Математический анализ Примеры

${(x + x^{- 1})}^{3}$

Этап 1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{3}$ и $g (x) = x + x^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x + x^{- 1}$ .

$\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [x + x^{- 1}]$

Этап 1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$3 u^{2} \frac{d}{d x} [x + x^{- 1}]$

Этап 1.3

Заменим все вхождения $u$ на $x + x^{- 1}$ .

$3 {(x + x^{- 1})}^{2} \frac{d}{d x} [x + x^{- 1}]$

Этап 2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $x + x^{- 1}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$ .

$3 {(x + x^{- 1})}^{2} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x^{- 1}])$

Этап 2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$3 {(x + x^{- 1})}^{2} (1 + \frac{d}{d x} [x^{- 1}])$

Этап 2.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = - 1$ .

$3 {(x + x^{- 1})}^{2} (1 - x^{- 2})$

Этап 3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$3 {(x + \frac{1}{x})}^{2} (1 - x^{- 2})$

Этап 3.2

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$3 {(x + \frac{1}{x})}^{2} (1 - \frac{1}{x^{2}})$

Этап 3.3

Перепишем ${(x + \frac{1}{x})}^{2}$ в виде $(x + \frac{1}{x}) (x + \frac{1}{x})$ .

$3 ((x + \frac{1}{x}) (x + \frac{1}{x})) (1 - \frac{1}{x^{2}})$

Этап 3.4

Развернем $(x + \frac{1}{x}) (x + \frac{1}{x})$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$3 (x (x + \frac{1}{x}) + \frac{1}{x} (x + \frac{1}{x})) (1 - \frac{1}{x^{2}})$

Этап 3.4.2

Применим свойство дистрибутивности.

$3 (x \cdot x + x \frac{1}{x} + \frac{1}{x} (x + \frac{1}{x})) (1 - \frac{1}{x^{2}})$

Этап 3.4.3

Применим свойство дистрибутивности.

$3 (x \cdot x + x \frac{1}{x} + \frac{1}{x} x + \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{x}) (1 - \frac{1}{x^{2}})$

Этап 3.5

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1.1

Умножим $x$ на $x$ .

$3 (x^{2} + x \frac{1}{x} + \frac{1}{x} x + \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{x}) (1 - \frac{1}{x^{2}})$

Этап 3.5.1.2

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1.2.1

Сократим общий множитель.

$3 (x^{2} + x \frac{1}{x} + \frac{1}{x} x + \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{x}) (1 - \frac{1}{x^{2}})$

Этап 3.5.1.2.2

Перепишем это выражение.

$3 (x^{2} + 1 + \frac{1}{x} x + \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{x}) (1 - \frac{1}{x^{2}})$

Этап 3.5.1.3

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1.3.1

Сократим общий множитель.

$3 (x^{2} + 1 + \frac{1}{x} x + \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{x}) (1 - \frac{1}{x^{2}})$

Этап 3.5.1.3.2

Перепишем это выражение.

$3 (x^{2} + 1 + 1 + \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{x}) (1 - \frac{1}{x^{2}})$

Этап 3.5.1.4

Умножим $\frac{1}{x} \cdot \frac{1}{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1.4.1

Умножим $\frac{1}{x}$ на $\frac{1}{x}$ .

$3 (x^{2} + 1 + 1 + \frac{1}{x \cdot x}) (1 - \frac{1}{x^{2}})$

Этап 3.5.1.4.2

Возведем $x$ в степень $1$ .

$3 (x^{2} + 1 + 1 + \frac{1}{x^{1} x}) (1 - \frac{1}{x^{2}})$

Этап 3.5.1.4.3

Возведем $x$ в степень $1$ .

$3 (x^{2} + 1 + 1 + \frac{1}{x^{1} x^{1}}) (1 - \frac{1}{x^{2}})$

Этап 3.5.1.4.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$3 (x^{2} + 1 + 1 + \frac{1}{x^{1 + 1}}) (1 - \frac{1}{x^{2}})$

Этап 3.5.1.4.5

Добавим $1$ и $1$ .

$3 (x^{2} + 1 + 1 + \frac{1}{x^{2}}) (1 - \frac{1}{x^{2}})$

Этап 3.5.2

Добавим $1$ и $1$ .

$3 (x^{2} + 2 + \frac{1}{x^{2}}) (1 - \frac{1}{x^{2}})$

Этап 3.6

Применим свойство дистрибутивности.

$(3 x^{2} + 3 \cdot 2 + 3 \frac{1}{x^{2}}) (1 - \frac{1}{x^{2}})$

Этап 3.7

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.1

Умножим $3$ на $2$ .

$(3 x^{2} + 6 + 3 \frac{1}{x^{2}}) (1 - \frac{1}{x^{2}})$

Этап 3.7.2

Объединим $3$ и $\frac{1}{x^{2}}$ .

$(3 x^{2} + 6 + \frac{3}{x^{2}}) (1 - \frac{1}{x^{2}})$

Этап 3.8

Развернем $(3 x^{2} + 6 + \frac{3}{x^{2}}) (1 - \frac{1}{x^{2}})$ , умножив каждый член в первом выражении на каждый член во втором выражении.

$3 x^{2} \cdot 1 + 3 x^{2} (- \frac{1}{x^{2}}) + 6 \cdot 1 + 6 (- \frac{1}{x^{2}}) + \frac{3}{x^{2}} \cdot 1 + \frac{3}{x^{2}} (- \frac{1}{x^{2}})$

Этап 3.9

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.9.1

Умножим $3$ на $1$ .

$3 x^{2} + 3 x^{2} (- \frac{1}{x^{2}}) + 6 \cdot 1 + 6 (- \frac{1}{x^{2}}) + \frac{3}{x^{2}} \cdot 1 + \frac{3}{x^{2}} (- \frac{1}{x^{2}})$

Этап 3.9.2

Сократим общий множитель $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.9.2.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{1}{x^{2}}$ в числитель.

$3 x^{2} + 3 x^{2} \frac{- 1}{x^{2}} + 6 \cdot 1 + 6 (- \frac{1}{x^{2}}) + \frac{3}{x^{2}} \cdot 1 + \frac{3}{x^{2}} (- \frac{1}{x^{2}})$

Этап 3.9.2.2

Вынесем множитель $x^{2}$ из $3 x^{2}$ .

$3 x^{2} + x^{2} \cdot 3 \frac{- 1}{x^{2}} + 6 \cdot 1 + 6 (- \frac{1}{x^{2}}) + \frac{3}{x^{2}} \cdot 1 + \frac{3}{x^{2}} (- \frac{1}{x^{2}})$

Этап 3.9.2.3

Сократим общий множитель.

$3 x^{2} + x^{2} \cdot 3 \frac{- 1}{x^{2}} + 6 \cdot 1 + 6 (- \frac{1}{x^{2}}) + \frac{3}{x^{2}} \cdot 1 + \frac{3}{x^{2}} (- \frac{1}{x^{2}})$

Этап 3.9.2.4

Перепишем это выражение.

$3 x^{2} + 3 \cdot - 1 + 6 \cdot 1 + 6 (- \frac{1}{x^{2}}) + \frac{3}{x^{2}} \cdot 1 + \frac{3}{x^{2}} (- \frac{1}{x^{2}})$

Этап 3.9.3

Умножим $3$ на $- 1$ .

$3 x^{2} - 3 + 6 \cdot 1 + 6 (- \frac{1}{x^{2}}) + \frac{3}{x^{2}} \cdot 1 + \frac{3}{x^{2}} (- \frac{1}{x^{2}})$

Этап 3.9.4

Умножим $6$ на $1$ .

$3 x^{2} - 3 + 6 + 6 (- \frac{1}{x^{2}}) + \frac{3}{x^{2}} \cdot 1 + \frac{3}{x^{2}} (- \frac{1}{x^{2}})$

Этап 3.9.5

Умножим $6 (- \frac{1}{x^{2}})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.9.5.1

Умножим $- 1$ на $6$ .

$3 x^{2} - 3 + 6 - 6 \frac{1}{x^{2}} + \frac{3}{x^{2}} \cdot 1 + \frac{3}{x^{2}} (- \frac{1}{x^{2}})$

Этап 3.9.5.2

Объединим $- 6$ и $\frac{1}{x^{2}}$ .

$3 x^{2} - 3 + 6 + \frac{- 6}{x^{2}} + \frac{3}{x^{2}} \cdot 1 + \frac{3}{x^{2}} (- \frac{1}{x^{2}})$

Этап 3.9.6

Вынесем знак минуса перед дробью.

$3 x^{2} - 3 + 6 - \frac{6}{x^{2}} + \frac{3}{x^{2}} \cdot 1 + \frac{3}{x^{2}} (- \frac{1}{x^{2}})$

Этап 3.9.7

Умножим $\frac{3}{x^{2}}$ на $1$ .

$3 x^{2} - 3 + 6 - \frac{6}{x^{2}} + \frac{3}{x^{2}} + \frac{3}{x^{2}} (- \frac{1}{x^{2}})$

Этап 3.9.8

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$3 x^{2} - 3 + 6 - \frac{6}{x^{2}} + \frac{3}{x^{2}} - \frac{3}{x^{2}} \cdot \frac{1}{x^{2}}$

Этап 3.9.9

Умножим $- \frac{3}{x^{2}} \cdot \frac{1}{x^{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.9.9.1

Умножим $\frac{1}{x^{2}}$ на $\frac{3}{x^{2}}$ .

$3 x^{2} - 3 + 6 - \frac{6}{x^{2}} + \frac{3}{x^{2}} - \frac{3}{x^{2} x^{2}}$

Этап 3.9.9.2

Умножим $x^{2}$ на $x^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.9.9.2.1

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$3 x^{2} - 3 + 6 - \frac{6}{x^{2}} + \frac{3}{x^{2}} - \frac{3}{x^{2 + 2}}$

Этап 3.9.9.2.2

Добавим $2$ и $2$ .

$3 x^{2} - 3 + 6 - \frac{6}{x^{2}} + \frac{3}{x^{2}} - \frac{3}{x^{4}}$

Этап 3.10

Объединим числители над общим знаменателем.

$3 x^{2} - 3 + 6 + \frac{- 6 + 3}{x^{2}} + \frac{- 3}{x^{4}}$

Этап 3.11

Добавим $- 6$ и $3$ .

$3 x^{2} - 3 + 6 + \frac{- 3}{x^{2}} + \frac{- 3}{x^{4}}$

Этап 3.12

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.12.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$3 x^{2} - 3 + 6 - \frac{3}{x^{2}} + \frac{- 3}{x^{4}}$

Этап 3.12.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$3 x^{2} - 3 + 6 - \frac{3}{x^{2}} - \frac{3}{x^{4}}$

Этап 3.13

Добавим $- 3$ и $6$ .

$3 x^{2} + 3 - \frac{3}{x^{2}} - \frac{3}{x^{4}}$