Математический анализ Примеры

$\int \frac{3 x^{2} - 10}{x^{2} - 4 x + 4} d x$

Этап 1

Разделим $3 x^{2} - 10$ на $x^{2} - 4 x + 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Подготовим многочлены к делению. Если слагаемые представляют не все экспоненты, добавим отсутствующий член со значением $0$ .

$x^{2}$

$4 x$

$4$

$3 x^{2}$

$0 x$

$10$

Этап 1.2

Разделим член с максимальной степенью в делимом $3 x^{2}$ на член с максимальной степенью в делителе $x^{2}$ .

							$3$
	$x^{2}$	-	$4 x$	+	$4$		$3 x^{2}$	+	$0 x$	-	$10$

Этап 1.3

Умножим новое частное на делитель.

						$3$
$x^{2}$	-	$4 x$	+	$4$		$3 x^{2}$	+	$0 x$	-	$10$
					+	$3 x^{2}$	-	$12 x$	+	$12$

Этап 1.4

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $3 x^{2} - 12 x + 12$ .

						$3$
$x^{2}$	-	$4 x$	+	$4$		$3 x^{2}$	+	$0 x$	-	$10$
					-	$3 x^{2}$	+	$12 x$	-	$12$

Этап 1.5

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

						$3$
$x^{2}$	-	$4 x$	+	$4$		$3 x^{2}$	+	$0 x$	-	$10$
					-	$3 x^{2}$	+	$12 x$	-	$12$
							+	$12 x$	-	$22$

Этап 1.6

Окончательный ответ: неполное частное плюс остаток, деленный на делитель.

$\int 3 + \frac{12 x - 22}{x^{2} - 4 x + 4} d x$

Этап 2

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int 3 d x + \int \frac{12 x - 22}{x^{2} - 4 x + 4} d x$

Этап 3

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$3 x + C + \int \frac{12 x - 22}{x^{2} - 4 x + 4} d x$

Этап 4

Запишем дробь, используя разложение на элементарные дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Разложим дробь и умножим на общий знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Разложим дробь на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1.1

Вынесем множитель $2$ из $12 x - 22$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1.1.1

Вынесем множитель $2$ из $12 x$ .

$\frac{2 (6 x) - 22}{x^{2} - 4 x + 4}$

Этап 4.1.1.1.2

Вынесем множитель $2$ из $- 22$ .

$\frac{2 (6 x) + 2 (- 11)}{x^{2} - 4 x + 4}$

Этап 4.1.1.1.3

Вынесем множитель $2$ из $2 (6 x) + 2 (- 11)$ .

$\frac{2 (6 x - 11)}{x^{2} - 4 x + 4}$

Этап 4.1.1.2

Разложим на множители, используя правило полных квадратов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1.2.1

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$\frac{2 (6 x - 11)}{x^{2} - 4 x + 2^{2}}$

Этап 4.1.1.2.2

Проверим, чтобы средний член был равен удвоенному произведению корней из первого и третьего членов.

$4 x = 2 \cdot x \cdot 2$

Этап 4.1.1.2.3

Перепишем многочлен.

$\frac{2 (6 x - 11)}{x^{2} - 2 \cdot x \cdot 2 + 2^{2}}$

Этап 4.1.1.2.4

Разложим на множители, используя правило выделения полного квадрата из квадратного трехчлена $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , где $a = x$ и $b = 2$ .

$\frac{2 (6 x - 11)}{{(x - 2)}^{2}}$

Этап 4.1.2

Для каждого множителя в знаменателе создадим новую дробь, используя множитель в качестве знаменателя, а неизвестное значение — в качестве числителя. Поскольку множитель в знаменателе линейный, поместим одну переменную на его место $A$ .

$\frac{A}{{(x - 2)}^{2}}$

Этап 4.1.3

$\frac{A}{{(x - 2)}^{2}} + \frac{B}{x - 2}$

Этап 4.1.4

Умножим каждую дробь в уравнении на знаменатель исходного выражения. В этом случае знаменатель равен ${(x - 2)}^{2}$ .

$\frac{2 (6 x - 11) {(x - 2)}^{2}}{{(x - 2)}^{2}} = \frac{(A) {(x - 2)}^{2}}{{(x - 2)}^{2}} + \frac{(B) {(x - 2)}^{2}}{x - 2}$

Этап 4.1.5

Сократим общий множитель ${(x - 2)}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.5.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 (6 x - 11) {(x - 2)}^{2}}{{(x - 2)}^{2}} = \frac{(A) {(x - 2)}^{2}}{{(x - 2)}^{2}} + \frac{(B) {(x - 2)}^{2}}{x - 2}$

Этап 4.1.5.2

Разделим $2 (6 x - 11)$ на $1$ .

$2 (6 x - 11) = \frac{(A) {(x - 2)}^{2}}{{(x - 2)}^{2}} + \frac{(B) {(x - 2)}^{2}}{x - 2}$

Этап 4.1.6

Применим свойство дистрибутивности.

$2 (6 x) + 2 \cdot - 11 = \frac{(A) {(x - 2)}^{2}}{{(x - 2)}^{2}} + \frac{(B) {(x - 2)}^{2}}{x - 2}$

Этап 4.1.7

Умножим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.7.1

Умножим $6$ на $2$ .

$12 x + 2 \cdot - 11 = \frac{(A) {(x - 2)}^{2}}{{(x - 2)}^{2}} + \frac{(B) {(x - 2)}^{2}}{x - 2}$

Этап 4.1.7.2

Умножим $2$ на $- 11$ .

$12 x - 22 = \frac{(A) {(x - 2)}^{2}}{{(x - 2)}^{2}} + \frac{(B) {(x - 2)}^{2}}{x - 2}$

Этап 4.1.8

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.8.1

Сократим общий множитель ${(x - 2)}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.8.1.1

Сократим общий множитель.

$12 x - 22 = \frac{A {(x - 2)}^{2}}{{(x - 2)}^{2}} + \frac{(B) {(x - 2)}^{2}}{x - 2}$

Этап 4.1.8.1.2

Разделим $A$ на $1$ .

$12 x - 22 = A + \frac{(B) {(x - 2)}^{2}}{x - 2}$

Этап 4.1.8.2

Сократим общий множитель ${(x - 2)}^{2}$ и $x - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.8.2.1

Вынесем множитель $x - 2$ из $(B) {(x - 2)}^{2}$ .

$12 x - 22 = A + \frac{(x - 2) (B (x - 2))}{x - 2}$

Этап 4.1.8.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.8.2.2.1

Умножим на $1$ .

$12 x - 22 = A + \frac{(x - 2) (B (x - 2))}{(x - 2) \cdot 1}$

Этап 4.1.8.2.2.2

Сократим общий множитель.

$12 x - 22 = A + \frac{(x - 2) (B (x - 2))}{(x - 2) \cdot 1}$

Этап 4.1.8.2.2.3

Перепишем это выражение.

$12 x - 22 = A + \frac{B (x - 2)}{1}$

Этап 4.1.8.2.2.4

Разделим $B (x - 2)$ на $1$ .

$12 x - 22 = A + B (x - 2)$

Этап 4.1.8.3

Применим свойство дистрибутивности.

$12 x - 22 = A + B x + B \cdot - 2$

Этап 4.1.8.4

Перенесем $- 2$ влево от $B$ .

$12 x - 22 = A + B x - 2 B$

Этап 4.1.9

Изменим порядок $A$ и $B x$ .

$12 x - 22 = B x + A - 2 B$

Этап 4.2

Составим уравнения для переменных элементарной дроби и используем их для создания системы уравнений.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Составим уравнение для переменных элементарной дроби, приравняв коэффициенты $x$ из каждой части уравнения. Чтобы уравнение было верным, эквивалентные коэффициенты в каждой части уравнения должны быть равны.

$12 = B$

Этап 4.2.2

Составим уравнение для переменных элементарной дроби, приравняв коэффициенты членов, не содержащих $x$ . Чтобы уравнение было верным, эквивалентные коэффициенты в каждой части уравнения должны быть равны.

$- 22 = A - 2 B$

Этап 4.2.3

Составим систему уравнений, чтобы найти коэффициенты элементарных дробей.

$12 = B$

$- 22 = A - 2 B$

$12 = B$

$- 22 = A - 2 B$

Этап 4.3

Решим систему уравнений.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Перепишем уравнение в виде $B = 12$ .

$B = 12$

$- 22 = A - 2 B$

Этап 4.3.2

Заменим все вхождения $B$ на $12$ во всех уравнениях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1

Заменим все вхождения $B$ в $- 22 = A - 2 B$ на $12$ .

$- 22 = A - 2 \cdot 12$

$B = 12$

Этап 4.3.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.2.1

Умножим $- 2$ на $12$ .

$- 22 = A - 24$

$B = 12$

$- 22 = A - 24$

$B = 12$

$- 22 = A - 24$

$B = 12$

Этап 4.3.3

Решим относительно $A$ в $- 22 = A - 24$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.3.1

Перепишем уравнение в виде $A - 24 = - 22$ .

$A - 24 = - 22$

$B = 12$

Этап 4.3.3.2

Перенесем все члены без $A$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.3.2.1

Добавим $24$ к обеим частям уравнения.

$A = - 22 + 24$

$B = 12$

Этап 4.3.3.2.2

Добавим $- 22$ и $24$ .

$A = 2$

$B = 12$

$A = 2$

$B = 12$

$A = 2$

$B = 12$

Этап 4.3.4

Решим систему уравнений.

$A = 2 B = 12$

Этап 4.3.5

Перечислим все решения.

$A = 2, B = 12$

Этап 4.4

Заменим каждый коэффициент элементарной дроби в $\frac{A}{{(x - 2)}^{2}} + \frac{B}{x - 2}$ значениями, найденными для $A$ и $B$ .

$\frac{2}{{(x - 2)}^{2}} + \frac{12}{x - 2}$

Этап 4.5

Удалим ноль из выражения.

$3 x + C + \int \frac{2}{{(x - 2)}^{2}} + \frac{12}{x - 2} d x$

Этап 5

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$3 x + C + \int \frac{2}{{(x - 2)}^{2}} d x + \int \frac{12}{x - 2} d x$

Этап 6

Поскольку $2$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $2$ из-под знака интеграла.

$3 x + C + 2 \int \frac{1}{{(x - 2)}^{2}} d x + \int \frac{12}{x - 2} d x$

Этап 7

Пусть $u_{1} = x - 2$ . Тогда $d u_{1} = d x$ . Перепишем, используя $u_{1}$ и $d$ $u_{1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Пусть $u_{1} = x - 2$ . Найдем $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1

Дифференцируем $x - 2$ .

$\frac{d}{d x} [x - 2]$

Этап 7.1.2

По правилу суммы производная $x - 2$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Этап 7.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 2]$

Этап 7.1.4

Поскольку $- 2$ является константой относительно $x$ , производная $- 2$ относительно $x$ равна $0$ .

$1 + 0$

Этап 7.1.5

Добавим $1$ и $0$ .

$1$

Этап 7.2

Переформулируем задачу с помощью $u_{1}$ и $d u_{1}$ .

$3 x + C + 2 \int \frac{1}{{u_{1}}^{2}} d u_{1} + \int \frac{12}{x - 2} d x$

Этап 8

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Вынесем ${u_{1}}^{2}$ из знаменателя, возведя в $- 1$ степень.

$3 x + C + 2 \int {({u_{1}}^{2})}^{- 1} d u_{1} + \int \frac{12}{x - 2} d x$

Этап 8.2

Перемножим экспоненты в ${({u_{1}}^{2})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$3 x + C + 2 \int {u_{1}}^{2 \cdot - 1} d u_{1} + \int \frac{12}{x - 2} d x$

Этап 8.2.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$3 x + C + 2 \int {u_{1}}^{- 2} d u_{1} + \int \frac{12}{x - 2} d x$

Этап 9

По правилу степени интеграл ${u_{1}}^{- 2}$ по $u_{1}$ имеет вид $- {u_{1}}^{- 1}$ .

$3 x + C + 2 (- {u_{1}}^{- 1} + C) + \int \frac{12}{x - 2} d x$

Этап 10

Поскольку $12$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $12$ из-под знака интеграла.

$3 x + C + 2 (- {u_{1}}^{- 1} + C) + 12 \int \frac{1}{x - 2} d x$

Этап 11

Пусть $u_{2} = x - 2$ . Тогда $d u_{2} = d x$ . Перепишем, используя $u_{2}$ и $d$ $u_{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Пусть $u_{2} = x - 2$ . Найдем $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1.1

Дифференцируем $x - 2$ .

$\frac{d}{d x} [x - 2]$

Этап 11.1.2

По правилу суммы производная $x - 2$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Этап 11.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 2]$

Этап 11.1.4

Поскольку $- 2$ является константой относительно $x$ , производная $- 2$ относительно $x$ равна $0$ .

$1 + 0$

Этап 11.1.5

Добавим $1$ и $0$ .

$1$

Этап 11.2

Переформулируем задачу с помощью $u_{2}$ и $d u_{2}$ .

$3 x + C + 2 (- {u_{1}}^{- 1} + C) + 12 \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Этап 12

Интеграл $\frac{1}{u_{2}}$ по $u_{2}$ имеет вид $\ln (| u_{2} |)$ .

$3 x + C + 2 (- {u_{1}}^{- 1} + C) + 12 (\ln (| u_{2} |) + C)$

Этап 13

Упростим.

$3 x - \frac{2}{u_{1}} + 12 \ln (| u_{2} |) + C$

Этап 14

Выполним обратную подстановку для каждой подставленной переменной интегрирования.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.1

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $x - 2$ .

$3 x - \frac{2}{x - 2} + 12 \ln (| u_{2} |) + C$

Этап 14.2

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $x - 2$ .

$3 x - \frac{2}{x - 2} + 12 \ln (| x - 2 |) + C$