Математический анализ Примеры

Вычислим интеграл интеграл (x^2+4)e^(-x) в пределах от 0 до 1 по x
Этап 1
Проинтегрируем по частям, используя формулу , где и .
Этап 2
Умножим на .
Этап 3
Поскольку  — константа по отношению к , вынесем из-под знака интеграла.
Этап 4
Умножим на .
Этап 5
Проинтегрируем по частям, используя формулу , где и .
Этап 6
Поскольку  — константа по отношению к , вынесем из-под знака интеграла.
Этап 7
Упростим.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 7.1
Умножим на .
Этап 7.2
Умножим на .
Этап 8
Пусть . Тогда , следовательно . Перепишем, используя и .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 8.1
Пусть . Найдем .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 8.1.1
Дифференцируем .
Этап 8.1.2
Поскольку является константой относительно , производная по равна .
Этап 8.1.3
Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что имеет вид , где .
Этап 8.1.4
Умножим на .
Этап 8.2
Подставим нижнее предельное значение вместо в .
Этап 8.3
Умножим на .
Этап 8.4
Подставим верхнее предельное значение вместо в .
Этап 8.5
Умножим на .
Этап 8.6
Значения, найденные для и , будут использованы для вычисления данного определенного интеграла.
Этап 8.7
Переформулируем задачу, используя , и новые пределы интегрирования.
Этап 9
Поскольку  — константа по отношению к , вынесем из-под знака интеграла.
Этап 10
Интеграл по имеет вид .
Этап 11
Подставим и упростим.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 11.1
Найдем значение в и в .
Этап 11.2
Найдем значение в и в .
Этап 11.3
Найдем значение в и в .
Этап 11.4
Упростим.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 11.4.1
Единица в любой степени равна единице.
Этап 11.4.2
Добавим и .
Этап 11.4.3
Умножим на .
Этап 11.4.4
Умножим на .
Этап 11.4.5
Возведение в любую положительную степень дает .
Этап 11.4.6
Добавим и .
Этап 11.4.7
Умножим на .
Этап 11.4.8
Умножим на .
Этап 11.4.9
Любое число в степени равно .
Этап 11.4.10
Умножим на .
Этап 11.4.11
Умножим на .
Этап 11.4.12
Умножим на .
Этап 11.4.13
Умножим на .
Этап 11.4.14
Умножим на .
Этап 11.4.15
Любое число в степени равно .
Этап 11.4.16
Умножим на .
Этап 11.4.17
Умножим на .
Этап 11.4.18
Добавим и .
Этап 11.4.19
Любое число в степени равно .
Этап 11.4.20
Умножим на .
Этап 12
Упростим.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 12.1
Упростим каждый член.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 12.1.1
Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней .
Этап 12.1.2
Объединим и .
Этап 12.1.3
Вынесем знак минуса перед дробью.
Этап 12.1.4
Упростим каждый член.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 12.1.4.1
Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней .
Этап 12.1.4.2
Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней .
Этап 12.1.4.3
Применим свойство дистрибутивности.
Этап 12.1.4.4
Умножим на .
Этап 12.1.5
Объединим числители над общим знаменателем.
Этап 12.1.6
Вычтем из .
Этап 12.1.7
Вынесем знак минуса перед дробью.
Этап 12.1.8
Применим свойство дистрибутивности.
Этап 12.1.9
Умножим на .
Этап 12.1.10
Умножим .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 12.1.10.1
Умножим на .
Этап 12.1.10.2
Объединим и .
Этап 12.1.10.3
Умножим на .
Этап 12.1.11
Вынесем знак минуса перед дробью.
Этап 12.2
Объединим числители над общим знаменателем.
Этап 12.3
Вычтем из .
Этап 12.4
Вынесем знак минуса перед дробью.
Этап 12.5
Добавим и .
Этап 13
Результат можно представить в различном виде.
Точная форма:
Десятичная форма:
Этап 14