Математический анализ Примеры

$2 x^{3} + x^{2} y - x y^{3} = 2$

Этап 1

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d x} (2 x^{3} + x^{2} y - x y^{3}) = \frac{d}{d x} (2)$

Этап 2

Продифференцируем левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $2 x^{3} + x^{2} y - x y^{3}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2} y] + \frac{d}{d x} [- x y^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2} y] + \frac{d}{d x} [- x y^{3}]$

Этап 2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [2 x^{3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x^{3}$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2} y] + \frac{d}{d x} [- x y^{3}]$

Этап 2.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$2 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [x^{2} y] + \frac{d}{d x} [- x y^{3}]$

Этап 2.2.3

Умножим $3$ на $2$ .

$6 x^{2} + \frac{d}{d x} [x^{2} y] + \frac{d}{d x} [- x y^{3}]$

Этап 2.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [x^{2} y]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x^{2}$ и $g (x) = y$ .

$6 x^{2} + x^{2} \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x y^{3}]$

Этап 2.3.2

Перепишем $\frac{d}{d x} [y]$ в виде $y'$ .

$6 x^{2} + x^{2} y' + y \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x y^{3}]$

Этап 2.3.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$6 x^{2} + x^{2} y' + y (2 x) + \frac{d}{d x} [- x y^{3}]$

Этап 2.3.4

Перенесем $2$ влево от $y$ .

$6 x^{2} + x^{2} y' + 2 y x + \frac{d}{d x} [- x y^{3}]$

Этап 2.4

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- x y^{3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x y^{3}$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x y^{3}]$ .

$6 x^{2} + x^{2} y' + 2 y x - \frac{d}{d x} [x y^{3}]$

Этап 2.4.2

$6 x^{2} + x^{2} y' + 2 y x - (x \frac{d}{d x} [y^{3}] + y^{3} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 2.4.3

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{3}$ и $g (x) = y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $y$ .

$6 x^{2} + x^{2} y' + 2 y x - (x (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [y]) + y^{3} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 2.4.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$6 x^{2} + x^{2} y' + 2 y x - (x (3 u^{2} \frac{d}{d x} [y]) + y^{3} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 2.4.3.3

Заменим все вхождения $u$ на $y$ .

$6 x^{2} + x^{2} y' + 2 y x - (x (3 y^{2} \frac{d}{d x} [y]) + y^{3} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 2.4.4

Перепишем $\frac{d}{d x} [y]$ в виде $y'$ .

$6 x^{2} + x^{2} y' + 2 y x - (x (3 y^{2} y') + y^{3} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 2.4.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$6 x^{2} + x^{2} y' + 2 y x - (x (3 y^{2} y') + y^{3} \cdot 1)$

Этап 2.4.6

Перенесем $3$ влево от $x$ .

$6 x^{2} + x^{2} y' + 2 y x - (3 \cdot x y^{2} y' + y^{3} \cdot 1)$

Этап 2.4.7

Умножим $y^{3}$ на $1$ .

$6 x^{2} + x^{2} y' + 2 y x - (3 x y^{2} y' + y^{3})$

Этап 2.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Применим свойство дистрибутивности.

$6 x^{2} + x^{2} y' + 2 y x - (3 x y^{2} y') - y^{3}$

Этап 2.5.2

Умножим $3$ на $- 1$ .

$6 x^{2} + x^{2} y' + 2 y x - 3 x y^{2} y' - y^{3}$

Этап 2.5.3

Изменим порядок членов.

$- y^{3} + 6 x^{2} + x^{2} y' + 2 x y - 3 y^{2} x y'$

Этап 3

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2$ относительно $x$ равна $0$ .

$0$

Этап 4

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$- y^{3} + 6 x^{2} + x^{2} y' + 2 x y - 3 y^{2} x y' = 0$

Этап 5

Решим относительно $y'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Перенесем все члены без $y'$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Добавим $y^{3}$ к обеим частям уравнения.

$6 x^{2} + x^{2} y' + 2 x y - 3 y^{2} x y' = y^{3}$

Этап 5.1.2

Вычтем $6 x^{2}$ из обеих частей уравнения.

$x^{2} y' + 2 x y - 3 y^{2} x y' = y^{3} - 6 x^{2}$

Этап 5.1.3

Вычтем $2 x y$ из обеих частей уравнения.

$x^{2} y' - 3 y^{2} x y' = y^{3} - 6 x^{2} - 2 x y$

Этап 5.2

Вынесем множитель $x y'$ из $x^{2} y' - 3 y^{2} x y'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Вынесем множитель $x y'$ из $x^{2} y'$ .

$x y' x - 3 y^{2} x y' = y^{3} - 6 x^{2} - 2 x y$

Этап 5.2.2

Вынесем множитель $x y'$ из $- 3 y^{2} x y'$ .

$x y' x + x y' (- 3 y^{2}) = y^{3} - 6 x^{2} - 2 x y$

Этап 5.2.3

Вынесем множитель $x y'$ из $x y' x + x y' (- 3 y^{2})$ .

$x y' (x - 3 y^{2}) = y^{3} - 6 x^{2} - 2 x y$

Этап 5.3

Разделим каждый член $x y' (x - 3 y^{2}) = y^{3} - 6 x^{2} - 2 x y$ на $x (x - 3 y^{2})$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Разделим каждый член $x y' (x - 3 y^{2}) = y^{3} - 6 x^{2} - 2 x y$ на $x (x - 3 y^{2})$ .

$\frac{x y' (x - 3 y^{2})}{x (x - 3 y^{2})} = \frac{y^{3}}{x (x - 3 y^{2})} + \frac{- 6 x^{2}}{x (x - 3 y^{2})} + \frac{- 2 x y}{x (x - 3 y^{2})}$

Этап 5.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{x y' (x - 3 y^{2})}{x (x - 3 y^{2})} = \frac{y^{3}}{x (x - 3 y^{2})} + \frac{- 6 x^{2}}{x (x - 3 y^{2})} + \frac{- 2 x y}{x (x - 3 y^{2})}$

Этап 5.3.2.1.2

Перепишем это выражение.

$\frac{y' (x - 3 y^{2})}{x - 3 y^{2}} = \frac{y^{3}}{x (x - 3 y^{2})} + \frac{- 6 x^{2}}{x (x - 3 y^{2})} + \frac{- 2 x y}{x (x - 3 y^{2})}$

Этап 5.3.2.2

Сократим общий множитель $x - 3 y^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y' (x - 3 y^{2})}{x - 3 y^{2}} = \frac{y^{3}}{x (x - 3 y^{2})} + \frac{- 6 x^{2}}{x (x - 3 y^{2})} + \frac{- 2 x y}{x (x - 3 y^{2})}$

Этап 5.3.2.2.2

Разделим $y'$ на $1$ .

$y' = \frac{y^{3}}{x (x - 3 y^{2})} + \frac{- 6 x^{2}}{x (x - 3 y^{2})} + \frac{- 2 x y}{x (x - 3 y^{2})}$

Этап 5.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1.1

Сократим общий множитель $x^{2}$ и $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1.1.1

Вынесем множитель $x$ из $- 6 x^{2}$ .

$y' = \frac{y^{3}}{x (x - 3 y^{2})} + \frac{x (- 6 x)}{x (x - 3 y^{2})} + \frac{- 2 x y}{x (x - 3 y^{2})}$

Этап 5.3.3.1.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

$y' = \frac{y^{3}}{x (x - 3 y^{2})} + \frac{x (- 6 x)}{x (x - 3 y^{2})} + \frac{- 2 x y}{x (x - 3 y^{2})}$

Этап 5.3.3.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

$y' = \frac{y^{3}}{x (x - 3 y^{2})} + \frac{- 6 x}{x - 3 y^{2}} + \frac{- 2 x y}{x (x - 3 y^{2})}$

Этап 5.3.3.1.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y' = \frac{y^{3}}{x (x - 3 y^{2})} - \frac{6 x}{x - 3 y^{2}} + \frac{- 2 x y}{x (x - 3 y^{2})}$

Этап 5.3.3.1.3

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1.3.1

Сократим общий множитель.

$y' = \frac{y^{3}}{x (x - 3 y^{2})} - \frac{6 x}{x - 3 y^{2}} + \frac{- 2 x y}{x (x - 3 y^{2})}$

Этап 5.3.3.1.3.2

Перепишем это выражение.

$y' = \frac{y^{3}}{x (x - 3 y^{2})} - \frac{6 x}{x - 3 y^{2}} + \frac{- 2 y}{x - 3 y^{2}}$

Этап 5.3.3.1.4

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y' = \frac{y^{3}}{x (x - 3 y^{2})} - \frac{6 x}{x - 3 y^{2}} - \frac{2 y}{x - 3 y^{2}}$

Этап 5.3.3.2

Чтобы записать $- \frac{6 x}{x - 3 y^{2}}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{x}{x}$ .

$y' = \frac{y^{3}}{x (x - 3 y^{2})} - \frac{6 x}{x - 3 y^{2}} \cdot \frac{x}{x} - \frac{2 y}{x - 3 y^{2}}$

Этап 5.3.3.3

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $x (x - 3 y^{2})$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.3.1

Умножим $\frac{6 x}{x - 3 y^{2}}$ на $\frac{x}{x}$ .

$y' = \frac{y^{3}}{x (x - 3 y^{2})} - \frac{6 x \cdot x}{(x - 3 y^{2}) x} - \frac{2 y}{x - 3 y^{2}}$

Этап 5.3.3.3.2

Изменим порядок множителей в $(x - 3 y^{2}) x$ .

$y' = \frac{y^{3}}{x (x - 3 y^{2})} - \frac{6 x \cdot x}{x (x - 3 y^{2})} - \frac{2 y}{x - 3 y^{2}}$

Этап 5.3.3.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$y' = \frac{y^{3} - 6 x \cdot x}{x (x - 3 y^{2})} - \frac{2 y}{x - 3 y^{2}}$

Этап 5.3.3.5

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.5.1

Перенесем $x$ .

$y' = \frac{y^{3} - 6 (x \cdot x)}{x (x - 3 y^{2})} - \frac{2 y}{x - 3 y^{2}}$

Этап 5.3.3.5.2

Умножим $x$ на $x$ .

$y' = \frac{y^{3} - 6 x^{2}}{x (x - 3 y^{2})} - \frac{2 y}{x - 3 y^{2}}$

Этап 5.3.3.6

Чтобы записать $- \frac{2 y}{x - 3 y^{2}}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{x}{x}$ .

$y' = \frac{y^{3} - 6 x^{2}}{x (x - 3 y^{2})} - \frac{2 y}{x - 3 y^{2}} \cdot \frac{x}{x}$

Этап 5.3.3.7

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $x (x - 3 y^{2})$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.7.1

Умножим $\frac{2 y}{x - 3 y^{2}}$ на $\frac{x}{x}$ .

$y' = \frac{y^{3} - 6 x^{2}}{x (x - 3 y^{2})} - \frac{2 y x}{(x - 3 y^{2}) x}$

Этап 5.3.3.7.2

Изменим порядок множителей в $(x - 3 y^{2}) x$ .

$y' = \frac{y^{3} - 6 x^{2}}{x (x - 3 y^{2})} - \frac{2 y x}{x (x - 3 y^{2})}$

Этап 5.3.3.8

Объединим числители над общим знаменателем.

$y' = \frac{y^{3} - 6 x^{2} - 2 y x}{x (x - 3 y^{2})}$

Этап 6

Заменим $y'$ на $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y^{3} - 6 x^{2} - 2 y x}{x (x - 3 y^{2})}$