Математический анализ Примеры

$lim_{x \to 3} \frac{x^{2} - 9}{x - 3}$

Этап 1

Применим правило Лопиталя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем предел числителя и предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Возьмем предел числителя и предел знаменателя.

$\frac{lim_{x \to 3} x^{2} - 9}{lim_{x \to 3} x - 3}$

Этап 1.1.2

Найдем предел числителя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $3$ .

$\frac{lim_{x \to 3} x^{2} - lim_{x \to 3} 9}{lim_{x \to 3} x - 3}$

Этап 1.1.2.1.2

Вынесем степень $2$ в выражении $x^{2}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{{(lim_{x \to 3} x)}^{2} - lim_{x \to 3} 9}{lim_{x \to 3} x - 3}$

Этап 1.1.2.1.3

Найдем предел $9$ , который является константой по мере приближения $x$ к $3$ .

$\frac{{(lim_{x \to 3} x)}^{2} - 1 \cdot 9}{lim_{x \to 3} x - 3}$

Этап 1.1.2.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $3$ для $x$ .

$\frac{3^{2} - 1 \cdot 9}{lim_{x \to 3} x - 3}$

Этап 1.1.2.3

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.3.1.1

Возведем $3$ в степень $2$ .

$\frac{9 - 1 \cdot 9}{lim_{x \to 3} x - 3}$

Этап 1.1.2.3.1.2

Умножим $- 1$ на $9$ .

$\frac{9 - 9}{lim_{x \to 3} x - 3}$

Этап 1.1.2.3.2

Вычтем $9$ из $9$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 3} x - 3}$

Этап 1.1.3

Найдем предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $3$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 3} x - lim_{x \to 3} 3}$

Этап 1.1.3.1.2

Найдем предел $3$ , который является константой по мере приближения $x$ к $3$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 3}$

Этап 1.1.3.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $3$ для $x$ .

$\frac{0}{3 - 1 \cdot 3}$

Этап 1.1.3.3

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.3.1

Умножим $- 1$ на $3$ .

$\frac{0}{3 - 3}$

Этап 1.1.3.3.2

Вычтем $3$ из $3$ .

$\frac{0}{0}$

Этап 1.1.3.3.3

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 1.1.3.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 1.1.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 1.2

Поскольку $\frac{0}{0}$ является неопределенной формой, применяется правило Лопиталя. Правило Лопиталя гласит, что предел отношения функций равен пределу отношения их производных.

$lim_{x \to 3} \frac{x^{2} - 9}{x - 3} = lim_{x \to 3} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} - 9]}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

Этап 1.3

Найдем производную числителя и знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Продифференцируем числитель и знаменатель.

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} - 9]}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

Этап 1.3.2

По правилу суммы производная $x^{2} - 9$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 9]$ .

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 9]}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

Этап 1.3.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$lim_{x \to 3} \frac{2 x + \frac{d}{d x} [- 9]}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

Этап 1.3.4

Поскольку $- 9$ является константой относительно $x$ , производная $- 9$ относительно $x$ равна $0$ .

$lim_{x \to 3} \frac{2 x + 0}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

Этап 1.3.5

Добавим $2 x$ и $0$ .

$lim_{x \to 3} \frac{2 x}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

Этап 1.3.6

По правилу суммы производная $x - 3$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$lim_{x \to 3} \frac{2 x}{\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]}$

Этап 1.3.7

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$lim_{x \to 3} \frac{2 x}{1 + \frac{d}{d x} [- 3]}$

Этап 1.3.8

Поскольку $- 3$ является константой относительно $x$ , производная $- 3$ относительно $x$ равна $0$ .

$lim_{x \to 3} \frac{2 x}{1 + 0}$

Этап 1.3.9

Добавим $1$ и $0$ .

$lim_{x \to 3} \frac{2 x}{1}$

Этап 1.4

Разделим $2 x$ на $1$ .

$lim_{x \to 3} 2 x$

Этап 2

Вынесем член $2$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$2 lim_{x \to 3} x$

Этап 3

Найдем предел $x$ , подставив значение $3$ для $x$ .

$2 \cdot 3$

Этап 4

Умножим $2$ на $3$ .

$6$