Математический анализ Примеры

$[(x^{3} + x) (x^{3} - x)]$

Этап 1

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x^{3} + x$ и $g (x) = x^{3} - x$ .

$(x^{3} + x) \frac{d}{d x} [x^{3} - x] + (x^{3} - x) \frac{d}{d x} [x^{3} + x]$

Этап 2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $x^{3} - x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$(x^{3} + x) (\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x]) + (x^{3} - x) \frac{d}{d x} [x^{3} + x]$

Этап 2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$(x^{3} + x) (3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- x]) + (x^{3} - x) \frac{d}{d x} [x^{3} + x]$

Этап 2.3

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$(x^{3} + x) (3 x^{2} - \frac{d}{d x} [x]) + (x^{3} - x) \frac{d}{d x} [x^{3} + x]$

Этап 2.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$(x^{3} + x) (3 x^{2} - 1 \cdot 1) + (x^{3} - x) \frac{d}{d x} [x^{3} + x]$

Этап 2.5

Умножим $- 1$ на $1$ .

$(x^{3} + x) (3 x^{2} - 1) + (x^{3} - x) \frac{d}{d x} [x^{3} + x]$

Этап 2.6

По правилу суммы производная $x^{3} + x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$(x^{3} + x) (3 x^{2} - 1) + (x^{3} - x) (\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [x])$

Этап 2.7

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$(x^{3} + x) (3 x^{2} - 1) + (x^{3} - x) (3 x^{2} + \frac{d}{d x} [x])$

Этап 2.8

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$(x^{3} + x) (3 x^{2} - 1) + (x^{3} - x) (3 x^{2} + 1)$

Этап 3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Вынесем множитель $1$ из $(x^{3} + x) (3 x^{2} - 1) + (x^{3} - x) (3 x^{2} + 1)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Вынесем множитель $1$ из $(x^{3} + x) (3 x^{2} - 1)$ .

$1 ((x^{3} + x) (3 x^{2} - 1)) + (x^{3} - x) (3 x^{2} + 1)$

Этап 3.1.2

Вынесем множитель $1$ из $(x^{3} - x) (3 x^{2} + 1)$ .

$1 ((x^{3} + x) (3 x^{2} - 1)) + 1 ((x^{3} - x) (3 x^{2} + 1))$

Этап 3.1.3

Вынесем множитель $1$ из $1 ((x^{3} + x) (3 x^{2} - 1)) + 1 ((x^{3} - x) (3 x^{2} + 1))$ .

$1 ((x^{3} + x) (3 x^{2} - 1) + (x^{3} - x) (3 x^{2} + 1))$

Этап 3.2

Умножим $(x^{3} + x) (3 x^{2} - 1) + (x^{3} - x) (3 x^{2} + 1)$ на $1$ .

$(x^{3} + x) (3 x^{2} - 1) + (x^{3} - x) (3 x^{2} + 1)$

Этап 3.3

Изменим порядок членов.

$(3 x^{2} - 1) (x^{3} + x) + (3 x^{2} + 1) (x^{3} - x)$

Этап 3.4

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Развернем $(3 x^{2} - 1) (x^{3} + x)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$3 x^{2} (x^{3} + x) - 1 (x^{3} + x) + (3 x^{2} + 1) (x^{3} - x)$

Этап 3.4.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$3 x^{2} x^{3} + 3 x^{2} x - 1 (x^{3} + x) + (3 x^{2} + 1) (x^{3} - x)$

Этап 3.4.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$3 x^{2} x^{3} + 3 x^{2} x - 1 x^{3} - 1 x + (3 x^{2} + 1) (x^{3} - x)$

Этап 3.4.2

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1.1

Умножим $x^{2}$ на $x^{3}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1.1.1

Перенесем $x^{3}$ .

$3 (x^{3} x^{2}) + 3 x^{2} x - 1 x^{3} - 1 x + (3 x^{2} + 1) (x^{3} - x)$

Этап 3.4.2.1.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$3 x^{3 + 2} + 3 x^{2} x - 1 x^{3} - 1 x + (3 x^{2} + 1) (x^{3} - x)$

Этап 3.4.2.1.1.3

Добавим $3$ и $2$ .

$3 x^{5} + 3 x^{2} x - 1 x^{3} - 1 x + (3 x^{2} + 1) (x^{3} - x)$

Этап 3.4.2.1.2

Умножим $x^{2}$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1.2.1

Перенесем $x$ .

$3 x^{5} + 3 (x \cdot x^{2}) - 1 x^{3} - 1 x + (3 x^{2} + 1) (x^{3} - x)$

Этап 3.4.2.1.2.2

Умножим $x$ на $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1.2.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$3 x^{5} + 3 (x^{1} x^{2}) - 1 x^{3} - 1 x + (3 x^{2} + 1) (x^{3} - x)$

Этап 3.4.2.1.2.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$3 x^{5} + 3 x^{1 + 2} - 1 x^{3} - 1 x + (3 x^{2} + 1) (x^{3} - x)$

Этап 3.4.2.1.2.3

Добавим $1$ и $2$ .

$3 x^{5} + 3 x^{3} - 1 x^{3} - 1 x + (3 x^{2} + 1) (x^{3} - x)$

Этап 3.4.2.1.3

Перепишем $- 1 x^{3}$ в виде $- x^{3}$ .

$3 x^{5} + 3 x^{3} - x^{3} - 1 x + (3 x^{2} + 1) (x^{3} - x)$

Этап 3.4.2.1.4

Перепишем $- 1 x$ в виде $- x$ .

$3 x^{5} + 3 x^{3} - x^{3} - x + (3 x^{2} + 1) (x^{3} - x)$

Этап 3.4.2.2

Вычтем $x^{3}$ из $3 x^{3}$ .

$3 x^{5} + 2 x^{3} - x + (3 x^{2} + 1) (x^{3} - x)$

Этап 3.4.3

Развернем $(3 x^{2} + 1) (x^{3} - x)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$3 x^{5} + 2 x^{3} - x + 3 x^{2} (x^{3} - x) + 1 (x^{3} - x)$

Этап 3.4.3.2

Применим свойство дистрибутивности.

$3 x^{5} + 2 x^{3} - x + 3 x^{2} x^{3} + 3 x^{2} (- x) + 1 (x^{3} - x)$

Этап 3.4.3.3

Применим свойство дистрибутивности.

$3 x^{5} + 2 x^{3} - x + 3 x^{2} x^{3} + 3 x^{2} (- x) + 1 x^{3} + 1 (- x)$

Этап 3.4.4

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.4.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.4.1.1

Умножим $x^{2}$ на $x^{3}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.4.1.1.1

Перенесем $x^{3}$ .

$3 x^{5} + 2 x^{3} - x + 3 (x^{3} x^{2}) + 3 x^{2} (- x) + 1 x^{3} + 1 (- x)$

Этап 3.4.4.1.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$3 x^{5} + 2 x^{3} - x + 3 x^{3 + 2} + 3 x^{2} (- x) + 1 x^{3} + 1 (- x)$

Этап 3.4.4.1.1.3

Добавим $3$ и $2$ .

$3 x^{5} + 2 x^{3} - x + 3 x^{5} + 3 x^{2} (- x) + 1 x^{3} + 1 (- x)$

Этап 3.4.4.1.2

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$3 x^{5} + 2 x^{3} - x + 3 x^{5} + 3 \cdot - 1 x^{2} x + 1 x^{3} + 1 (- x)$

Этап 3.4.4.1.3

Умножим $x^{2}$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.4.1.3.1

Перенесем $x$ .

$3 x^{5} + 2 x^{3} - x + 3 x^{5} + 3 \cdot - 1 (x \cdot x^{2}) + 1 x^{3} + 1 (- x)$

Этап 3.4.4.1.3.2

Умножим $x$ на $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.4.1.3.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$3 x^{5} + 2 x^{3} - x + 3 x^{5} + 3 \cdot - 1 (x^{1} x^{2}) + 1 x^{3} + 1 (- x)$

Этап 3.4.4.1.3.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$3 x^{5} + 2 x^{3} - x + 3 x^{5} + 3 \cdot - 1 x^{1 + 2} + 1 x^{3} + 1 (- x)$

Этап 3.4.4.1.3.3

Добавим $1$ и $2$ .

$3 x^{5} + 2 x^{3} - x + 3 x^{5} + 3 \cdot - 1 x^{3} + 1 x^{3} + 1 (- x)$

Этап 3.4.4.1.4

Умножим $3$ на $- 1$ .

$3 x^{5} + 2 x^{3} - x + 3 x^{5} - 3 x^{3} + 1 x^{3} + 1 (- x)$

Этап 3.4.4.1.5

Умножим $x^{3}$ на $1$ .

$3 x^{5} + 2 x^{3} - x + 3 x^{5} - 3 x^{3} + x^{3} + 1 (- x)$

Этап 3.4.4.1.6

Умножим $- x$ на $1$ .

$3 x^{5} + 2 x^{3} - x + 3 x^{5} - 3 x^{3} + x^{3} - x$

Этап 3.4.4.2

Добавим $- 3 x^{3}$ и $x^{3}$ .

$3 x^{5} + 2 x^{3} - x + 3 x^{5} - 2 x^{3} - x$

Этап 3.5

Объединим противоположные члены в $3 x^{5} + 2 x^{3} - x + 3 x^{5} - 2 x^{3} - x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Вычтем $2 x^{3}$ из $2 x^{3}$ .

$3 x^{5} - x + 3 x^{5} + 0 - x$

Этап 3.5.2

Добавим $3 x^{5} - x + 3 x^{5}$ и $0$ .

$3 x^{5} - x + 3 x^{5} - x$

Этап 3.6

Добавим $3 x^{5}$ и $3 x^{5}$ .

$6 x^{5} - x - x$

Этап 3.7

Вычтем $x$ из $- x$ .

$6 x^{5} - 2 x$