{3}, - 3 - 3 i \sqrt{3}$

Этап 3.7

Окончательным решением являются все значения, при которых $2 (s - 6) (s^{2} + 6 s + 36) = 0$ верно.

$s = 6, - 3 + 3 i \sqrt{3}, - 3 - 3 i \sqrt{3}$