Математический анализ Примеры

$f (x) = \sqrt{x^{2} + 1}$

Этап 1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x^{2} + 1}$ в виде ${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} ({(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})$

Этап 1.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ и $g (x) = x^{2} + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x^{2} + 1$ .

$f' (x) = \frac{d}{d u} (u^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} (x^{2} + 1)$

Этап 1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = \frac{1}{2}$ .

$f' (x) = \frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (x^{2} + 1)$

Этап 1.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $x^{2} + 1$ .

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (x^{2} + 1)$

Этап 1.3

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} + 1)$

Этап 1.4

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} + 1)$

Этап 1.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot {(x^{2} + 1)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} + 1)$

Этап 1.6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot {(x^{2} + 1)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} + 1)$

Этап 1.6.2

Вычтем $2$ из $1$ .

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot {(x^{2} + 1)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} + 1)$

Этап 1.7

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot {(x^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} + 1)$

Этап 1.7.2

Объединим $\frac{1}{2}$ и ${(x^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} + 1)$

Этап 1.7.3

Перенесем ${(x^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = \frac{1}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} + 1)$

Этап 1.8

По правилу суммы производная $x^{2} + 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$f' (x) = \frac{1}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (1))$

Этап 1.9

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$f' (x) = \frac{1}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 x + \frac{d}{d x} (1))$

Этап 1.10

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$f' (x) = \frac{1}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 x + 0)$

Этап 1.11

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.11.1

Добавим $2 x$ и $0$ .

$f' (x) = \frac{1}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 x)$

Этап 1.11.2

Объединим $2$ и $\frac{1}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$f' (x) = \frac{2}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} \cdot x$

Этап 1.11.3

Объединим $\frac{2}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ и $x$ .

$f' (x) = \frac{2 x}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 1.11.4

Сократим общий множитель.

$f' (x) = \frac{2 x}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 1.11.5

Перепишем это выражение.

$f' (x) = \frac{x}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 2

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = x$ и $g (x) = {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{({(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 2.2

Перемножим экспоненты в ${({(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Этап 2.2.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Сократим общий множитель.

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Этап 2.2.2.2

Перепишем это выражение.

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{x^{2} + 1}$

Этап 2.3

Упростим.

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{x^{2} + 1}$

Этап 2.4

Продифференцируем, используя правило степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \cdot 1 - x \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{x^{2} + 1}$

Этап 2.4.2

Умножим ${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ на $1$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} - x \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{x^{2} + 1}$

Этап 2.5

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x^{2} + 1$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{d}{d u} (u^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$

Этап 2.5.2

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$

Этап 2.5.3

Заменим все вхождения $u$ на $x^{2} + 1$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} \cdot {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$

Этап 2.6

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} \cdot {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$

Этап 2.7

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} \cdot {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$

Этап 2.8

Объединим числители над общим знаменателем.

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} \cdot {(x^{2} + 1)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$

Этап 2.9

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.9.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} \cdot {(x^{2} + 1)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$

Этап 2.9.2

Вычтем $2$ из $1$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} \cdot {(x^{2} + 1)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$

Этап 2.10

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.10.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} \cdot {(x^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$

Этап 2.10.2

Объединим $\frac{1}{2}$ и ${(x^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{{(x^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$

Этап 2.10.3

Перенесем ${(x^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$

Этап 2.10.4

Объединим $\frac{1}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ и $x$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} - \frac{x}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} + 1)}{x^{2} + 1}$

Этап 2.11

По правилу суммы производная $x^{2} + 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} - \frac{x}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (1))}{x^{2} + 1}$

Этап 2.12

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} - \frac{x}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 x + \frac{d}{d x} (1))}{x^{2} + 1}$

Этап 2.13

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} - \frac{x}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 x + 0)}{x^{2} + 1}$

Этап 2.14

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.14.1

Добавим $2 x$ и $0$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} - \frac{x}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 x)}{x^{2} + 1}$

Этап 2.14.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} - 2 \frac{x}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} \cdot x}{x^{2} + 1}$

Этап 2.14.3

Объединим $- 2$ и $\frac{x}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} + \frac{- 2 x}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} \cdot x}{x^{2} + 1}$

Этап 2.14.4

Объединим $\frac{- 2 x}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ и $x$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} + \frac{- 2 x \cdot x}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 1}$

Этап 2.15

Возведем $x$ в степень $1$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} + \frac{- 2 (x \cdot x)}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 1}$

Этап 2.16

Возведем $x$ в степень $1$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} + \frac{- 2 (x \cdot x)}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 1}$

Этап 2.17

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} + \frac{- 2 x^{1 + 1}}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 1}$

Этап 2.18

Добавим $1$ и $1$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} + \frac{- 2 x^{2}}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 1}$

Этап 2.19

Вынесем множитель $2$ из $- 2 x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} + \frac{2 (- x^{2})}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 1}$

Этап 2.20

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.20.1

Вынесем множитель $2$ из $2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} + \frac{2 (- x^{2})}{2 ({(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}}{x^{2} + 1}$

Этап 2.20.2

Сократим общий множитель.

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} + \frac{2 (- x^{2})}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 1}$

Этап 2.20.3

Перепишем это выражение.

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} + \frac{- x^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 1}$

Этап 2.21

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} - \frac{x^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 1}$

Этап 2.22

Чтобы записать ${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{x^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 1}$

Этап 2.23

Объединим числители над общим знаменателем.

$f'' (x) = \frac{\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} - x^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 1}$

Этап 2.24

Умножим ${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ на ${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.24.1

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f'' (x) = \frac{\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} - x^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 1}$

Этап 2.24.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$f'' (x) = \frac{\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1 + 1}{2}} - x^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 1}$

Этап 2.24.3

Добавим $1$ и $1$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{2}} - x^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 1}$

Этап 2.24.4

Разделим $2$ на $2$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{(x^{2} + 1) - x^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 1}$

Этап 2.25

Упростим ${(x^{2} + 1)}^{1}$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{x^{2} + 1 - x^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 1}$

Этап 2.26

Вычтем $x^{2}$ из $x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{0 + 1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 1}$

Этап 2.27

Добавим $0$ и $1$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 1}$

Этап 2.28

Перепишем $\frac{\frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 1}$ в виде произведения.

$f'' (x) = \frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{x^{2} + 1}$

Этап 2.29

Умножим $\frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ на $\frac{1}{x^{2} + 1}$ .

$f'' (x) = \frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} (x^{2} + 1)}$

Этап 2.30

Умножим ${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ на $x^{2} + 1$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.30.1

Умножим ${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ на $x^{2} + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.30.1.1

Возведем $x^{2} + 1$ в степень $1$ .

$f'' (x) = \frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} (x^{2} + 1)}$

Этап 2.30.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f'' (x) = \frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} + 1}}$

Этап 2.30.2

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$f'' (x) = \frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}}}$

Этап 2.30.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$f'' (x) = \frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1 + 2}{2}}}$

Этап 2.30.4

Добавим $1$ и $2$ .

$f'' (x) = \frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 3

Найдем третью производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Перепишем $\frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$ в виде ${({(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}})}^{- 1}$ .

$f''' (x) = \frac{d}{d x} ({({(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}})}^{- 1})$

Этап 3.1.2

Перемножим экспоненты в ${({(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f''' (x) = \frac{d}{d x} ({(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2} \cdot - 1})$

Этап 3.1.2.2

Умножим $\frac{3}{2} \cdot - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.2.1

Объединим $\frac{3}{2}$ и $- 1$ .

$f''' (x) = \frac{d}{d x} ({(x^{2} + 1)}^{\frac{3 \cdot - 1}{2}})$

Этап 3.1.2.2.2

Умножим $3$ на $- 1$ .

$f''' (x) = \frac{d}{d x} ({(x^{2} + 1)}^{\frac{- 3}{2}})$

Этап 3.1.2.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f''' (x) = \frac{d}{d x} ({(x^{2} + 1)}^{- \frac{3}{2}})$

Этап 3.2

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x^{2} + 1$ .

$f''' (x) = \frac{d}{d u} (u^{- \frac{3}{2}}) \frac{d}{d x} (x^{2} + 1)$

Этап 3.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = - \frac{3}{2}$ .

$f''' (x) = - \frac{3}{2} u^{- \frac{3}{2} - 1} \frac{d}{d x} (x^{2} + 1)$

Этап 3.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $x^{2} + 1$ .

$f''' (x) = - \frac{3}{2} \cdot {(x^{2} + 1)}^{- \frac{3}{2} - 1} \frac{d}{d x} (x^{2} + 1)$

Этап 3.3

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$f''' (x) = - \frac{3}{2} \cdot {(x^{2} + 1)}^{- \frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} + 1)$

Этап 3.4

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$f''' (x) = - \frac{3}{2} \cdot {(x^{2} + 1)}^{- \frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} + 1)$

Этап 3.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$f''' (x) = - \frac{3}{2} \cdot {(x^{2} + 1)}^{\frac{- 3 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} + 1)$

Этап 3.6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$f''' (x) = - \frac{3}{2} \cdot {(x^{2} + 1)}^{\frac{- 3 - 2}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} + 1)$

Этап 3.6.2

Вычтем $2$ из $- 3$ .

$f''' (x) = - \frac{3}{2} \cdot {(x^{2} + 1)}^{\frac{- 5}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} + 1)$

Этап 3.7

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f''' (x) = - \frac{3}{2} \cdot {(x^{2} + 1)}^{- \frac{5}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} + 1)$

Этап 3.7.2

Объединим ${(x^{2} + 1)}^{- \frac{5}{2}}$ и $\frac{3}{2}$ .

$f''' (x) = - \frac{{(x^{2} + 1)}^{- \frac{5}{2}} \cdot 3}{2} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} + 1)$

Этап 3.7.3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.3.1

Перенесем $3$ влево от ${(x^{2} + 1)}^{- \frac{5}{2}}$ .

$f''' (x) = - \frac{3 \cdot {(x^{2} + 1)}^{- \frac{5}{2}}}{2} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} + 1)$

Этап 3.7.3.2

Перенесем ${(x^{2} + 1)}^{- \frac{5}{2}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f''' (x) = - \frac{3}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} + 1)$

Этап 3.8

По правилу суммы производная $x^{2} + 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$f''' (x) = - \frac{3}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2}}} \cdot (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (1))$

Этап 3.9

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$f''' (x) = - \frac{3}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2}}} \cdot (2 x + \frac{d}{d x} (1))$

Этап 3.10

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$f''' (x) = - \frac{3}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2}}} \cdot (2 x + 0)$

Этап 3.11

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.11.1

Добавим $2 x$ и $0$ .

$f''' (x) = - \frac{3}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2}}} \cdot (2 x)$

Этап 3.11.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$f''' (x) = - 2 \frac{3}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2}}} \cdot x$

Этап 3.11.3

Объединим $- 2$ и $\frac{3}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2}}}$ .

$f''' (x) = \frac{- 2 \cdot 3}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2}}} \cdot x$

Этап 3.11.4

Умножим $- 2$ на $3$ .

$f''' (x) = \frac{- 6}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2}}} \cdot x$

Этап 3.11.5

Объединим $\frac{- 6}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2}}}$ и $x$ .

$f''' (x) = \frac{- 6 x}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2}}}$

Этап 3.11.6

Вынесем множитель $2$ из $- 6 x$ .

$f''' (x) = \frac{2 (- 3 x)}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2}}}$

Этап 3.12

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.12.1

Вынесем множитель $2$ из $2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2}}$ .

$f''' (x) = \frac{2 (- 3 x)}{2 ({(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2}})}$

Этап 3.12.2

Сократим общий множитель.

$f''' (x) = \frac{2 (- 3 x)}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2}}}$

Этап 3.12.3

Перепишем это выражение.

$f''' (x) = \frac{- 3 x}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2}}}$

Этап 3.13

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f''' (x) = - \frac{3 x}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2}}}$

Этап 4

Найдем четвертую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Поскольку $- 3$ является константой относительно $x$ , производная $- \frac{3 x}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2}}}$ по $x$ равна $- 3 \frac{d}{d x} [\frac{x}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2}}}]$ .

$f^{4} (x) = - 3 \frac{d}{d x} \frac{x}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2}}}$

Этап 4.2

$f^{4} (x) = - 3 \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2}} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2}}}{{({(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2}})}^{2}}$

Этап 4.3

Продифференцируем, используя правило степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Перемножим экспоненты в ${({(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{4} (x) = - 3 \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2}} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2}}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2} \cdot 2}}$

Этап 4.3.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.2.1

Сократим общий множитель.

$f^{4} (x) = - 3 \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2}} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2}}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2} \cdot 2}}$

Этап 4.3.1.2.2

Перепишем это выражение.

$f^{4} (x) = - 3 \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2}} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2}}}{{(x^{2} + 1)}^{5}}$

Этап 4.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f^{4} (x) = - 3 \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2}} \cdot 1 - x \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2}}}{{(x^{2} + 1)}^{5}}$

Этап 4.3.3

Умножим ${(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2}}$ на $1$ .

$f^{4} (x) = - 3 \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2}} - x \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2}}}{{(x^{2} + 1)}^{5}}$

Этап 4.4

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x^{2} + 1$ .

$f^{4} (x) = - 3 \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2}} - x (\frac{d}{d u} (u^{\frac{5}{2}}) \frac{d}{d x} (x^{2} + 1))}{{(x^{2} + 1)}^{5}}$

Этап 4.4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = \frac{5}{2}$ .

$f^{4} (x) = - 3 \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2}} - x (\frac{5}{2} u^{\frac{5}{2} - 1} \frac{d}{d x} (x^{2} + 1))}{{(x^{2} + 1)}^{5}}$

Этап 4.4.3

Заменим все вхождения $u$ на $x^{2} + 1$ .

$f^{4} (x) = - 3 \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2}} - x (\frac{5}{2} \cdot {(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2} - 1} \frac{d}{d x} (x^{2} + 1))}{{(x^{2} + 1)}^{5}}$

Этап 4.5

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$f^{4} (x) = - 3 \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2}} - x (\frac{5}{2} \cdot {(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} + 1))}{{(x^{2} + 1)}^{5}}$

Этап 4.6

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$f^{4} (x) = - 3 \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2}} - x (\frac{5}{2} \cdot {(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} + 1))}{{(x^{2} + 1)}^{5}}$

Этап 4.7

Объединим числители над общим знаменателем.

$f^{4} (x) = - 3 \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2}} - x (\frac{5}{2} \cdot {(x^{2} + 1)}^{\frac{5 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} + 1))}{{(x^{2} + 1)}^{5}}$

Этап 4.8

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.8.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$f^{4} (x) = - 3 \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2}} - x (\frac{5}{2} \cdot {(x^{2} + 1)}^{\frac{5 - 2}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} + 1))}{{(x^{2} + 1)}^{5}}$

Этап 4.8.2

Вычтем $2$ из $5$ .

$f^{4} (x) = - 3 \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2}} - x (\frac{5}{2} \cdot {(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} + 1))}{{(x^{2} + 1)}^{5}}$

Этап 4.9

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.9.1

Объединим $\frac{5}{2}$ и ${(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}$ .

$f^{4} (x) = - 3 \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2}} - x (\frac{5 {(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}{2} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} + 1))}{{(x^{2} + 1)}^{5}}$

Этап 4.9.2

Объединим $\frac{5 {(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}{2}$ и $x$ .

$f^{4} (x) = - 3 \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2}} - \frac{5 {(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}} x}{2} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{5}}$

Этап 4.10

По правилу суммы производная $x^{2} + 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$f^{4} (x) = - 3 \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2}} - \frac{5 {(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}} x}{2} \cdot (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (1))}{{(x^{2} + 1)}^{5}}$

Этап 4.11

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$f^{4} (x) = - 3 \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2}} - \frac{5 {(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}} x}{2} \cdot (2 x + \frac{d}{d x} (1))}{{(x^{2} + 1)}^{5}}$

Этап 4.12

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$f^{4} (x) = - 3 \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2}} - \frac{5 {(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}} x}{2} \cdot (2 x + 0)}{{(x^{2} + 1)}^{5}}$

Этап 4.13

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.13.1

Добавим $2 x$ и $0$ .

$f^{4} (x) = - 3 \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2}} - \frac{5 {(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}} x}{2} \cdot (2 x)}{{(x^{2} + 1)}^{5}}$

Этап 4.13.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$f^{4} (x) = - 3 \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2}} - 2 \frac{5 {(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}} x}{2} \cdot x}{{(x^{2} + 1)}^{5}}$

Этап 4.13.3

Объединим $- 2$ и $\frac{5 {(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}} x}{2}$ .

$f^{4} (x) = - 3 \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2}} + \frac{- 2 (5 {(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}} x)}{2} \cdot x}{{(x^{2} + 1)}^{5}}$

Этап 4.13.4

Умножим $5$ на $- 2$ .

$f^{4} (x) = - 3 \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2}} + \frac{- 10 ({(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}} x)}{2} \cdot x}{{(x^{2} + 1)}^{5}}$

Этап 4.13.5

Объединим $\frac{- 10 ({(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}} x)}{2}$ и $x$ .

$f^{4} (x) = - 3 \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2}} + \frac{- 10 ({(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}} x) x}{2}}{{(x^{2} + 1)}^{5}}$

Этап 4.14

Возведем $x$ в степень $1$ .

$f^{4} (x) = - 3 \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2}} + \frac{- 10 ({(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}} (x \cdot x))}{2}}{{(x^{2} + 1)}^{5}}$

Этап 4.15

Возведем $x$ в степень $1$ .

$f^{4} (x) = - 3 \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2}} + \frac{- 10 ({(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}} (x \cdot x))}{2}}{{(x^{2} + 1)}^{5}}$

Этап 4.16

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f^{4} (x) = - 3 \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2}} + \frac{- 10 ({(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}} x^{1 + 1})}{2}}{{(x^{2} + 1)}^{5}}$

Этап 4.17

Добавим $1$ и $1$ .

$f^{4} (x) = - 3 \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2}} + \frac{- 10 ({(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}} x^{2})}{2}}{{(x^{2} + 1)}^{5}}$

Этап 4.18

Вынесем множитель $2$ из $- 10 {(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}} x^{2}$ .

$f^{4} (x) = - 3 \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2}} + \frac{2 (- 5 {(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}} x^{2})}{2}}{{(x^{2} + 1)}^{5}}$

Этап 4.19

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.19.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$f^{4} (x) = - 3 \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2}} + \frac{2 (- 5 {(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}} x^{2})}{2 (1)}}{{(x^{2} + 1)}^{5}}$

Этап 4.19.2

Сократим общий множитель.

$f^{4} (x) = - 3 \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2}} + \frac{2 (- 5 {(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}} x^{2})}{2 \cdot 1}}{{(x^{2} + 1)}^{5}}$

Этап 4.19.3

Перепишем это выражение.

$f^{4} (x) = - 3 \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2}} + \frac{- 5 {(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}} x^{2}}{1}}{{(x^{2} + 1)}^{5}}$

Этап 4.19.4

Разделим $- 5 {(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}} x^{2}$ на $1$ .

$f^{4} (x) = - 3 \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2}} - 5 {(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}} x^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{5}}$

Этап 4.20

Вынесем множитель ${(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}$ из ${(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2}} - 5 {(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}} x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.20.1

Перенесем ${(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}$ .

$f^{4} (x) = - 3 \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2}} - 5 x^{2} {(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}{{(x^{2} + 1)}^{5}}$

Этап 4.20.2

Вынесем множитель ${(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}$ из ${(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2}}$ .

$f^{4} (x) = - 3 \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}} {(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{2}} - 5 x^{2} {(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}{{(x^{2} + 1)}^{5}}$

Этап 4.20.3

Вынесем множитель ${(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}$ из $- 5 x^{2} {(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}$ .

$f^{4} (x) = - 3 \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}} {(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{2}} + {(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}} (- 5 x^{2})}{{(x^{2} + 1)}^{5}}$

Этап 4.20.4

Вынесем множитель ${(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}$ из ${(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}} {(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{2}} + {(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}} (- 5 x^{2})$ .

$f^{4} (x) = - 3 \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}} ({(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{2}} - 5 x^{2})}{{(x^{2} + 1)}^{5}}$

Этап 4.21

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.21.1

Сократим общий множитель.

$f^{4} (x) = - 3 \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}} ({(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{2}} - 5 x^{2})}{{(x^{2} + 1)}^{5}}$

Этап 4.21.2

Перепишем это выражение.

$f^{4} (x) = - 3 \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}} ((x^{2} + 1) - 5 x^{2})}{{(x^{2} + 1)}^{5}}$

Этап 4.22

Упростим.

$f^{4} (x) = - 3 \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}} (x^{2} + 1 - 5 x^{2})}{{(x^{2} + 1)}^{5}}$

Этап 4.23

Вычтем $5 x^{2}$ из $x^{2}$ .

$f^{4} (x) = - 3 \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}} (- 4 x^{2} + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{5}}$

Этап 4.24

Перенесем ${(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$f^{4} (x) = - 3 \frac{- 4 x^{2} + 1}{{(x^{2} + 1)}^{5} {(x^{2} + 1)}^{- \frac{3}{2}}}$

Этап 4.25

Умножим ${(x^{2} + 1)}^{5}$ на ${(x^{2} + 1)}^{- \frac{3}{2}}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.25.1

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f^{4} (x) = - 3 \frac{- 4 x^{2} + 1}{{(x^{2} + 1)}^{5 - \frac{3}{2}}}$

Этап 4.25.2

Чтобы записать $5$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$f^{4} (x) = - 3 \frac{- 4 x^{2} + 1}{{(x^{2} + 1)}^{5 \cdot \frac{2}{2} - \frac{3}{2}}}$

Этап 4.25.3

Объединим $5$ и $\frac{2}{2}$ .

$f^{4} (x) = - 3 \frac{- 4 x^{2} + 1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{5 \cdot 2}{2} - \frac{3}{2}}}$

Этап 4.25.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$f^{4} (x) = - 3 \frac{- 4 x^{2} + 1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{5 \cdot 2 - 3}{2}}}$

Этап 4.25.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.25.5.1

Умножим $5$ на $2$ .

$f^{4} (x) = - 3 \frac{- 4 x^{2} + 1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{10 - 3}{2}}}$

Этап 4.25.5.2

Вычтем $3$ из $10$ .

$f^{4} (x) = - 3 \frac{- 4 x^{2} + 1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{7}{2}}}$

Этап 4.26

Объединим $- 3$ и $\frac{- 4 x^{2} + 1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{7}{2}}}$ .

$f^{4} (x) = \frac{- 3 (- 4 x^{2} + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{7}{2}}}$

Этап 4.27

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f^{4} (x) = - \frac{(3) (- 4 x^{2} + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{7}{2}}}$

Этап 4.28

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.28.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f^{4} (x) = - \frac{3 (- 4 x^{2}) + 3 \cdot 1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{7}{2}}}$

Этап 4.28.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.28.2.1

Умножим $- 4$ на $3$ .

$f^{4} (x) = - \frac{- 12 x^{2} + 3 \cdot 1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{7}{2}}}$

Этап 4.28.2.2

Умножим $3$ на $1$ .

$f^{4} (x) = - \frac{- 12 x^{2} + 3}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{7}{2}}}$

Этап 5

Четвертая производная $f (x)$ по $x$ равна $- \frac{- 12 x^{2} + 3}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{7}{2}}}$ .

$- \frac{- 12 x^{2} + 3}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{7}{2}}}$