Математический анализ Примеры

$y = \cos (X^{2})$

Этап 1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d X} [f (g (X))]$ имеет вид $f' (g (X)) g' (X)$ , где $f (X) = \cos (X)$ и $g (X) = X^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $X^{2}$ .

$\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d X} [X^{2}]$

Этап 1.1.2

Производная $\cos (u)$ по $u$ равна $- \sin (u)$ .

$- \sin (u) \frac{d}{d X} [X^{2}]$

Этап 1.1.3

Заменим все вхождения $u$ на $X^{2}$ .

$- \sin (X^{2}) \frac{d}{d X} [X^{2}]$

Этап 1.2

Продифференцируем, используя правило степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d X} [X^{n}]$ имеет вид $n X^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$- \sin (X^{2}) (2 X)$

Этап 1.2.2

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1

Умножим $2$ на $- 1$ .

$- 2 \sin (X^{2}) X$

Этап 1.2.2.2

Изменим порядок множителей в $- 2 \sin (X^{2}) X$ .

$f' (X) = - 2 X \sin (X^{2})$

Этап 2

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Поскольку $- 2$ является константой относительно $X$ , производная $- 2 X \sin (X^{2})$ по $X$ равна $- 2 \frac{d}{d X} [X \sin (X^{2})]$ .

$- 2 \frac{d}{d X} [X \sin (X^{2})]$

Этап 2.2

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d X} [f (X) g (X)]$ имеет вид $f (X) \frac{d}{d X} [g (X)] + g (X) \frac{d}{d X} [f (X)]$ , где $f (X) = X$ и $g (X) = \sin (X^{2})$ .

$- 2 (X \frac{d}{d X} [\sin (X^{2})] + \sin (X^{2}) \frac{d}{d X} [X])$

Этап 2.3

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $X^{2}$ .

$- 2 (X (\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d X} [X^{2}]) + \sin (X^{2}) \frac{d}{d X} [X])$

Этап 2.3.2

Производная $\sin (u)$ по $u$ равна $\cos (u)$ .

$- 2 (X (\cos (u) \frac{d}{d X} [X^{2}]) + \sin (X^{2}) \frac{d}{d X} [X])$

Этап 2.3.3

Заменим все вхождения $u$ на $X^{2}$ .

$- 2 (X (\cos (X^{2}) \frac{d}{d X} [X^{2}]) + \sin (X^{2}) \frac{d}{d X} [X])$

Этап 2.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d X} [X^{n}]$ имеет вид $n X^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$- 2 (X (\cos (X^{2}) (2 X)) + \sin (X^{2}) \frac{d}{d X} [X])$

Этап 2.5

Возведем $X$ в степень $1$ .

$- 2 (X^{1} X (\cos (X^{2}) \cdot (2)) + \sin (X^{2}) \frac{d}{d X} [X])$

Этап 2.6

Возведем $X$ в степень $1$ .

$- 2 (X^{1} X^{1} (\cos (X^{2}) \cdot (2)) + \sin (X^{2}) \frac{d}{d X} [X])$

Этап 2.7

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$- 2 (X^{1 + 1} (\cos (X^{2}) \cdot (2)) + \sin (X^{2}) \frac{d}{d X} [X])$

Этап 2.8

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.1

Добавим $1$ и $1$ .

$- 2 (X^{2} (\cos (X^{2}) \cdot (2)) + \sin (X^{2}) \frac{d}{d X} [X])$

Этап 2.8.2

Перенесем $2$ влево от $\cos (X^{2})$ .

$- 2 (X^{2} (2 \cdot \cos (X^{2})) + \sin (X^{2}) \frac{d}{d X} [X])$

Этап 2.9

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d X} [X^{n}]$ имеет вид $n X^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$- 2 (X^{2} (2 \cos (X^{2})) + \sin (X^{2}) \cdot 1)$

Этап 2.10

Умножим $\sin (X^{2})$ на $1$ .

$- 2 (X^{2} (2 \cos (X^{2})) + \sin (X^{2}))$

Этап 2.11

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.11.1

Применим свойство дистрибутивности.

$- 2 (X^{2} (2 \cos (X^{2}))) - 2 \sin (X^{2})$

Этап 2.11.2

Умножим $2$ на $- 2$ .

$f'' (X) = - 4 X^{2} \cos (X^{2}) - 2 \sin (X^{2})$

Этап 3

Найдем третью производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

По правилу суммы производная $- 4 X^{2} \cos (X^{2}) - 2 \sin (X^{2})$ по $X$ имеет вид $\frac{d}{d X} [- 4 X^{2} \cos (X^{2})] + \frac{d}{d X} [- 2 \sin (X^{2})]$ .

$\frac{d}{d X} [- 4 X^{2} \cos (X^{2})] + \frac{d}{d X} [- 2 \sin (X^{2})]$

Этап 3.2

Найдем значение $\frac{d}{d X} [- 4 X^{2} \cos (X^{2})]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Поскольку $- 4$ является константой относительно $X$ , производная $- 4 X^{2} \cos (X^{2})$ по $X$ равна $- 4 \frac{d}{d X} [X^{2} \cos (X^{2})]$ .

$- 4 \frac{d}{d X} [X^{2} \cos (X^{2})] + \frac{d}{d X} [- 2 \sin (X^{2})]$

Этап 3.2.2

$- 4 (X^{2} \frac{d}{d X} [\cos (X^{2})] + \cos (X^{2}) \frac{d}{d X} [X^{2}]) + \frac{d}{d X} [- 2 \sin (X^{2})]$

Этап 3.2.3

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $X^{2}$ .

$- 4 (X^{2} (\frac{d}{d u_{1}} [\cos (u_{1})] \frac{d}{d X} [X^{2}]) + \cos (X^{2}) \frac{d}{d X} [X^{2}]) + \frac{d}{d X} [- 2 \sin (X^{2})]$

Этап 3.2.3.2

Производная $\cos (u_{1})$ по $u_{1}$ равна $- \sin (u_{1})$ .

$- 4 (X^{2} (- \sin (u_{1}) \frac{d}{d X} [X^{2}]) + \cos (X^{2}) \frac{d}{d X} [X^{2}]) + \frac{d}{d X} [- 2 \sin (X^{2})]$

Этап 3.2.3.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $X^{2}$ .

$- 4 (X^{2} (- \sin (X^{2}) \frac{d}{d X} [X^{2}]) + \cos (X^{2}) \frac{d}{d X} [X^{2}]) + \frac{d}{d X} [- 2 \sin (X^{2})]$

Этап 3.2.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d X} [X^{n}]$ имеет вид $n X^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$- 4 (X^{2} (- \sin (X^{2}) (2 X)) + \cos (X^{2}) \frac{d}{d X} [X^{2}]) + \frac{d}{d X} [- 2 \sin (X^{2})]$

Этап 3.2.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d X} [X^{n}]$ имеет вид $n X^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$- 4 (X^{2} (- \sin (X^{2}) (2 X)) + \cos (X^{2}) (2 X)) + \frac{d}{d X} [- 2 \sin (X^{2})]$

Этап 3.2.6

Умножим $2$ на $- 1$ .

$- 4 (X^{2} (- 2 \sin (X^{2}) X) + \cos (X^{2}) (2 X)) + \frac{d}{d X} [- 2 \sin (X^{2})]$

Этап 3.2.7

Умножим $X^{2}$ на $X$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.7.1

Перенесем $X$ .

$- 4 (X \cdot X^{2} (- 2 \sin (X^{2})) + \cos (X^{2}) (2 X)) + \frac{d}{d X} [- 2 \sin (X^{2})]$

Этап 3.2.7.2

Умножим $X$ на $X^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.7.2.1

Возведем $X$ в степень $1$ .

$- 4 (X^{1} X^{2} (- 2 \sin (X^{2})) + \cos (X^{2}) (2 X)) + \frac{d}{d X} [- 2 \sin (X^{2})]$

Этап 3.2.7.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$- 4 (X^{1 + 2} (- 2 \sin (X^{2})) + \cos (X^{2}) (2 X)) + \frac{d}{d X} [- 2 \sin (X^{2})]$

Этап 3.2.7.3

Добавим $1$ и $2$ .

$- 4 (X^{3} (- 2 \sin (X^{2})) + \cos (X^{2}) (2 X)) + \frac{d}{d X} [- 2 \sin (X^{2})]$

Этап 3.3

Найдем значение $\frac{d}{d X} [- 2 \sin (X^{2})]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Поскольку $- 2$ является константой относительно $X$ , производная $- 2 \sin (X^{2})$ по $X$ равна $- 2 \frac{d}{d X} [\sin (X^{2})]$ .

$- 4 (X^{3} (- 2 \sin (X^{2})) + \cos (X^{2}) (2 X)) - 2 \frac{d}{d X} [\sin (X^{2})]$

Этап 3.3.2

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{2}$ как $X^{2}$ .

$- 4 (X^{3} (- 2 \sin (X^{2})) + \cos (X^{2}) (2 X)) - 2 (\frac{d}{d u_{2}} [\sin (u_{2})] \frac{d}{d X} [X^{2}])$

Этап 3.3.2.2

Производная $\sin (u_{2})$ по $u_{2}$ равна $\cos (u_{2})$ .

$- 4 (X^{3} (- 2 \sin (X^{2})) + \cos (X^{2}) (2 X)) - 2 (\cos (u_{2}) \frac{d}{d X} [X^{2}])$

Этап 3.3.2.3

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $X^{2}$ .

$- 4 (X^{3} (- 2 \sin (X^{2})) + \cos (X^{2}) (2 X)) - 2 (\cos (X^{2}) \frac{d}{d X} [X^{2}])$

Этап 3.3.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d X} [X^{n}]$ имеет вид $n X^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$- 4 (X^{3} (- 2 \sin (X^{2})) + \cos (X^{2}) (2 X)) - 2 (\cos (X^{2}) (2 X))$

Этап 3.3.4

Умножим $2$ на $- 2$ .

$- 4 (X^{3} (- 2 \sin (X^{2})) + \cos (X^{2}) (2 X)) - 4 \cos (X^{2}) X$

Этап 3.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$- 4 (X^{3} (- 2 \sin (X^{2}))) - 4 (\cos (X^{2}) (2 X)) - 4 \cos (X^{2}) X$

Этап 3.4.2

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1

Умножим $- 2$ на $- 4$ .

$8 (X^{3} (\sin (X^{2}))) - 4 (\cos (X^{2}) (2 X)) - 4 \cos (X^{2}) X$

Этап 3.4.2.2

Умножим $2$ на $- 4$ .

$8 X^{3} \sin (X^{2}) - 8 (\cos (X^{2}) (X)) - 4 \cos (X^{2}) X$

Этап 3.4.2.3

Вычтем $4 \cos (X^{2}) X$ из $- 8 \cos (X^{2}) X$ .

$8 X^{3} \sin (X^{2}) - 12 \cos (X^{2}) X$

Этап 3.4.3

Изменим порядок членов.

$f''' (X) = 8 X^{3} \sin (X^{2}) - 12 X \cos (X^{2})$

Этап 4

Найдем четвертую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

По правилу суммы производная $8 X^{3} \sin (X^{2}) - 12 X \cos (X^{2})$ по $X$ имеет вид $\frac{d}{d X} [8 X^{3} \sin (X^{2})] + \frac{d}{d X} [- 12 X \cos (X^{2})]$ .

$\frac{d}{d X} [8 X^{3} \sin (X^{2})] + \frac{d}{d X} [- 12 X \cos (X^{2})]$

Этап 4.2

Найдем значение $\frac{d}{d X} [8 X^{3} \sin (X^{2})]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Поскольку $8$ является константой относительно $X$ , производная $8 X^{3} \sin (X^{2})$ по $X$ равна $8 \frac{d}{d X} [X^{3} \sin (X^{2})]$ .

$8 \frac{d}{d X} [X^{3} \sin (X^{2})] + \frac{d}{d X} [- 12 X \cos (X^{2})]$

Этап 4.2.2

$8 (X^{3} \frac{d}{d X} [\sin (X^{2})] + \sin (X^{2}) \frac{d}{d X} [X^{3}]) + \frac{d}{d X} [- 12 X \cos (X^{2})]$

Этап 4.2.3

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $X^{2}$ .

$8 (X^{3} (\frac{d}{d u_{1}} [\sin (u_{1})] \frac{d}{d X} [X^{2}]) + \sin (X^{2}) \frac{d}{d X} [X^{3}]) + \frac{d}{d X} [- 12 X \cos (X^{2})]$

Этап 4.2.3.2

Производная $\sin (u_{1})$ по $u_{1}$ равна $\cos (u_{1})$ .

$8 (X^{3} (\cos (u_{1}) \frac{d}{d X} [X^{2}]) + \sin (X^{2}) \frac{d}{d X} [X^{3}]) + \frac{d}{d X} [- 12 X \cos (X^{2})]$

Этап 4.2.3.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $X^{2}$ .

$8 (X^{3} (\cos (X^{2}) \frac{d}{d X} [X^{2}]) + \sin (X^{2}) \frac{d}{d X} [X^{3}]) + \frac{d}{d X} [- 12 X \cos (X^{2})]$

Этап 4.2.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d X} [X^{n}]$ имеет вид $n X^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$8 (X^{3} (\cos (X^{2}) (2 X)) + \sin (X^{2}) \frac{d}{d X} [X^{3}]) + \frac{d}{d X} [- 12 X \cos (X^{2})]$

Этап 4.2.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d X} [X^{n}]$ имеет вид $n X^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$8 (X^{3} (\cos (X^{2}) (2 X)) + \sin (X^{2}) (3 X^{2})) + \frac{d}{d X} [- 12 X \cos (X^{2})]$

Этап 4.2.6

Умножим $X^{3}$ на $X$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.6.1

Перенесем $X$ .

$8 (X \cdot X^{3} (\cos (X^{2}) \cdot (2)) + \sin (X^{2}) (3 X^{2})) + \frac{d}{d X} [- 12 X \cos (X^{2})]$

Этап 4.2.6.2

Умножим $X$ на $X^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.6.2.1

Возведем $X$ в степень $1$ .

$8 (X^{1} X^{3} (\cos (X^{2}) \cdot (2)) + \sin (X^{2}) (3 X^{2})) + \frac{d}{d X} [- 12 X \cos (X^{2})]$

Этап 4.2.6.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$8 (X^{1 + 3} (\cos (X^{2}) \cdot (2)) + \sin (X^{2}) (3 X^{2})) + \frac{d}{d X} [- 12 X \cos (X^{2})]$

Этап 4.2.6.3

Добавим $1$ и $3$ .

$8 (X^{4} (\cos (X^{2}) \cdot (2)) + \sin (X^{2}) (3 X^{2})) + \frac{d}{d X} [- 12 X \cos (X^{2})]$

Этап 4.2.7

Перенесем $2$ влево от $\cos (X^{2})$ .

$8 (X^{4} (2 \cos (X^{2})) + \sin (X^{2}) (3 X^{2})) + \frac{d}{d X} [- 12 X \cos (X^{2})]$

Этап 4.3

Найдем значение $\frac{d}{d X} [- 12 X \cos (X^{2})]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Поскольку $- 12$ является константой относительно $X$ , производная $- 12 X \cos (X^{2})$ по $X$ равна $- 12 \frac{d}{d X} [X \cos (X^{2})]$ .

$8 (X^{4} (2 \cos (X^{2})) + \sin (X^{2}) (3 X^{2})) - 12 \frac{d}{d X} [X \cos (X^{2})]$

Этап 4.3.2

$8 (X^{4} (2 \cos (X^{2})) + \sin (X^{2}) (3 X^{2})) - 12 (X \frac{d}{d X} [\cos (X^{2})] + \cos (X^{2}) \frac{d}{d X} [X])$

Этап 4.3.3

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{2}$ как $X^{2}$ .

$8 (X^{4} (2 \cos (X^{2})) + \sin (X^{2}) (3 X^{2})) - 12 (X (\frac{d}{d u_{2}} [\cos (u_{2})] \frac{d}{d X} [X^{2}]) + \cos (X^{2}) \frac{d}{d X} [X])$

Этап 4.3.3.2

Производная $\cos (u_{2})$ по $u_{2}$ равна $- \sin (u_{2})$ .

$8 (X^{4} (2 \cos (X^{2})) + \sin (X^{2}) (3 X^{2})) - 12 (X (- \sin (u_{2}) \frac{d}{d X} [X^{2}]) + \cos (X^{2}) \frac{d}{d X} [X])$

Этап 4.3.3.3

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $X^{2}$ .

$8 (X^{4} (2 \cos (X^{2})) + \sin (X^{2}) (3 X^{2})) - 12 (X (- \sin (X^{2}) \frac{d}{d X} [X^{2}]) + \cos (X^{2}) \frac{d}{d X} [X])$

Этап 4.3.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d X} [X^{n}]$ имеет вид $n X^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$8 (X^{4} (2 \cos (X^{2})) + \sin (X^{2}) (3 X^{2})) - 12 (X (- \sin (X^{2}) (2 X)) + \cos (X^{2}) \frac{d}{d X} [X])$

Этап 4.3.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d X} [X^{n}]$ имеет вид $n X^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$8 (X^{4} (2 \cos (X^{2})) + \sin (X^{2}) (3 X^{2})) - 12 (X (- \sin (X^{2}) (2 X)) + \cos (X^{2}) \cdot 1)$

Этап 4.3.6

Умножим $2$ на $- 1$ .

$8 (X^{4} (2 \cos (X^{2})) + \sin (X^{2}) (3 X^{2})) - 12 (X (- 2 \sin (X^{2}) X) + \cos (X^{2}) \cdot 1)$

Этап 4.3.7

Возведем $X$ в степень $1$ .

$8 (X^{4} (2 \cos (X^{2})) + \sin (X^{2}) (3 X^{2})) - 12 (X^{1} X (- 2 \sin (X^{2})) + \cos (X^{2}) \cdot 1)$

Этап 4.3.8

Возведем $X$ в степень $1$ .

$8 (X^{4} (2 \cos (X^{2})) + \sin (X^{2}) (3 X^{2})) - 12 (X^{1} X^{1} (- 2 \sin (X^{2})) + \cos (X^{2}) \cdot 1)$

Этап 4.3.9

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$8 (X^{4} (2 \cos (X^{2})) + \sin (X^{2}) (3 X^{2})) - 12 (X^{1 + 1} (- 2 \sin (X^{2})) + \cos (X^{2}) \cdot 1)$

Этап 4.3.10

Добавим $1$ и $1$ .

$8 (X^{4} (2 \cos (X^{2})) + \sin (X^{2}) (3 X^{2})) - 12 (X^{2} (- 2 \sin (X^{2})) + \cos (X^{2}) \cdot 1)$

Этап 4.3.11

Умножим $\cos (X^{2})$ на $1$ .

$8 (X^{4} (2 \cos (X^{2})) + \sin (X^{2}) (3 X^{2})) - 12 (X^{2} (- 2 \sin (X^{2})) + \cos (X^{2}))$

Этап 4.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$8 (X^{4} (2 \cos (X^{2}))) + 8 (\sin (X^{2}) (3 X^{2})) - 12 (X^{2} (- 2 \sin (X^{2})) + \cos (X^{2}))$

Этап 4.4.2

Применим свойство дистрибутивности.

$8 (X^{4} (2 \cos (X^{2}))) + 8 (\sin (X^{2}) (3 X^{2})) - 12 (X^{2} (- 2 \sin (X^{2}))) - 12 \cos (X^{2})$

Этап 4.4.3

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.3.1

Умножим $2$ на $8$ .

$16 (X^{4} (\cos (X^{2}))) + 8 (\sin (X^{2}) (3 X^{2})) - 12 (X^{2} (- 2 \sin (X^{2}))) - 12 \cos (X^{2})$

Этап 4.4.3.2

Умножим $3$ на $8$ .

$16 X^{4} \cos (X^{2}) + 24 (\sin (X^{2}) (X^{2})) - 12 (X^{2} (- 2 \sin (X^{2}))) - 12 \cos (X^{2})$

Этап 4.4.3.3

Умножим $- 2$ на $- 12$ .

$16 X^{4} \cos (X^{2}) + 24 \sin (X^{2}) X^{2} + 24 (X^{2} (\sin (X^{2}))) - 12 \cos (X^{2})$

Этап 4.4.3.4

Добавим $24 \sin (X^{2}) X^{2}$ и $24 X^{2} \sin (X^{2})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.3.4.1

Перенесем $\sin (X^{2})$ .

$16 X^{4} \cos (X^{2}) + 24 X^{2} \sin (X^{2}) + 24 X^{2} \sin (X^{2}) - 12 \cos (X^{2})$

Этап 4.4.3.4.2

Добавим $24 X^{2} \sin (X^{2})$ и $24 X^{2} \sin (X^{2})$ .

$f^{4} (X) = 16 X^{4} \cos (X^{2}) + 48 X^{2} \sin (X^{2}) - 12 \cos (X^{2})$