Математический анализ Примеры

$\int e^{x} \sin (x) d x$

Этап 1

Изменим порядок $e^{x}$ и $\sin (x)$ .

$\int \sin (x) e^{x} d x$

Этап 2

Проинтегрируем по частям, используя формулу $\int u d v = u v - \int v d u$ , где $u = \sin (x)$ и $d v = e^{x}$ .

$\sin (x) e^{x} - \int e^{x} \cos (x) d x$

Этап 3

Изменим порядок $e^{x}$ и $\cos (x)$ .

$\sin (x) e^{x} - \int \cos (x) e^{x} d x$

Этап 4

Проинтегрируем по частям, используя формулу $\int u d v = u v - \int v d u$ , где $u = \cos (x)$ и $d v = e^{x}$ .

$\sin (x) e^{x} - (\cos (x) e^{x} - \int e^{x} (- \sin (x)) d x)$

Этап 5

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$\sin (x) e^{x} - (\cos (x) e^{x} - - \int e^{x} (\sin (x)) d x)$

Этап 6

Упростим путем перемножения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$\sin (x) e^{x} - (\cos (x) e^{x} + 1 \int e^{x} (\sin (x)) d x)$

Этап 6.2

Умножим $\int e^{x} (\sin (x)) d x$ на $1$ .

$\sin (x) e^{x} - (\cos (x) e^{x} + \int e^{x} (\sin (x)) d x)$

Этап 6.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\sin (x) e^{x} - (\cos (x) e^{x}) - \int e^{x} (\sin (x)) d x$

Этап 7

Найдя решение для $\int e^{x} \sin (x) d x$ , получим $\int e^{x} \sin (x) d x$ = $\frac{\sin (x) e^{x} - (\cos (x) e^{x})}{2}$ .

$\frac{\sin (x) e^{x} - (\cos (x) e^{x})}{2} + C$

Этап 8

Перепишем $\frac{\sin (x) e^{x} - \cos (x) e^{x}}{2} + C$ в виде $\frac{1}{2} (\sin (x) e^{x} - \cos (x) e^{x}) + C$ .

$\frac{1}{2} (\sin (x) e^{x} - \cos (x) e^{x}) + C$