Математический анализ Примеры

${(x + y)}^{3} = x^{3} + y^{3}$

Этап 1

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d x} ({(x + y)}^{3}) = \frac{d}{d x} (x^{3} + y^{3})$

Этап 2

Продифференцируем левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{3}$ и $g (x) = x + y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x + y$ .

$\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [x + y]$

Этап 2.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$3 u^{2} \frac{d}{d x} [x + y]$

Этап 2.1.3

Заменим все вхождения $u$ на $x + y$ .

$3 {(x + y)}^{2} \frac{d}{d x} [x + y]$

Этап 2.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

По правилу суммы производная $x + y$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y]$ .

$3 {(x + y)}^{2} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y])$

Этап 2.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$3 {(x + y)}^{2} (1 + \frac{d}{d x} [y])$

Этап 2.3

Перепишем $\frac{d}{d x} [y]$ в виде $y'$ .

$3 {(x + y)}^{2} (1 + y')$

Этап 2.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$3 {(x + y)}^{2} \cdot 1 + 3 {(x + y)}^{2} y'$

Этап 2.4.2

Умножим $3$ на $1$ .

$3 {(x + y)}^{2} + 3 {(x + y)}^{2} y'$

Этап 3

Продифференцируем правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

По правилу суммы производная $x^{3} + y^{3}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [y^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [y^{3}]$

Этап 3.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [y^{3}]$

Этап 3.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [y^{3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $y$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [y]$

Этап 3.2.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$3 x^{2} + 3 u^{2} \frac{d}{d x} [y]$

Этап 3.2.1.3

Заменим все вхождения $u$ на $y$ .

$3 x^{2} + 3 y^{2} \frac{d}{d x} [y]$

Этап 3.2.2

Перепишем $\frac{d}{d x} [y]$ в виде $y'$ .

$3 x^{2} + 3 y^{2} y'$

Этап 4

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$3 {(x + y)}^{2} + 3 {(x + y)}^{2} y' = 3 x^{2} + 3 y^{2} y'$

Этап 5

Решим относительно $y'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Изменим порядок множителей в $3 {(x + y)}^{2} + 3 {(x + y)}^{2} y'$ .

$3 {(x + y)}^{2} + 3 y' {(x + y)}^{2} = 3 x^{2} + 3 y^{2} y'$

Этап 5.2

Перенесем все члены с $y'$ в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Вычтем $3 y^{2} y'$ из обеих частей уравнения.

$3 {(x + y)}^{2} + 3 y' {(x + y)}^{2} - 3 y^{2} y' = 3 x^{2}$

Этап 5.2.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1

Перепишем ${(x + y)}^{2}$ в виде $(x + y) (x + y)$ .

$3 ((x + y) (x + y)) + 3 y' {(x + y)}^{2} - 3 y^{2} y' = 3 x^{2}$

Этап 5.2.2.2

Развернем $(x + y) (x + y)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$3 (x (x + y) + y (x + y)) + 3 y' {(x + y)}^{2} - 3 y^{2} y' = 3 x^{2}$

Этап 5.2.2.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$3 (x \cdot x + x y + y (x + y)) + 3 y' {(x + y)}^{2} - 3 y^{2} y' = 3 x^{2}$

Этап 5.2.2.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$3 (x \cdot x + x y + y x + y \cdot y) + 3 y' {(x + y)}^{2} - 3 y^{2} y' = 3 x^{2}$

Этап 5.2.2.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.3.1.1

Умножим $x$ на $x$ .

$3 (x^{2} + x y + y x + y \cdot y) + 3 y' {(x + y)}^{2} - 3 y^{2} y' = 3 x^{2}$

Этап 5.2.2.3.1.2

Умножим $y$ на $y$ .

$3 (x^{2} + x y + y x + y^{2}) + 3 y' {(x + y)}^{2} - 3 y^{2} y' = 3 x^{2}$

Этап 5.2.2.3.2

Добавим $x y$ и $y x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.3.2.1

Изменим порядок $y$ и $x$ .

$3 (x^{2} + x y + x y + y^{2}) + 3 y' {(x + y)}^{2} - 3 y^{2} y' = 3 x^{2}$

Этап 5.2.2.3.2.2

Добавим $x y$ и $x y$ .

$3 (x^{2} + 2 x y + y^{2}) + 3 y' {(x + y)}^{2} - 3 y^{2} y' = 3 x^{2}$

Этап 5.2.2.4

Применим свойство дистрибутивности.

$3 x^{2} + 3 (2 x y) + 3 y^{2} + 3 y' {(x + y)}^{2} - 3 y^{2} y' = 3 x^{2}$

Этап 5.2.2.5

Умножим $2$ на $3$ .

$3 x^{2} + 6 (x y) + 3 y^{2} + 3 y' {(x + y)}^{2} - 3 y^{2} y' = 3 x^{2}$

Этап 5.2.2.6

Перепишем ${(x + y)}^{2}$ в виде $(x + y) (x + y)$ .

$3 x^{2} + 6 x y + 3 y^{2} + 3 y' ((x + y) (x + y)) - 3 y^{2} y' = 3 x^{2}$

Этап 5.2.2.7

Развернем $(x + y) (x + y)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.7.1

Применим свойство дистрибутивности.

$3 x^{2} + 6 x y + 3 y^{2} + 3 y' (x (x + y) + y (x + y)) - 3 y^{2} y' = 3 x^{2}$

Этап 5.2.2.7.2

Применим свойство дистрибутивности.

$3 x^{2} + 6 x y + 3 y^{2} + 3 y' (x \cdot x + x y + y (x + y)) - 3 y^{2} y' = 3 x^{2}$

Этап 5.2.2.7.3

Применим свойство дистрибутивности.

$3 x^{2} + 6 x y + 3 y^{2} + 3 y' (x \cdot x + x y + y x + y \cdot y) - 3 y^{2} y' = 3 x^{2}$

Этап 5.2.2.8

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.8.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.8.1.1

Умножим $x$ на $x$ .

$3 x^{2} + 6 x y + 3 y^{2} + 3 y' (x^{2} + x y + y x + y \cdot y) - 3 y^{2} y' = 3 x^{2}$

Этап 5.2.2.8.1.2

Умножим $y$ на $y$ .

$3 x^{2} + 6 x y + 3 y^{2} + 3 y' (x^{2} + x y + y x + y^{2}) - 3 y^{2} y' = 3 x^{2}$

Этап 5.2.2.8.2

Добавим $x y$ и $y x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.8.2.1

Изменим порядок $y$ и $x$ .

$3 x^{2} + 6 x y + 3 y^{2} + 3 y' (x^{2} + x y + x y + y^{2}) - 3 y^{2} y' = 3 x^{2}$

Этап 5.2.2.8.2.2

Добавим $x y$ и $x y$ .

$3 x^{2} + 6 x y + 3 y^{2} + 3 y' (x^{2} + 2 x y + y^{2}) - 3 y^{2} y' = 3 x^{2}$

Этап 5.2.2.9

Применим свойство дистрибутивности.

$3 x^{2} + 6 x y + 3 y^{2} + 3 y' x^{2} + 3 y' (2 x y) + 3 y' y^{2} - 3 y^{2} y' = 3 x^{2}$

Этап 5.2.2.10

Умножим $2$ на $3$ .

$3 x^{2} + 6 x y + 3 y^{2} + 3 y' x^{2} + 6 y' x y + 3 y' y^{2} - 3 y^{2} y' = 3 x^{2}$

Этап 5.2.3

Объединим противоположные члены в $3 x^{2} + 6 x y + 3 y^{2} + 3 y' x^{2} + 6 y' x y + 3 y' y^{2} - 3 y^{2} y'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1

Изменим порядок множителей в членах $3 y' y^{2}$ и $- 3 y^{2} y'$ .

$3 x^{2} + 6 x y + 3 y^{2} + 3 y' x^{2} + 6 y' x y + 3 y^{2} y' - 3 y^{2} y' = 3 x^{2}$

Этап 5.2.3.2

Вычтем $3 y^{2} y'$ из $3 y^{2} y'$ .

$3 x^{2} + 6 x y + 3 y^{2} + 3 y' x^{2} + 6 y' x y + 0 = 3 x^{2}$

Этап 5.2.3.3

Добавим $3 x^{2} + 6 x y + 3 y^{2} + 3 y' x^{2} + 6 y' x y$ и $0$ .

$3 x^{2} + 6 x y + 3 y^{2} + 3 y' x^{2} + 6 y' x y = 3 x^{2}$

Этап 5.3

Перенесем все члены без $y'$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Вычтем $3 x^{2}$ из обеих частей уравнения.

$6 x y + 3 y^{2} + 3 y' x^{2} + 6 y' x y = 3 x^{2} - 3 x^{2}$

Этап 5.3.2

Вычтем $6 x y$ из обеих частей уравнения.

$3 y^{2} + 3 y' x^{2} + 6 y' x y = 3 x^{2} - 3 x^{2} - 6 x y$

Этап 5.3.3

Вычтем $3 y^{2}$ из обеих частей уравнения.

$3 y' x^{2} + 6 y' x y = 3 x^{2} - 3 x^{2} - 6 x y - 3 y^{2}$

Этап 5.3.4

Вычтем $3 x^{2}$ из $3 x^{2}$ .

$3 y' x^{2} + 6 y' x y = 0 - 6 x y - 3 y^{2}$

Этап 5.3.5

Вычтем $6 x y$ из $0$ .

$3 y' x^{2} + 6 y' x y = - 6 x y - 3 y^{2}$

Этап 5.4

Вынесем множитель $3 y' x$ из $3 y' x^{2} + 6 y' x y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Вынесем множитель $3 y' x$ из $3 y' x^{2}$ .

$3 y' x \cdot x + 6 y' x y = - 6 x y - 3 y^{2}$

Этап 5.4.2

Вынесем множитель $3 y' x$ из $6 y' x y$ .

$3 y' x \cdot x + 3 y' x (2 y) = - 6 x y - 3 y^{2}$

Этап 5.4.3

Вынесем множитель $3 y' x$ из $3 y' x \cdot x + 3 y' x (2 y)$ .

$3 y' x (x + 2 y) = - 6 x y - 3 y^{2}$

Этап 5.5

Разделим каждый член $3 y' x (x + 2 y) = - 6 x y - 3 y^{2}$ на $3 x (x + 2 y)$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1

Разделим каждый член $3 y' x (x + 2 y) = - 6 x y - 3 y^{2}$ на $3 x (x + 2 y)$ .

$\frac{3 y' x (x + 2 y)}{3 x (x + 2 y)} = \frac{- 6 x y}{3 x (x + 2 y)} + \frac{- 3 y^{2}}{3 x (x + 2 y)}$

Этап 5.5.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.2.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3 y' x (x + 2 y)}{3 x (x + 2 y)} = \frac{- 6 x y}{3 x (x + 2 y)} + \frac{- 3 y^{2}}{3 x (x + 2 y)}$

Этап 5.5.2.1.2

Перепишем это выражение.

$\frac{y' x (x + 2 y)}{x (x + 2 y)} = \frac{- 6 x y}{3 x (x + 2 y)} + \frac{- 3 y^{2}}{3 x (x + 2 y)}$

Этап 5.5.2.2

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.2.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y' x (x + 2 y)}{x (x + 2 y)} = \frac{- 6 x y}{3 x (x + 2 y)} + \frac{- 3 y^{2}}{3 x (x + 2 y)}$

Этап 5.5.2.2.2

Перепишем это выражение.

$\frac{y' (x + 2 y)}{x + 2 y} = \frac{- 6 x y}{3 x (x + 2 y)} + \frac{- 3 y^{2}}{3 x (x + 2 y)}$

Этап 5.5.2.3

Сократим общий множитель $x + 2 y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.2.3.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y' (x + 2 y)}{x + 2 y} = \frac{- 6 x y}{3 x (x + 2 y)} + \frac{- 3 y^{2}}{3 x (x + 2 y)}$

Этап 5.5.2.3.2

Разделим $y'$ на $1$ .

$y' = \frac{- 6 x y}{3 x (x + 2 y)} + \frac{- 3 y^{2}}{3 x (x + 2 y)}$

Этап 5.5.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.3.1.1

Сократим общий множитель $- 6$ и $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.3.1.1.1

Вынесем множитель $3$ из $- 6 x y$ .

$y' = \frac{3 (- 2 x y)}{3 x (x + 2 y)} + \frac{- 3 y^{2}}{3 x (x + 2 y)}$

Этап 5.5.3.1.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.3.1.1.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3 x (x + 2 y)$ .

$y' = \frac{3 (- 2 x y)}{3 (x (x + 2 y))} + \frac{- 3 y^{2}}{3 x (x + 2 y)}$

Этап 5.5.3.1.1.2.2

Сократим общий множитель.

$y' = \frac{3 (- 2 x y)}{3 (x (x + 2 y))} + \frac{- 3 y^{2}}{3 x (x + 2 y)}$

Этап 5.5.3.1.1.2.3

Перепишем это выражение.

$y' = \frac{- 2 x y}{x (x + 2 y)} + \frac{- 3 y^{2}}{3 x (x + 2 y)}$

Этап 5.5.3.1.2

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.3.1.2.1

Сократим общий множитель.

$y' = \frac{- 2 x y}{x (x + 2 y)} + \frac{- 3 y^{2}}{3 x (x + 2 y)}$

Этап 5.5.3.1.2.2

Перепишем это выражение.

$y' = \frac{- 2 y}{x + 2 y} + \frac{- 3 y^{2}}{3 x (x + 2 y)}$

Этап 5.5.3.1.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y' = - \frac{2 y}{x + 2 y} + \frac{- 3 y^{2}}{3 x (x + 2 y)}$

Этап 5.5.3.1.4

Сократим общий множитель $- 3$ и $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.3.1.4.1

Вынесем множитель $3$ из $- 3 y^{2}$ .

$y' = - \frac{2 y}{x + 2 y} + \frac{3 (- y^{2})}{3 x (x + 2 y)}$

Этап 5.5.3.1.4.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.3.1.4.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3 x (x + 2 y)$ .

$y' = - \frac{2 y}{x + 2 y} + \frac{3 (- y^{2})}{3 (x (x + 2 y))}$

Этап 5.5.3.1.4.2.2

Сократим общий множитель.

$y' = - \frac{2 y}{x + 2 y} + \frac{3 (- y^{2})}{3 (x (x + 2 y))}$

Этап 5.5.3.1.4.2.3

Перепишем это выражение.

$y' = - \frac{2 y}{x + 2 y} + \frac{- y^{2}}{x (x + 2 y)}$

Этап 5.5.3.1.5

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y' = - \frac{2 y}{x + 2 y} - \frac{y^{2}}{x (x + 2 y)}$

Этап 5.5.3.2

Чтобы записать $- \frac{2 y}{x + 2 y}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{x}{x}$ .

$y' = - \frac{2 y}{x + 2 y} \cdot \frac{x}{x} - \frac{y^{2}}{x (x + 2 y)}$

Этап 5.5.3.3

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $(x + 2 y) x$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.3.3.1

Умножим $\frac{2 y}{x + 2 y}$ на $\frac{x}{x}$ .

$y' = - \frac{2 y x}{(x + 2 y) x} - \frac{y^{2}}{x (x + 2 y)}$

Этап 5.5.3.3.2

Изменим порядок множителей в $(x + 2 y) x$ .

$y' = - \frac{2 y x}{x (x + 2 y)} - \frac{y^{2}}{x (x + 2 y)}$

Этап 5.5.3.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$y' = \frac{- 2 y x - y^{2}}{x (x + 2 y)}$

Этап 5.5.3.5

Вынесем множитель $y$ из $- 2 y x - y^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.3.5.1

Вынесем множитель $y$ из $- 2 y x$ .

$y' = \frac{y (- 2 x) - y^{2}}{x (x + 2 y)}$

Этап 5.5.3.5.2

Вынесем множитель $y$ из $- y^{2}$ .

$y' = \frac{y (- 2 x) + y (- y)}{x (x + 2 y)}$

Этап 5.5.3.5.3

Вынесем множитель $y$ из $y (- 2 x) + y (- y)$ .

$y' = \frac{y (- 2 x - y)}{x (x + 2 y)}$

Этап 5.5.3.6

Вынесем множитель $- 1$ из $- 2 x$ .

$y' = \frac{y (- (2 x) - y)}{x (x + 2 y)}$

Этап 5.5.3.7

Вынесем множитель $- 1$ из $- y$ .

$y' = \frac{y (- (2 x) - (y))}{x (x + 2 y)}$

Этап 5.5.3.8

Вынесем множитель $- 1$ из $- (2 x) - (y)$ .

$y' = \frac{y (- (2 x + y))}{x (x + 2 y)}$

Этап 5.5.3.9

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.3.9.1

Перепишем $- (2 x + y)$ в виде $- 1 (2 x + y)$ .

$y' = \frac{y (- 1 (2 x + y))}{x (x + 2 y)}$

Этап 5.5.3.9.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y' = - \frac{y (2 x + y)}{x (x + 2 y)}$

Этап 6

Заменим $y'$ на $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y (2 x + y)}{x (x + 2 y)}$