Математический анализ Примеры

$f (x) = 2 x^{3} - 3 x^{2} - 36 x$

Этап 1

Найдем первую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

По правилу суммы производная $2 x^{3} - 3 x^{2} - 36 x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 36 x]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 36 x]$

Этап 1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [2 x^{3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x^{3}$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 36 x]$

Этап 1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$2 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 36 x]$

Этап 1.2.3

Умножим $3$ на $2$ .

$6 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 36 x]$

Этап 1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Поскольку $- 3$ является константой относительно $x$ , производная $- 3 x^{2}$ по $x$ равна $- 3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$6 x^{2} - 3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 36 x]$

Этап 1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$6 x^{2} - 3 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 36 x]$

Этап 1.3.3

Умножим $2$ на $- 3$ .

$6 x^{2} - 6 x + \frac{d}{d x} [- 36 x]$

Этап 1.4

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 36 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Поскольку $- 36$ является константой относительно $x$ , производная $- 36 x$ по $x$ равна $- 36 \frac{d}{d x} [x]$ .

$6 x^{2} - 6 x - 36 \frac{d}{d x} [x]$

Этап 1.4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$6 x^{2} - 6 x - 36 \cdot 1$

Этап 1.4.3

Умножим $- 36$ на $1$ .

$6 x^{2} - 6 x - 36$

Этап 2

Найдем вторую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $6 x^{2} - 6 x - 36$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [- 36]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (6 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 6 x) + \frac{d}{d x} (- 36)$

Этап 2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [6 x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Поскольку $6$ является константой относительно $x$ , производная $6 x^{2}$ по $x$ равна $6 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = 6 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 6 x) + \frac{d}{d x} (- 36)$

Этап 2.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$f'' (x) = 6 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 6 x) + \frac{d}{d x} (- 36)$

Этап 2.2.3

Умножим $2$ на $6$ .

$f'' (x) = 12 x + \frac{d}{d x} (- 6 x) + \frac{d}{d x} (- 36)$

Этап 2.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 6 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $- 6$ является константой относительно $x$ , производная $- 6 x$ по $x$ равна $- 6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 12 x - 6 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (- 36)$

Этап 2.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f'' (x) = 12 x - 6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 36)$

Этап 2.3.3

Умножим $- 6$ на $1$ .

$f'' (x) = 12 x - 6 + \frac{d}{d x} (- 36)$

Этап 2.4

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Поскольку $- 36$ является константой относительно $x$ , производная $- 36$ относительно $x$ равна $0$ .

$f'' (x) = 12 x - 6 + 0$

Этап 2.4.2

Добавим $12 x - 6$ и $0$ .

$f'' (x) = 12 x - 6$

Этап 3

Чтобы найти локальные максимумы и минимумы функции, приравняем производную к $0$ и решим полученное уравнение.

$6 x^{2} - 6 x - 36 = 0$

Этап 4

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

По правилу суммы производная $2 x^{3} - 3 x^{2} - 36 x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 36 x]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (2 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 36 x)$

Этап 4.1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [2 x^{3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x^{3}$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f' (x) = 2 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 36 x)$

Этап 4.1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$f' (x) = 2 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 36 x)$

Этап 4.1.2.3

Умножим $3$ на $2$ .

$f' (x) = 6 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 36 x)$

Этап 4.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.3.1

Поскольку $- 3$ является константой относительно $x$ , производная $- 3 x^{2}$ по $x$ равна $- 3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = 6 x^{2} - 3 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (- 36 x)$

Этап 4.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$f' (x) = 6 x^{2} - 3 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 36 x)$

Этап 4.1.3.3

Умножим $2$ на $- 3$ .

$f' (x) = 6 x^{2} - 6 x + \frac{d}{d x} (- 36 x)$

Этап 4.1.4

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 36 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.4.1

Поскольку $- 36$ является константой относительно $x$ , производная $- 36 x$ по $x$ равна $- 36 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = 6 x^{2} - 6 x - 36 \frac{d}{d x} x$

Этап 4.1.4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f' (x) = 6 x^{2} - 6 x - 36 \cdot 1$

Этап 4.1.4.3

Умножим $- 36$ на $1$ .

$f' (x) = 6 x^{2} - 6 x - 36$

Этап 4.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $6 x^{2} - 6 x - 36$ .

$6 x^{2} - 6 x - 36$

Этап 5

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $6 x^{2} - 6 x - 36 = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$6 x^{2} - 6 x - 36 = 0$

Этап 5.2

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Вынесем множитель $6$ из $6 x^{2} - 6 x - 36$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1

Вынесем множитель $6$ из $6 x^{2}$ .

$6 (x^{2}) - 6 x - 36 = 0$

Этап 5.2.1.2

Вынесем множитель $6$ из $- 6 x$ .

$6 (x^{2}) + 6 (- x) - 36 = 0$

Этап 5.2.1.3

Вынесем множитель $6$ из $- 36$ .

$6 (x^{2}) + 6 (- x) + 6 (- 6) = 0$

Этап 5.2.1.4

Вынесем множитель $6$ из $6 (x^{2}) + 6 (- x)$ .

$6 (x^{2} - x) + 6 (- 6) = 0$

Этап 5.2.1.5

Вынесем множитель $6$ из $6 (x^{2} - x) + 6 (- 6)$ .

$6 (x^{2} - x - 6) = 0$

Этап 5.2.2

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1

Разложим $x^{2} - x - 6$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $- 6$ , а сумма — $- 1$ .

$- 3, 2$

Этап 5.2.2.1.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$6 ((x - 3) (x + 2)) = 0$

Этап 5.2.2.2

Избавимся от ненужных скобок.

$6 (x - 3) (x + 2) = 0$

Этап 5.3

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x - 3 = 0$

$x + 2 = 0$

Этап 5.4

Приравняем $x - 3$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Приравняем $x - 3$ к $0$ .

$x - 3 = 0$

Этап 5.4.2

Добавим $3$ к обеим частям уравнения.

$x = 3$

Этап 5.5

Приравняем $x + 2$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1

Приравняем $x + 2$ к $0$ .

$x + 2 = 0$

Этап 5.5.2

Вычтем $2$ из обеих частей уравнения.

$x = - 2$

Этап 5.6

Окончательным решением являются все значения, при которых $6 (x - 3) (x + 2) = 0$ верно.

$x = 3, - 2$

Этап 6

Найдем значения, при которых производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Область определения выражения ― все действительные числа, за исключением случаев, когда выражение не определено. В данном случае не существует вещественного числа, при котором выражение не определено.

Этап 7

Критические точки, которые необходимо вычислить.

$x = 3, - 2$

Этап 8

Найдем вторую производную в $x = 3$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$12 (3) - 6$

Этап 9

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Умножим $12$ на $3$ .

$36 - 6$

Этап 9.2

Вычтем $6$ из $36$ .

$30$

Этап 10

$x = 3$ — локальный минимум, так как вторая производная положительная. Это называется тестом второй производной.

$x = 3$ — локальный минимум

Этап 11

Найдем значение y, если $x = 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $3$ .

$f (3) = 2 {(3)}^{3} - 3 {(3)}^{2} - 36 \cdot 3$

Этап 11.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1.1

Возведем $3$ в степень $3$ .

$f (3) = 2 \cdot 27 - 3 {(3)}^{2} - 36 \cdot 3$

Этап 11.2.1.2

Умножим $2$ на $27$ .

$f (3) = 54 - 3 {(3)}^{2} - 36 \cdot 3$

Этап 11.2.1.3

Возведем $3$ в степень $2$ .

$f (3) = 54 - 3 \cdot 9 - 36 \cdot 3$

Этап 11.2.1.4

Умножим $- 3$ на $9$ .

$f (3) = 54 - 27 - 36 \cdot 3$

Этап 11.2.1.5

Умножим $- 36$ на $3$ .

$f (3) = 54 - 27 - 108$

Этап 11.2.2

Упростим путем вычитания чисел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.2.1

Вычтем $27$ из $54$ .

$f (3) = 27 - 108$

Этап 11.2.2.2

Вычтем $108$ из $27$ .

$f (3) = - 81$

Этап 11.2.3

Окончательный ответ: $- 81$ .

$y = - 81$

Этап 12

Найдем вторую производную в $x = - 2$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$12 (- 2) - 6$

Этап 13

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Умножим $12$ на $- 2$ .

$- 24 - 6$

Этап 13.2

Вычтем $6$ из $- 24$ .

$- 30$

Этап 14

$x = - 2$ — локальный максимум, так как вторая производная отрицательная. Это называется тестом второй производной.

$x = - 2$ — локальный максимум

Этап 15

Найдем значение y, если $x = - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 2$ .

$f (- 2) = 2 {(- 2)}^{3} - 3 {(- 2)}^{2} - 36 \cdot - 2$

Этап 15.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.1.1

Возведем $- 2$ в степень $3$ .

$f (- 2) = 2 \cdot - 8 - 3 {(- 2)}^{2} - 36 \cdot - 2$

Этап 15.2.1.2

Умножим $2$ на $- 8$ .

$f (- 2) = - 16 - 3 {(- 2)}^{2} - 36 \cdot - 2$

Этап 15.2.1.3

Возведем $- 2$ в степень $2$ .

$f (- 2) = - 16 - 3 \cdot 4 - 36 \cdot - 2$

Этап 15.2.1.4

Умножим $- 3$ на $4$ .

$f (- 2) = - 16 - 12 - 36 \cdot - 2$

Этап 15.2.1.5

Умножим $- 36$ на $- 2$ .

$f (- 2) = - 16 - 12 + 72$

Этап 15.2.2

Упростим путем сложения и вычитания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.2.1

Вычтем $12$ из $- 16$ .

$f (- 2) = - 28 + 72$

Этап 15.2.2.2

Добавим $- 28$ и $72$ .

$f (- 2) = 44$

Этап 15.2.3

Окончательный ответ: $44$ .

$y = 44$

Этап 16

Это локальные экстремумы $f (x) = 2 x^{3} - 3 x^{2} - 36 x$ .

$(3, - 81)$ — локальный минимум

$(- 2, 44)$ — локальный максимум

Этап 17