Математический анализ Примеры

$\sin (x) - \cos (x)$

Этап 1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

По правилу суммы производная $\sin (x) - \cos (x)$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$

Этап 1.1.2

Производная $\sin (x)$ по $x$ равна $\cos (x)$ .

$\cos (x) + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$

Этап 1.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- \cos (x)$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$\cos (x) - \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Этап 1.1.3.2

Производная $\cos (x)$ по $x$ равна $- \sin (x)$ .

$\cos (x) - - \sin (x)$

Этап 1.1.3.3

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$\cos (x) + 1 \sin (x)$

Этап 1.1.3.4

Умножим $\sin (x)$ на $1$ .

$f' (x) = \cos (x) + \sin (x)$

Этап 1.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $\cos (x) + \sin (x)$ .

$\cos (x) + \sin (x)$

Этап 2

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $\cos (x) + \sin (x) = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$\cos (x) + \sin (x) = 0$

Этап 2.2

Разделим каждый член уравнения на $\cos (x)$ .

$\frac{\cos (x)}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Этап 2.3

Сократим общий множитель $\cos (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Сократим общий множитель.

$\frac{\cos (x)}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Этап 2.3.2

Перепишем это выражение.

$1 + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Этап 2.4

Переведем $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ в $\tan (x)$ .

$1 + \tan (x) = \frac{0}{\cos (x)}$

Этап 2.5

Разделим дроби.

$1 + \tan (x) = \frac{0}{1} \cdot \frac{1}{\cos (x)}$

Этап 2.6

Переведем $\frac{1}{\cos (x)}$ в $\sec (x)$ .

$1 + \tan (x) = \frac{0}{1} \cdot \sec (x)$

Этап 2.7

Разделим $0$ на $1$ .

$1 + \tan (x) = 0 \sec (x)$

Этап 2.8

Умножим $0$ на $\sec (x)$ .

$1 + \tan (x) = 0$

Этап 2.9

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$\tan (x) = - 1$

Этап 2.10

Возьмем обратный тангенс обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из тангенса.

$x = \arctan (- 1)$

Этап 2.11

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.11.1

Точное значение $\arctan (- 1)$ : $- \frac{π}{4}$ .

$x = - \frac{π}{4}$

Этап 2.12

Функция тангенса отрицательна во втором и четвертом квадрантах. Для нахождения второго решения вычтем угол приведения из $π$ и найдем решение в третьем квадранте.

$x = - \frac{π}{4} - π$

Этап 2.13

Упростим выражение, чтобы найти второе решение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.13.1

Добавим $2 π$ к $- \frac{π}{4} - π$ .

$x = - \frac{π}{4} - π + 2 π$

Этап 2.13.2

Результирующий угол $\frac{3 π}{4}$ является положительным и отличается от $- \frac{π}{4} - π$ на полный оборот.

$x = \frac{3 π}{4}$

Этап 2.14

Найдем период $\tan (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.14.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Этап 2.14.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{π}{| 1 |}$

Этап 2.14.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{π}{1}$

Этап 2.14.4

Разделим $π$ на $1$ .

$π$

Этап 2.15

Добавим $π$ к каждому отрицательному углу, чтобы получить положительные углы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.15.1

Добавим $π$ к $- \frac{π}{4}$ , чтобы найти положительный угол.

$- \frac{π}{4} + π$

Этап 2.15.2

Чтобы записать $π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{4}{4}$ .

$π \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4}$

Этап 2.15.3

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.15.3.1

Объединим $π$ и $\frac{4}{4}$ .

$\frac{π \cdot 4}{4} - \frac{π}{4}$

Этап 2.15.3.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{π \cdot 4 - π}{4}$

Этап 2.15.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.15.4.1

Перенесем $4$ влево от $π$ .

$\frac{4 \cdot π - π}{4}$

Этап 2.15.4.2

Вычтем $π$ из $4 π$ .

$\frac{3 π}{4}$

Этап 2.15.5

Перечислим новые углы.

$x = \frac{3 π}{4}$

Этап 2.16

Период функции $\tan (x)$ равен $π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $π$ рад. в обоих направлениях.

$x = \frac{3 π}{4} + π n, \frac{3 π}{4} + π n$ , для любого целого $n$

Этап 3

Найдем значения, при которых производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Область определения выражения ― все действительные числа, за исключением случаев, когда выражение не определено. В данном случае не существует вещественного числа, при котором выражение не определено.

Этап 4

Вычислим $\sin (x) - \cos (x)$ для каждого значения $x$ , для которого производная равна $0$ или не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Найдем значение в $x = \frac{3 π}{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Подставим $\frac{3 π}{4}$ вместо $x$ .

$\sin (\frac{3 π}{4}) - \cos (\frac{3 π}{4})$

Этап 4.1.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1.1

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте.

$\sin (\frac{π}{4}) - \cos (\frac{3 π}{4})$

Этап 4.1.2.1.2

Точное значение $\sin (\frac{π}{4})$ : $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2} - \cos (\frac{3 π}{4})$

Этап 4.1.2.1.3

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте. Добавим минус к выражению, так как косинус отрицательный во втором квадранте.

$\frac{\sqrt{2}}{2} - - \cos (\frac{π}{4})$

Этап 4.1.2.1.4

Точное значение $\cos (\frac{π}{4})$ : $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2} - - \frac{\sqrt{2}}{2}$

Этап 4.1.2.1.5

Умножим $- - \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1.5.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2} + 1 \frac{\sqrt{2}}{2}$

Этап 4.1.2.1.5.2

Умножим $\frac{\sqrt{2}}{2}$ на $1$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}$

Этап 4.1.2.2

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.2.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{\sqrt{2} + \sqrt{2}}{2}$

Этап 4.1.2.2.2

Добавим $\sqrt{2}$ и $\sqrt{2}$ .

$\frac{2 \sqrt{2}}{2}$

Этап 4.1.2.2.3

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.2.3.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 \sqrt{2}}{2}$

Этап 4.1.2.2.3.2

Разделим $\sqrt{2}$ на $1$ .

$\sqrt{2}$

Этап 4.2

Найдем значение в $x = \frac{7 π}{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Подставим $\frac{7 π}{4}$ вместо $x$ .

$\sin (\frac{7 π}{4}) - \cos (\frac{7 π}{4})$

Этап 4.2.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1.1

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте. Добавим минус к выражению, так как синус отрицательный в четвертом квадранте.

$- \sin (\frac{π}{4}) - \cos (\frac{7 π}{4})$

Этап 4.2.2.1.2

Точное значение $\sin (\frac{π}{4})$ : $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- \frac{\sqrt{2}}{2} - \cos (\frac{7 π}{4})$

Этап 4.2.2.1.3

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте.

$- \frac{\sqrt{2}}{2} - \cos (\frac{π}{4})$

Этап 4.2.2.1.4

Точное значение $\cos (\frac{π}{4})$ : $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}$

Этап 4.2.2.2

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.2.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{- \sqrt{2} - \sqrt{2}}{2}$

Этап 4.2.2.2.2

Вычтем $\sqrt{2}$ из $- \sqrt{2}$ .

$\frac{- 2 \sqrt{2}}{2}$

Этап 4.2.2.2.3

Сократим общий множитель $- 2$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.2.3.1

Вынесем множитель $2$ из $- 2 \sqrt{2}$ .

$\frac{2 (- \sqrt{2})}{2}$

Этап 4.2.2.2.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.2.3.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$\frac{2 (- \sqrt{2})}{2 (1)}$

Этап 4.2.2.2.3.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{2 (- \sqrt{2})}{2 \cdot 1}$

Этап 4.2.2.2.3.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{- \sqrt{2}}{1}$

Этап 4.2.2.2.3.2.4

Разделим $- \sqrt{2}$ на $1$ .

$- \sqrt{2}$

Этап 4.3

Перечислим все точки.

$(\frac{3 π}{4} + 2 π n, \sqrt{2}), (\frac{7 π}{4} + 2 π n, - \sqrt{2})$ , для любого целого $n$

Этап 5