Математический анализ Примеры

$f (x) = 2 x^{3} + 3 x^{2} - 12 x$

Этап 1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

По правилу суммы производная $2 x^{3} + 3 x^{2} - 12 x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 12 x]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (2 x^{3}) + \frac{d}{d x} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 12 x)$

Этап 1.1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [2 x^{3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x^{3}$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f' (x) = 2 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 12 x)$

Этап 1.1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$f' (x) = 2 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 12 x)$

Этап 1.1.2.3

Умножим $3$ на $2$ .

$f' (x) = 6 x^{2} + \frac{d}{d x} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 12 x)$

Этап 1.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 x^{2}$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = 6 x^{2} + 3 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 12 x)$

Этап 1.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$f' (x) = 6 x^{2} + 3 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 12 x)$

Этап 1.1.3.3

Умножим $2$ на $3$ .

$f' (x) = 6 x^{2} + 6 x + \frac{d}{d x} (- 12 x)$

Этап 1.1.4

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 12 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.4.1

Поскольку $- 12$ является константой относительно $x$ , производная $- 12 x$ по $x$ равна $- 12 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = 6 x^{2} + 6 x - 12 \frac{d}{d x} x$

Этап 1.1.4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f' (x) = 6 x^{2} + 6 x - 12 \cdot 1$

Этап 1.1.4.3

Умножим $- 12$ на $1$ .

$f' (x) = 6 x^{2} + 6 x - 12$

Этап 1.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $6 x^{2} + 6 x - 12$ .

$6 x^{2} + 6 x - 12$

Этап 2

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $6 x^{2} + 6 x - 12 = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$6 x^{2} + 6 x - 12 = 0$

Этап 2.2

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Вынесем множитель $6$ из $6 x^{2} + 6 x - 12$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Вынесем множитель $6$ из $6 x^{2}$ .

$6 (x^{2}) + 6 x - 12 = 0$

Этап 2.2.1.2

Вынесем множитель $6$ из $6 x$ .

$6 (x^{2}) + 6 (x) - 12 = 0$

Этап 2.2.1.3

Вынесем множитель $6$ из $- 12$ .

$6 (x^{2}) + 6 x + 6 \cdot - 2 = 0$

Этап 2.2.1.4

Вынесем множитель $6$ из $6 (x^{2}) + 6 x$ .

$6 (x^{2} + x) + 6 \cdot - 2 = 0$

Этап 2.2.1.5

Вынесем множитель $6$ из $6 (x^{2} + x) + 6 \cdot - 2$ .

$6 (x^{2} + x - 2) = 0$

Этап 2.2.2

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Разложим $x^{2} + x - 2$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $- 2$ , а сумма — $1$ .

$- 1, 2$

Этап 2.2.2.1.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$6 ((x - 1) (x + 2)) = 0$

Этап 2.2.2.2

Избавимся от ненужных скобок.

$6 (x - 1) (x + 2) = 0$

Этап 2.3

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x - 1 = 0$

$x + 2 = 0$

Этап 2.4

Приравняем $x - 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Приравняем $x - 1$ к $0$ .

$x - 1 = 0$

Этап 2.4.2

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$x = 1$

Этап 2.5

Приравняем $x + 2$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Приравняем $x + 2$ к $0$ .

$x + 2 = 0$

Этап 2.5.2

Вычтем $2$ из обеих частей уравнения.

$x = - 2$

Этап 2.6

Окончательным решением являются все значения, при которых $6 (x - 1) (x + 2) = 0$ верно.

$x = 1, - 2$

Этап 3

Значения, при которых производная равна $0$ : $1, - 2$ .

$1, - 2$

Этап 4

Разобьем $(- \infty, \infty)$ на отдельные интервалы вокруг значений $x$ , при которых производная равна $0$ или не определена.

$(- \infty, - 2) \cup (- 2, 1) \cup (1, \infty)$

Этап 5

Подставим значение из интервала $(- \infty, - 2)$ в производную, чтобы определить, возрастает функция или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 3$ .

$f' (- 3) = 6 {(- 3)}^{2} + 6 (- 3) - 12$

Этап 5.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1

Возведем $- 3$ в степень $2$ .

$f' (- 3) = 6 \cdot 9 + 6 (- 3) - 12$

Этап 5.2.1.2

Умножим $6$ на $9$ .

$f' (- 3) = 54 + 6 (- 3) - 12$

Этап 5.2.1.3

Умножим $6$ на $- 3$ .

$f' (- 3) = 54 - 18 - 12$

Этап 5.2.2

Упростим путем вычитания чисел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1

Вычтем $18$ из $54$ .

$f' (- 3) = 36 - 12$

Этап 5.2.2.2

Вычтем $12$ из $36$ .

$f' (- 3) = 24$

Этап 5.2.3

Окончательный ответ: $24$ .

$24$

Этап 5.3

При $x = - 3$ производная имеет вид $24$ . Поскольку это положительная величина, функция возрастает в диапазоне $(- \infty, - 2)$ .

Возрастание в области $(- \infty, - 2)$ , так как $f' (x) > 0$

Этап 6

Подставим значение из интервала $(- 2, 1)$ в производную, чтобы определить, возрастает функция или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- \frac{1}{2}$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = 6 {(- \frac{1}{2})}^{2} + 6 (- \frac{1}{2}) - 12$

Этап 6.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.1

Применим правило степени ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ для распределения показателей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.1.1

Применим правило умножения к $- \frac{1}{2}$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = 6 ({(- 1)}^{2} {(\frac{1}{2})}^{2}) + 6 (- \frac{1}{2}) - 12$

Этап 6.2.1.1.2

Применим правило умножения к $\frac{1}{2}$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = 6 ({(- 1)}^{2} (\frac{1^{2}}{2^{2}})) + 6 (- \frac{1}{2}) - 12$

Этап 6.2.1.2

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = 6 (1 (\frac{1^{2}}{2^{2}})) + 6 (- \frac{1}{2}) - 12$

Этап 6.2.1.3

Умножим $\frac{1^{2}}{2^{2}}$ на $1$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = 6 (\frac{1^{2}}{2^{2}}) + 6 (- \frac{1}{2}) - 12$

Этап 6.2.1.4

Единица в любой степени равна единице.

$f' (- \frac{1}{2}) = 6 (\frac{1}{2^{2}}) + 6 (- \frac{1}{2}) - 12$

Этап 6.2.1.5

Возведем $2$ в степень $2$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = 6 (\frac{1}{4}) + 6 (- \frac{1}{2}) - 12$

Этап 6.2.1.6

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.6.1

Вынесем множитель $2$ из $6$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = 2 (3) (\frac{1}{4}) + 6 (- \frac{1}{2}) - 12$

Этап 6.2.1.6.2

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = 2 \cdot (3 (\frac{1}{2 \cdot 2})) + 6 (- \frac{1}{2}) - 12$

Этап 6.2.1.6.3

Сократим общий множитель.

$f' (- \frac{1}{2}) = 2 \cdot (3 (\frac{1}{2 \cdot 2})) + 6 (- \frac{1}{2}) - 12$

Этап 6.2.1.6.4

Перепишем это выражение.

$f' (- \frac{1}{2}) = 3 (\frac{1}{2}) + 6 (- \frac{1}{2}) - 12$

Этап 6.2.1.7

Объединим $3$ и $\frac{1}{2}$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{3}{2} + 6 (- \frac{1}{2}) - 12$

Этап 6.2.1.8

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.8.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{1}{2}$ в числитель.

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{3}{2} + 6 (\frac{- 1}{2}) - 12$

Этап 6.2.1.8.2

Вынесем множитель $2$ из $6$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{3}{2} + 2 (3) (\frac{- 1}{2}) - 12$

Этап 6.2.1.8.3

Сократим общий множитель.

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{3}{2} + 2 \cdot (3 (\frac{- 1}{2})) - 12$

Этап 6.2.1.8.4

Перепишем это выражение.

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{3}{2} + 3 \cdot - 1 - 12$

Этап 6.2.1.9

Умножим $3$ на $- 1$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{3}{2} - 3 - 12$

Этап 6.2.2

Найдем общий знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1

Запишем $- 3$ в виде дроби со знаменателем $1$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{3}{2} + \frac{- 3}{1} - 12$

Этап 6.2.2.2

Умножим $\frac{- 3}{1}$ на $\frac{2}{2}$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{3}{2} + \frac{- 3}{1} \cdot \frac{2}{2} - 12$

Этап 6.2.2.3

Умножим $\frac{- 3}{1}$ на $\frac{2}{2}$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{3}{2} + \frac{- 3 \cdot 2}{2} - 12$

Этап 6.2.2.4

Запишем $- 12$ в виде дроби со знаменателем $1$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{3}{2} + \frac{- 3 \cdot 2}{2} + \frac{- 12}{1}$

Этап 6.2.2.5

Умножим $\frac{- 12}{1}$ на $\frac{2}{2}$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{3}{2} + \frac{- 3 \cdot 2}{2} + \frac{- 12}{1} \cdot \frac{2}{2}$

Этап 6.2.2.6

Умножим $\frac{- 12}{1}$ на $\frac{2}{2}$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{3}{2} + \frac{- 3 \cdot 2}{2} + \frac{- 12 \cdot 2}{2}$

Этап 6.2.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{3 - 3 \cdot 2 - 12 \cdot 2}{2}$

Этап 6.2.4

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.4.1

Умножим $- 3$ на $2$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{3 - 6 - 12 \cdot 2}{2}$

Этап 6.2.4.2

Умножим $- 12$ на $2$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{3 - 6 - 24}{2}$

Этап 6.2.5

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.5.1

Вычтем $6$ из $3$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{- 3 - 24}{2}$

Этап 6.2.5.2

Вычтем $24$ из $- 3$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{- 27}{2}$

Этап 6.2.5.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f' (- \frac{1}{2}) = - \frac{27}{2}$

Этап 6.2.6

Окончательный ответ: $- \frac{27}{2}$ .

$- \frac{27}{2}$

Этап 6.3

При $x = - \frac{1}{2}$ производная имеет вид $- \frac{27}{2}$ . Поскольку это отрицательная величина, функция убывает в диапазоне $(- 2, 1)$ .

Убывание на $(- 2, 1)$ , так как $f' (x) < 0$

Этап 7

Подставим значение из интервала $(1, \infty)$ в производную, чтобы определить, возрастает функция или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $2$ .

$f' (2) = 6 {(2)}^{2} + 6 (2) - 12$

Этап 7.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1.1

Возведем $2$ в степень $2$ .

$f' (2) = 6 \cdot 4 + 6 (2) - 12$

Этап 7.2.1.2

Умножим $6$ на $4$ .

$f' (2) = 24 + 6 (2) - 12$

Этап 7.2.1.3

Умножим $6$ на $2$ .

$f' (2) = 24 + 12 - 12$

Этап 7.2.2

Упростим путем сложения и вычитания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.1

Добавим $24$ и $12$ .

$f' (2) = 36 - 12$

Этап 7.2.2.2

Вычтем $12$ из $36$ .

$f' (2) = 24$

Этап 7.2.3

Окончательный ответ: $24$ .

$24$

Этап 7.3

При $x = 2$ производная имеет вид $24$ . Поскольку это положительная величина, функция возрастает в диапазоне $(1, \infty)$ .

Возрастание в области $(1, \infty)$ , так как $f' (x) > 0$

Этап 8

Перечислим интервалы, на которых функция возрастает и убывает.

Возрастание в области: $(- \infty, - 2), (1, \infty)$

Убывание на: $(- 2, 1)$

Этап 9