Математический анализ Примеры

$\ln (x \sqrt{x^{2} - 1})$

Этап 1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x^{2} - 1}$ в виде ${(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [\ln (x {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}})]$

Этап 2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \ln (x)$ и $g (x) = x {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $x {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [x {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}]$

Этап 2.2

Производная $\ln (u_{1})$ по $u_{1}$ равна $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [x {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}]$

Этап 2.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $x {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{x {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}]$

Этап 3

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x$ и $g (x) = {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{x {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} (x \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}] + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 4

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{2}$ как $x^{2} - 1$ .

$\frac{1}{x {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} (x (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]) + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ имеет вид $n {u_{2}}^{n - 1}$ , где $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{x {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} (x (\frac{1}{2} {u_{2}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]) + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 4.3

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $x^{2} - 1$ .

$\frac{1}{x {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} (x (\frac{1}{2} {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]) + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 5

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{x {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} (x (\frac{1}{2} {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]) + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 6

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{x {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} (x (\frac{1}{2} {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]) + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 7

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{1}{x {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} (x (\frac{1}{2} {(x^{2} - 1)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]) + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 8

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$\frac{1}{x {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} (x (\frac{1}{2} {(x^{2} - 1)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]) + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 8.2

Вычтем $2$ из $1$ .

$\frac{1}{x {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} (x (\frac{1}{2} {(x^{2} - 1)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]) + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 9

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{1}{x {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} (x (\frac{1}{2} {(x^{2} - 1)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]) + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 9.2

Объединим $\frac{1}{2}$ и ${(x^{2} - 1)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{x {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} (x (\frac{{(x^{2} - 1)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]) + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 9.3

Перенесем ${(x^{2} - 1)}^{- \frac{1}{2}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{x {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} (x (\frac{1}{2 {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]) + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 9.4

Объединим $\frac{1}{2 {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}}$ и $x$ .

$\frac{1}{x {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{x}{2 {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1] + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 10

По правилу суммы производная $x^{2} - 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{1}{x {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{x}{2 {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]) + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 11

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{1}{x {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{x}{2 {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + \frac{d}{d x} [- 1]) + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 12

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- 1$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{1}{x {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{x}{2 {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + 0) + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 13

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Добавим $2 x$ и $0$ .

$\frac{1}{x {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{x}{2 {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} (2 x) + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 13.2

Объединим $2$ и $\frac{x}{2 {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1}{x {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{2 x}{2 {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} x + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 13.3

Объединим $\frac{2 x}{2 {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}}$ и $x$ .

$\frac{1}{x {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{2 x \cdot x}{2 {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 14

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{1}{x {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{2 (x^{1} x)}{2 {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 15

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{1}{x {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{2 (x^{1} x^{1})}{2 {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 16

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{1}{x {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{2 x^{1 + 1}}{2 {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 17

Сократим выражение, путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.1

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{1}{x {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{2 x^{2}}{2 {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 17.2

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{x {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{2 x^{2}}{2 {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 17.3

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{x {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{x^{2}}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 18

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{1}{x {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{x^{2}}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} \cdot 1)$

Этап 19

Умножим ${(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}$ на $1$ .

$\frac{1}{x {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{x^{2}}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}})$

Этап 20

Чтобы записать ${(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1}{x {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{x^{2}}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}})$

Этап 21

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{1}{x {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{x^{2} + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 22

Умножим ${(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}$ на ${(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 22.1

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{1}{x {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{x^{2} + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}}}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 22.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{1}{x {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{x^{2} + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1 + 1}{2}}}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 22.3

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{1}{x {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{x^{2} + {(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{2}}}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 22.4

Разделим $2$ на $2$ .

$\frac{1}{x {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{x^{2} + {(x^{2} - 1)}^{1}}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 23

Упростим ${(x^{2} - 1)}^{1}$ .

$\frac{1}{x {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{x^{2} + x^{2} - 1}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 24

Добавим $x^{2}$ и $x^{2}$ .

$\frac{1}{x {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{2 x^{2} - 1}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 25

Умножим $\frac{1}{x {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}}$ на $\frac{2 x^{2} - 1}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{2 x^{2} - 1}{x {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 26

Умножим ${(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}$ на ${(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 26.1

Перенесем ${(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 x^{2} - 1}{x ({(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}})}$

Этап 26.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{2 x^{2} - 1}{x {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}}}$

Этап 26.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{2 x^{2} - 1}{x {(x^{2} - 1)}^{\frac{1 + 1}{2}}}$

Этап 26.4

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{2 x^{2} - 1}{x {(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{2}}}$

Этап 26.5

Разделим $2$ на $2$ .

$\frac{2 x^{2} - 1}{x {(x^{2} - 1)}^{1}}$

Этап 27

Упростим $x {(x^{2} - 1)}^{1}$ .

$\frac{2 x^{2} - 1}{x (x^{2} - 1)}$

Этап 28

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 28.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{2 x^{2} - 1}{x \cdot x^{2} + x \cdot - 1}$

Этап 28.2

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 28.2.1

Умножим $x$ на $x^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 28.2.1.1

Умножим $x$ на $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 28.2.1.1.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{2 x^{2} - 1}{x^{1} x^{2} + x \cdot - 1}$

Этап 28.2.1.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{2 x^{2} - 1}{x^{1 + 2} + x \cdot - 1}$

Этап 28.2.1.2

Добавим $1$ и $2$ .

$\frac{2 x^{2} - 1}{x^{3} + x \cdot - 1}$

Этап 28.2.2

Перенесем $- 1$ влево от $x$ .

$\frac{2 x^{2} - 1}{x^{3} - 1 \cdot x}$

Этап 28.2.3

Перепишем $- 1 x$ в виде $- x$ .

$\frac{2 x^{2} - 1}{x^{3} - x}$