Математический анализ Примеры

$\int 8 x^{2} \ln (x) d x$

Этап 1

Поскольку $8$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $8$ из-под знака интеграла.

$8 \int x^{2} \ln (x) d x$

Этап 2

Проинтегрируем по частям, используя формулу $\int u d v = u v - \int v d u$ , где $u = \ln (x)$ и $d v = x^{2}$ .

$8 (\ln (x) (\frac{1}{3} x^{3}) - \int \frac{1}{3} x^{3} \frac{1}{x} d x)$

Этап 3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Объединим $\frac{1}{3}$ и $x^{3}$ .

$8 (\ln (x) \frac{x^{3}}{3} - \int \frac{1}{3} x^{3} \frac{1}{x} d x)$

Этап 3.2

Объединим $\ln (x)$ и $\frac{x^{3}}{3}$ .

$8 (\frac{\ln (x) x^{3}}{3} - \int \frac{1}{3} x^{3} \frac{1}{x} d x)$

Этап 3.3

Объединим $\frac{1}{3}$ и $x^{3}$ .

$8 (\frac{\ln (x) x^{3}}{3} - \int \frac{x^{3}}{3} \cdot \frac{1}{x} d x)$

Этап 3.4

Умножим $\frac{x^{3}}{3}$ на $\frac{1}{x}$ .

$8 (\frac{\ln (x) x^{3}}{3} - \int \frac{x^{3}}{3 x} d x)$

Этап 3.5

Сократим общий множитель $x^{3}$ и $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{3}$ .

$8 (\frac{\ln (x) x^{3}}{3} - \int \frac{x \cdot x^{2}}{3 x} d x)$

Этап 3.5.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.1

Вынесем множитель $x$ из $3 x$ .

$8 (\frac{\ln (x) x^{3}}{3} - \int \frac{x \cdot x^{2}}{x \cdot 3} d x)$

Этап 3.5.2.2

Сократим общий множитель.

$8 (\frac{\ln (x) x^{3}}{3} - \int \frac{x \cdot x^{2}}{x \cdot 3} d x)$

Этап 3.5.2.3

Перепишем это выражение.

$8 (\frac{\ln (x) x^{3}}{3} - \int \frac{x^{2}}{3} d x)$

Этап 4

Поскольку $\frac{1}{3}$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $\frac{1}{3}$ из-под знака интеграла.

$8 (\frac{\ln (x) x^{3}}{3} - (\frac{1}{3} \int x^{2} d x))$

Этап 5

По правилу степени интеграл $x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$8 (\frac{\ln (x) x^{3}}{3} - \frac{1}{3} (\frac{1}{3} x^{3} + C))$

Этап 6

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Объединим $\frac{1}{3}$ и $x^{3}$ .

$8 (\frac{\ln (x) x^{3}}{3} - \frac{1}{3} (\frac{x^{3}}{3} + C))$

Этап 6.2

Перепишем $8 (\frac{\ln (x) x^{3}}{3} - \frac{1}{3} (\frac{x^{3}}{3} + C))$ в виде $8 (\frac{\ln (x) x^{3}}{3} - \frac{x^{3}}{9}) + C$ .

$8 (\frac{\ln (x) x^{3}}{3} - \frac{x^{3}}{9}) + C$

Этап 6.3

Изменим порядок членов.

$8 (\frac{1}{3} \ln (x) x^{3} - \frac{1}{9} x^{3}) + C$