Математический анализ Примеры

$f (x) = 3 x - 36 x^{\frac{1}{3}}$

Этап 1

Найдем первую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

По правилу суммы производная $3 x - 36 x^{\frac{1}{3}}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 36 x^{\frac{1}{3}}]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 36 x^{\frac{1}{3}}]$

Этап 1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [3 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 x$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 36 x^{\frac{1}{3}}]$

Этап 1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 36 x^{\frac{1}{3}}]$

Этап 1.2.3

Умножим $3$ на $1$ .

$3 + \frac{d}{d x} [- 36 x^{\frac{1}{3}}]$

Этап 1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 36 x^{\frac{1}{3}}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Поскольку $- 36$ является константой относительно $x$ , производная $- 36 x^{\frac{1}{3}}$ по $x$ равна $- 36 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$ .

$3 - 36 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$

Этап 1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = \frac{1}{3}$ .

$3 - 36 (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1})$

Этап 1.3.3

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$3 - 36 (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}})$

Этап 1.3.4

Объединим $- 1$ и $\frac{3}{3}$ .

$3 - 36 (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}})$

Этап 1.3.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$3 - 36 (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}})$

Этап 1.3.6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.6.1

Умножим $- 1$ на $3$ .

$3 - 36 (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 3}{3}})$

Этап 1.3.6.2

Вычтем $3$ из $1$ .

$3 - 36 (\frac{1}{3} x^{\frac{- 2}{3}})$

Этап 1.3.7

Вынесем знак минуса перед дробью.

$3 - 36 (\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}})$

Этап 1.3.8

Объединим $\frac{1}{3}$ и $x^{- \frac{2}{3}}$ .

$3 - 36 \frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3}$

Этап 1.3.9

Объединим $- 36$ и $\frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3}$ .

$3 + \frac{- 36 x^{- \frac{2}{3}}}{3}$

Этап 1.3.10

Перенесем $x^{- \frac{2}{3}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$3 + \frac{- 36}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Этап 1.3.11

Вынесем множитель $3$ из $- 36$ .

$3 + \frac{3 \cdot - 12}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Этап 1.3.12

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.12.1

Вынесем множитель $3$ из $3 x^{\frac{2}{3}}$ .

$3 + \frac{3 \cdot - 12}{3 (x^{\frac{2}{3}})}$

Этап 1.3.12.2

Сократим общий множитель.

$3 + \frac{3 \cdot - 12}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Этап 1.3.12.3

Перепишем это выражение.

$3 + \frac{- 12}{x^{\frac{2}{3}}}$

Этап 1.3.13

Вынесем знак минуса перед дробью.

$3 - \frac{12}{x^{\frac{2}{3}}}$

Этап 2

Найдем вторую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

По правилу суммы производная $3 - \frac{12}{x^{\frac{2}{3}}}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- \frac{12}{x^{\frac{2}{3}}}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (3) + \frac{d}{d x} (- \frac{12}{x^{\frac{2}{3}}})$

Этап 2.1.2

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3$ относительно $x$ равна $0$ .

$f'' (x) = 0 + \frac{d}{d x} (- \frac{12}{x^{\frac{2}{3}}})$

Этап 2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- \frac{12}{x^{\frac{2}{3}}}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Поскольку $- 12$ является константой относительно $x$ , производная $- \frac{12}{x^{\frac{2}{3}}}$ по $x$ равна $- 12 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}]$ .

$f'' (x) = 0 - 12 \frac{d}{d x} \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}$

Этап 2.2.2

Перепишем $\frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}$ в виде ${(x^{\frac{2}{3}})}^{- 1}$ .

$f'' (x) = 0 - 12 \frac{d}{d x} {(x^{\frac{2}{3}})}^{- 1}$

Этап 2.2.3

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{- 1}$ и $g (x) = x^{\frac{2}{3}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x^{\frac{2}{3}}$ .

$f'' (x) = 0 - 12 (\frac{d}{d u} (u^{- 1}) \frac{d}{d x} (x^{\frac{2}{3}}))$

Этап 2.2.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = - 1$ .

$f'' (x) = 0 - 12 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} x^{\frac{2}{3}})$

Этап 2.2.3.3

Заменим все вхождения $u$ на $x^{\frac{2}{3}}$ .

$f'' (x) = 0 - 12 (- {(x^{\frac{2}{3}})}^{- 2} \frac{d}{d x} x^{\frac{2}{3}})$

Этап 2.2.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = \frac{2}{3}$ .

$f'' (x) = 0 - 12 (- {(x^{\frac{2}{3}})}^{- 2} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1}))$

Этап 2.2.5

Перемножим экспоненты в ${(x^{\frac{2}{3}})}^{- 2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.5.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = 0 - 12 (- x^{\frac{2}{3} \cdot - 2} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1}))$

Этап 2.2.5.2

Умножим $\frac{2}{3} \cdot - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.5.2.1

Объединим $\frac{2}{3}$ и $- 2$ .

$f'' (x) = 0 - 12 (- x^{\frac{2 \cdot - 2}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1}))$

Этап 2.2.5.2.2

Умножим $2$ на $- 2$ .

$f'' (x) = 0 - 12 (- x^{\frac{- 4}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1}))$

Этап 2.2.5.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f'' (x) = 0 - 12 (- x^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1}))$

Этап 2.2.6

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$f'' (x) = 0 - 12 (- x^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}}))$

Этап 2.2.7

Объединим $- 1$ и $\frac{3}{3}$ .

$f'' (x) = 0 - 12 (- x^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}}))$

Этап 2.2.8

Объединим числители над общим знаменателем.

$f'' (x) = 0 - 12 (- x^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}}))$

Этап 2.2.9

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.9.1

Умножим $- 1$ на $3$ .

$f'' (x) = 0 - 12 (- x^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 3}{3}}))$

Этап 2.2.9.2

Вычтем $3$ из $2$ .

$f'' (x) = 0 - 12 (- x^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{- 1}{3}}))$

Этап 2.2.10

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f'' (x) = 0 - 12 (- x^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}}))$

Этап 2.2.11

Объединим $\frac{2}{3}$ и $x^{- \frac{1}{3}}$ .

$f'' (x) = 0 - 12 (- x^{- \frac{4}{3}} \frac{2 x^{- \frac{1}{3}}}{3})$

Этап 2.2.12

Объединим $\frac{2 x^{- \frac{1}{3}}}{3}$ и $x^{- \frac{4}{3}}$ .

$f'' (x) = 0 - 12 (- \frac{2 x^{- \frac{1}{3}} x^{- \frac{4}{3}}}{3})$

Этап 2.2.13

Умножим $x^{- \frac{1}{3}}$ на $x^{- \frac{4}{3}}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.13.1

Перенесем $x^{- \frac{4}{3}}$ .

$f'' (x) = 0 - 12 (- \frac{2 (x^{- \frac{4}{3}} x^{- \frac{1}{3}})}{3})$

Этап 2.2.13.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f'' (x) = 0 - 12 (- \frac{2 x^{- \frac{4}{3} - \frac{1}{3}}}{3})$

Этап 2.2.13.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$f'' (x) = 0 - 12 (- \frac{2 x^{\frac{- 4 - 1}{3}}}{3})$

Этап 2.2.13.4

Вычтем $1$ из $- 4$ .

$f'' (x) = 0 - 12 (- \frac{2 x^{\frac{- 5}{3}}}{3})$

Этап 2.2.13.5

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f'' (x) = 0 - 12 (- \frac{2 x^{- \frac{5}{3}}}{3})$

Этап 2.2.14

Перенесем $x^{- \frac{5}{3}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = 0 - 12 (- \frac{2}{3 x^{\frac{5}{3}}})$

Этап 2.2.15

Умножим $- 1$ на $- 12$ .

$f'' (x) = 0 + 12 (\frac{2}{3 x^{\frac{5}{3}}})$

Этап 2.2.16

Объединим $12$ и $\frac{2}{3 x^{\frac{5}{3}}}$ .

$f'' (x) = 0 + \frac{12 \cdot 2}{3 x^{\frac{5}{3}}}$

Этап 2.2.17

Умножим $12$ на $2$ .

$f'' (x) = 0 + \frac{24}{3 x^{\frac{5}{3}}}$

Этап 2.2.18

Вынесем множитель $3$ из $24$ .

$f'' (x) = 0 + \frac{3 \cdot 8}{3 x^{\frac{5}{3}}}$

Этап 2.2.19

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.19.1

Вынесем множитель $3$ из $3 x^{\frac{5}{3}}$ .

$f'' (x) = 0 + \frac{3 \cdot 8}{3 (x^{\frac{5}{3}})}$

Этап 2.2.19.2

Сократим общий множитель.

$f'' (x) = 0 + \frac{3 \cdot 8}{3 x^{\frac{5}{3}}}$

Этап 2.2.19.3

Перепишем это выражение.

$f'' (x) = 0 + \frac{8}{x^{\frac{5}{3}}}$

Этап 2.3

Добавим $0$ и $\frac{8}{x^{\frac{5}{3}}}$ .

$f'' (x) = \frac{8}{x^{\frac{5}{3}}}$

Этап 3

Чтобы найти локальные максимумы и минимумы функции, приравняем производную к $0$ и решим полученное уравнение.

$3 - \frac{12}{x^{\frac{2}{3}}} = 0$

Этап 4

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

По правилу суммы производная $3 x - 36 x^{\frac{1}{3}}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 36 x^{\frac{1}{3}}]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (3 x) + \frac{d}{d x} (- 36 x^{\frac{1}{3}})$

Этап 4.1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [3 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 x$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = 3 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 36 x^{\frac{1}{3}})$

Этап 4.1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f' (x) = 3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 36 x^{\frac{1}{3}})$

Этап 4.1.2.3

Умножим $3$ на $1$ .

$f' (x) = 3 + \frac{d}{d x} (- 36 x^{\frac{1}{3}})$

Этап 4.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 36 x^{\frac{1}{3}}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.3.1

$f' (x) = 3 - 36 \frac{d}{d x} x^{\frac{1}{3}}$

Этап 4.1.3.2

$f' (x) = 3 - 36 (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1})$

Этап 4.1.3.3

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$f' (x) = 3 - 36 (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}})$

Этап 4.1.3.4

Объединим $- 1$ и $\frac{3}{3}$ .

$f' (x) = 3 - 36 (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}})$

Этап 4.1.3.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$f' (x) = 3 - 36 (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}})$

Этап 4.1.3.6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.3.6.1

Умножим $- 1$ на $3$ .

$f' (x) = 3 - 36 (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 3}{3}})$

Этап 4.1.3.6.2

Вычтем $3$ из $1$ .

$f' (x) = 3 - 36 (\frac{1}{3} x^{\frac{- 2}{3}})$

Этап 4.1.3.7

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f' (x) = 3 - 36 (\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}})$

Этап 4.1.3.8

Объединим $\frac{1}{3}$ и $x^{- \frac{2}{3}}$ .

$f' (x) = 3 - 36 \frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3}$

Этап 4.1.3.9

Объединим $- 36$ и $\frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3}$ .

$f' (x) = 3 + \frac{- 36 x^{- \frac{2}{3}}}{3}$

Этап 4.1.3.10

Перенесем $x^{- \frac{2}{3}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = 3 + \frac{- 36}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Этап 4.1.3.11

Вынесем множитель $3$ из $- 36$ .

$f' (x) = 3 + \frac{3 \cdot - 12}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Этап 4.1.3.12

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.3.12.1

Вынесем множитель $3$ из $3 x^{\frac{2}{3}}$ .

$f' (x) = 3 + \frac{3 \cdot - 12}{3 (x^{\frac{2}{3}})}$

Этап 4.1.3.12.2

Сократим общий множитель.

$f' (x) = 3 + \frac{3 \cdot - 12}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Этап 4.1.3.12.3

Перепишем это выражение.

$f' (x) = 3 + \frac{- 12}{x^{\frac{2}{3}}}$

Этап 4.1.3.13

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f' (x) = 3 - \frac{12}{x^{\frac{2}{3}}}$

Этап 4.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $3 - \frac{12}{x^{\frac{2}{3}}}$ .

$3 - \frac{12}{x^{\frac{2}{3}}}$

Этап 5

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $3 - \frac{12}{x^{\frac{2}{3}}} = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$3 - \frac{12}{x^{\frac{2}{3}}} = 0$

Этап 5.2

Вычтем $3$ из обеих частей уравнения.

$- \frac{12}{x^{\frac{2}{3}}} = - 3$

Этап 5.3

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$x^{\frac{2}{3}}, 1$

Этап 5.3.2

НОК единицы и любого выражения есть это выражение.

$x^{\frac{2}{3}}$

Этап 5.4

Каждый член в $- \frac{12}{x^{\frac{2}{3}}} = - 3$ умножим на $x^{\frac{2}{3}}$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Умножим каждый член $- \frac{12}{x^{\frac{2}{3}}} = - 3$ на $x^{\frac{2}{3}}$ .

$- \frac{12}{x^{\frac{2}{3}}} x^{\frac{2}{3}} = - 3 x^{\frac{2}{3}}$

Этап 5.4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.1

Сократим общий множитель $x^{\frac{2}{3}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.1.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{12}{x^{\frac{2}{3}}}$ в числитель.

$\frac{- 12}{x^{\frac{2}{3}}} x^{\frac{2}{3}} = - 3 x^{\frac{2}{3}}$

Этап 5.4.2.1.2

Сократим общий множитель.

$\frac{- 12}{x^{\frac{2}{3}}} x^{\frac{2}{3}} = - 3 x^{\frac{2}{3}}$

Этап 5.4.2.1.3

Перепишем это выражение.

$- 12 = - 3 x^{\frac{2}{3}}$

Этап 5.5

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1

Перепишем уравнение в виде $- 3 x^{\frac{2}{3}} = - 12$ .

$- 3 x^{\frac{2}{3}} = - 12$

Этап 5.5.2

Разделим каждый член $- 3 x^{\frac{2}{3}} = - 12$ на $- 3$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.2.1

Разделим каждый член $- 3 x^{\frac{2}{3}} = - 12$ на $- 3$ .

$\frac{- 3 x^{\frac{2}{3}}}{- 3} = \frac{- 12}{- 3}$

Этап 5.5.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.2.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{- 3 x^{\frac{2}{3}}}{- 3} = \frac{- 12}{- 3}$

Этап 5.5.2.2.2

Разделим $x^{\frac{2}{3}}$ на $1$ .

$x^{\frac{2}{3}} = \frac{- 12}{- 3}$

Этап 5.5.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.2.3.1

Разделим $- 12$ на $- 3$ .

$x^{\frac{2}{3}} = 4$

Этап 5.5.3

Возведем обе части уравнения в степень $\frac{3}{2}$ , чтобы исключить дробный показатель в левой части.

${(x^{\frac{2}{3}})}^{\frac{3}{2}} = \pm 4^{\frac{3}{2}}$

Этап 5.5.4

Упростим показатель степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.4.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.4.1.1

Упростим ${(x^{\frac{2}{3}})}^{\frac{3}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.4.1.1.1

Перемножим экспоненты в ${(x^{\frac{2}{3}})}^{\frac{3}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.4.1.1.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{2}{3} \cdot \frac{3}{2}} = \pm 4^{\frac{3}{2}}$

Этап 5.5.4.1.1.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.4.1.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

$x^{\frac{2}{3} \cdot \frac{3}{2}} = \pm 4^{\frac{3}{2}}$

Этап 5.5.4.1.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

$x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = \pm 4^{\frac{3}{2}}$

Этап 5.5.4.1.1.1.3

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.4.1.1.1.3.1

Сократим общий множитель.

$x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = \pm 4^{\frac{3}{2}}$

Этап 5.5.4.1.1.1.3.2

Перепишем это выражение.

$x^{1} = \pm 4^{\frac{3}{2}}$

Этап 5.5.4.1.1.2

Упростим.

$x = \pm 4^{\frac{3}{2}}$

Этап 5.5.4.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.4.2.1

Упростим $\pm 4^{\frac{3}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.4.2.1.1

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.4.2.1.1.1

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$x = \pm {(2^{2})}^{\frac{3}{2}}$

Этап 5.5.4.2.1.1.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm 2^{2 (\frac{3}{2})}$

Этап 5.5.4.2.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.4.2.1.2.1

Сократим общий множитель.

$x = \pm 2^{2 (\frac{3}{2})}$

Этап 5.5.4.2.1.2.2

Перепишем это выражение.

$x = \pm 2^{3}$

Этап 5.5.4.2.1.3

Возведем $2$ в степень $3$ .

$x = \pm 8$

Этап 5.5.5

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.5.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$x = 8$

Этап 5.5.5.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$x = - 8$

Этап 5.5.5.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = 8, - 8$

Этап 6

Найдем значения, при которых производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Применим правило $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ , чтобы представить возведение в степень в виде радикала.

$3 - \frac{12}{\sqrt[3]{x^{2}}}$

Этап 6.2

Зададим знаменатель в $\frac{12}{\sqrt[3]{x^{2}}}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$\sqrt[3]{x^{2}} = 0$

Этап 6.3

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Чтобы избавиться от радикала в левой части уравнения, возведем обе части уравнения в куб.

${\sqrt[3]{x^{2}}}^{3} = 0^{3}$

Этап 6.3.2

Упростим каждую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt[3]{x^{2}}$ в виде $x^{\frac{2}{3}}$ .

${(x^{\frac{2}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Этап 6.3.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.2.1

Перемножим экспоненты в ${(x^{\frac{2}{3}})}^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.2.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{2}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Этап 6.3.2.2.1.2

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.2.1.2.1

Сократим общий множитель.

$x^{\frac{2}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Этап 6.3.2.2.1.2.2

Перепишем это выражение.

$x^{2} = 0^{3}$

Этап 6.3.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.3.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$x^{2} = 0$

Этап 6.3.3

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.3.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{0}$

Этап 6.3.3.2

Упростим $\pm \sqrt{0}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.3.2.1

Перепишем $0$ в виде $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Этап 6.3.3.2.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$x = \pm 0$

Этап 6.3.3.2.3

Плюс или минус $0$ равно $0$ .

$x = 0$

Этап 7

Критические точки, которые необходимо вычислить.

$x = 8, - 8, 0$

Этап 8

Найдем вторую производную в $x = 8$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$\frac{8}{{(8)}^{\frac{5}{3}}}$

Этап 9

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Перенесем $8^{1}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$\frac{1}{{(8)}^{\frac{5}{3}} \cdot 8^{- 1}}$

Этап 9.2

Умножим ${(8)}^{\frac{5}{3}}$ на $8^{- 1}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{1}{8^{\frac{5}{3} - 1}}$

Этап 9.2.2

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{8^{\frac{5}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}}}$

Этап 9.2.3

Объединим $- 1$ и $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{8^{\frac{5}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}}}$

Этап 9.2.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{1}{8^{\frac{5 - 1 \cdot 3}{3}}}$

Этап 9.2.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.5.1

Умножим $- 1$ на $3$ .

$\frac{1}{8^{\frac{5 - 3}{3}}}$

Этап 9.2.5.2

Вычтем $3$ из $5$ .

$\frac{1}{8^{\frac{2}{3}}}$

Этап 9.3

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.1

Перепишем $8$ в виде $2^{3}$ .

$\frac{1}{{(2^{3})}^{\frac{2}{3}}}$

Этап 9.3.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2^{3 (\frac{2}{3})}}$

Этап 9.3.3

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.3.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{2^{3 (\frac{2}{3})}}$

Этап 9.3.3.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{2^{2}}$

Этап 9.3.4

Возведем $2$ в степень $2$ .

$\frac{1}{4}$

Этап 10

$x = 8$ — локальный минимум, так как вторая производная положительная. Это называется тестом второй производной.

$x = 8$ — локальный минимум

Этап 11

Найдем значение y, если $x = 8$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $8$ .

$f (8) = 3 (8) - 36 {(8)}^{\frac{1}{3}}$

Этап 11.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1.1

Умножим $3$ на $8$ .

$f (8) = 24 - 36 {(8)}^{\frac{1}{3}}$

Этап 11.2.1.2

Перепишем $8$ в виде $2^{3}$ .

$f (8) = 24 - 36 {(2^{3})}^{\frac{1}{3}}$

Этап 11.2.1.3

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (8) = 24 - 36 \cdot 2^{3 (\frac{1}{3})}$

Этап 11.2.1.4

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1.4.1

Сократим общий множитель.

$f (8) = 24 - 36 \cdot 2^{3 (\frac{1}{3})}$

Этап 11.2.1.4.2

Перепишем это выражение.

$f (8) = 24 - 36 \cdot 2$

Этап 11.2.1.5

Найдем экспоненту.

$f (8) = 24 - 36 \cdot 2$

Этап 11.2.1.6

Умножим $- 36$ на $2$ .

$f (8) = 24 - 72$

Этап 11.2.2

Вычтем $72$ из $24$ .

$f (8) = - 48$

Этап 11.2.3

Окончательный ответ: $- 48$ .

$y = - 48$

Этап 12

Найдем вторую производную в $x = - 8$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$\frac{8}{{(- 8)}^{\frac{5}{3}}}$

Этап 13

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1.1

Перепишем $- 8$ в виде ${(- 2)}^{3}$ .

$\frac{8}{{({(- 2)}^{3})}^{\frac{5}{3}}}$

Этап 13.1.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{8}{{(- 2)}^{3 (\frac{5}{3})}}$

Этап 13.1.3

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1.3.1

Сократим общий множитель.

$\frac{8}{{(- 2)}^{3 (\frac{5}{3})}}$

Этап 13.1.3.2

Перепишем это выражение.

$\frac{8}{{(- 2)}^{5}}$

Этап 13.1.4

Возведем $- 2$ в степень $5$ .

$\frac{8}{- 32}$

Этап 13.2

Сократим выражение, путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.2.1

Сократим общий множитель $8$ и $- 32$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.2.1.1

Вынесем множитель $8$ из $8$ .

$\frac{8 (1)}{- 32}$

Этап 13.2.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.2.1.2.1

Вынесем множитель $8$ из $- 32$ .

$\frac{8 \cdot 1}{8 \cdot - 4}$

Этап 13.2.1.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{8 \cdot 1}{8 \cdot - 4}$

Этап 13.2.1.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{- 4}$

Этап 13.2.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{1}{4}$

Этап 14

$x = - 8$ — локальный максимум, так как вторая производная отрицательная. Это называется тестом второй производной.

$x = - 8$ — локальный максимум

Этап 15

Найдем значение y, если $x = - 8$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 8$ .

$f (- 8) = 3 (- 8) - 36 {(- 8)}^{\frac{1}{3}}$

Этап 15.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.1.1

Умножим $3$ на $- 8$ .

$f (- 8) = - 24 - 36 {(- 8)}^{\frac{1}{3}}$

Этап 15.2.1.2

Перепишем $- 8$ в виде ${(- 2)}^{3}$ .

$f (- 8) = - 24 - 36 {({(- 2)}^{3})}^{\frac{1}{3}}$

Этап 15.2.1.3

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (- 8) = - 24 - 36 {(- 2)}^{3 (\frac{1}{3})}$

Этап 15.2.1.4

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.1.4.1

Сократим общий множитель.

$f (- 8) = - 24 - 36 {(- 2)}^{3 (\frac{1}{3})}$

Этап 15.2.1.4.2

Перепишем это выражение.

$f (- 8) = - 24 - 36 \cdot - 2$

Этап 15.2.1.5

Найдем экспоненту.

$f (- 8) = - 24 - 36 \cdot - 2$

Этап 15.2.1.6

Умножим $- 36$ на $- 2$ .

$f (- 8) = - 24 + 72$

Этап 15.2.2

Добавим $- 24$ и $72$ .

$f (- 8) = 48$

Этап 15.2.3

Окончательный ответ: $48$ .

$y = 48$

Этап 16

Найдем вторую производную в $x = 0$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$\frac{8}{{(0)}^{\frac{5}{3}}}$

Этап 17

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.1

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.1.1

Перепишем $0$ в виде $0^{3}$ .

$\frac{8}{{(0^{3})}^{\frac{5}{3}}}$

Этап 17.1.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{8}{0^{3 (\frac{5}{3})}}$

Этап 17.2

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{8}{0^{3 (\frac{5}{3})}}$

Этап 17.2.2

Перепишем это выражение.

$\frac{8}{0^{5}}$

Этап 17.3

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$\frac{8}{0}$

Этап 17.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

Этап 18

Поскольку есть по крайней мере одна точка с $0$ или неопределенной второй производной, изучим изменение знака первой производной.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 18.1

Разобьем $(- \infty, \infty)$ на отдельные интервалы в окрестности значений $x$ , при которых первая производная равна $0$ или не определена.

$(- \infty, - 8) \cup (- 8, 0) \cup (0, 8) \cup (8, \infty)$

Этап 18.2

Подставим любое число такое, что $- 10$ , из интервала $(- \infty, - 8)$ в первую производную $3 - \frac{12}{x^{\frac{2}{3}}}$ , чтобы проверить знак результата (отрицательный или положительный).

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 18.2.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 10$ .

$f' (- 10) = 3 - \frac{12}{{(- 10)}^{\frac{2}{3}}}$

Этап 18.2.2

Окончательный ответ: $3 - \frac{12}{{(- 10)}^{\frac{2}{3}}}$ .

$3 - \frac{12}{{(- 10)}^{\frac{2}{3}}}$

Этап 18.3

Подставим любое число такое, что $- 4$ , из интервала $(- 8, 0)$ в первую производную $3 - \frac{12}{x^{\frac{2}{3}}}$ , чтобы проверить знак результата (отрицательный или положительный).

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 18.3.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 4$ .

$f' (- 4) = 3 - \frac{12}{{(- 4)}^{\frac{2}{3}}}$

Этап 18.3.2

Окончательный ответ: $3 - \frac{12}{{(- 4)}^{\frac{2}{3}}}$ .

$3 - \frac{12}{{(- 4)}^{\frac{2}{3}}}$

Этап 18.4

Подставим любое число такое, что $4$ , из интервала $(0, 8)$ в первую производную $3 - \frac{12}{x^{\frac{2}{3}}}$ , чтобы проверить знак результата (отрицательный или положительный).

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 18.4.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $4$ .

$f' (4) = 3 - \frac{12}{{(4)}^{\frac{2}{3}}}$

Этап 18.4.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 18.4.2.1

Избавимся от скобок.

$f' (4) = 3 - \frac{12}{4^{\frac{2}{3}}}$

Этап 18.4.2.2

Окончательный ответ: $3 - \frac{12}{4^{\frac{2}{3}}}$ .

$3 - \frac{12}{4^{\frac{2}{3}}}$

Этап 18.5

Подставим любое число такое, что $10$ , из интервала $(8, \infty)$ в первую производную $3 - \frac{12}{x^{\frac{2}{3}}}$ , чтобы проверить знак результата (отрицательный или положительный).

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 18.5.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $10$ .

$f' (10) = 3 - \frac{12}{{(10)}^{\frac{2}{3}}}$

Этап 18.5.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 18.5.2.1

Избавимся от скобок.

$f' (10) = 3 - \frac{12}{10^{\frac{2}{3}}}$

Этап 18.5.2.2

Окончательный ответ: $3 - \frac{12}{10^{\frac{2}{3}}}$ .

$3 - \frac{12}{10^{\frac{2}{3}}}$

Этап 18.6

Поскольку первая производная меняет знак с положительного на отрицательный в окрестности $x = - 8$ , $x = - 8$ — локальный максимум.

$x = - 8$ — локальный максимум

Этап 18.7

Поскольку первая производная не меняет знак в окрестности $x = 0$ , в этой точке нет ни локального максимума, ни локального минимума.

Не локальный максимум или минимум

Этап 18.8

Поскольку первая производная меняет знак с отрицательного на положительный в окрестности $x = 8$ , $x = 8$ — локальный минимум.

$x = 8$ — локальный минимум

Этап 18.9

Это локальные экстремумы $f (x) = 3 x - 36 x^{\frac{1}{3}}$ .

$x = - 8$ — локальный максимум

$x = 8$ — локальный минимум

$x = - 8$ — локальный максимум

$x = 8$ — локальный минимум

Этап 19