Математический анализ Примеры

$\int \sin (t) \sqrt{1 + \cos (t)} d t$

Этап 1

Пусть $u = 1 + \cos (t)$ . Тогда $d u = - \sin (t) d t$ , следовательно $- \frac{1}{\sin (t)} d u = d t$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Пусть $u = 1 + \cos (t)$ . Найдем $\frac{d u}{d t}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Дифференцируем $1 + \cos (t)$ .

$\frac{d}{d t} [1 + \cos (t)]$

Этап 1.1.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

По правилу суммы производная $1 + \cos (t)$ по $t$ имеет вид $\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [\cos (t)]$ .

$\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [\cos (t)]$

Этап 1.1.2.2

Поскольку $1$ является константой относительно $t$ , производная $1$ относительно $t$ равна $0$ .

$0 + \frac{d}{d t} [\cos (t)]$

Этап 1.1.3

Производная $\cos (t)$ по $t$ равна $- \sin (t)$ .

$0 - \sin (t)$

Этап 1.1.4

Вычтем $\sin (t)$ из $0$ .

$- \sin (t)$

Этап 1.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$\int - 1 \sqrt{u} d u$

Этап 2

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$- \int \sqrt{u} d u$

Этап 3

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{u}$ в виде $u^{\frac{1}{2}}$ .

$- \int u^{\frac{1}{2}} d u$

Этап 4

По правилу степени интеграл $u^{\frac{1}{2}}$ по $u$ имеет вид $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$- (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C)$

Этап 5

Перепишем $- (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C)$ в виде $- \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$ .

$- \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$

Этап 6

Заменим все вхождения $u$ на $1 + \cos (t)$ .

$- \frac{2}{3} {(1 + \cos (t))}^{\frac{3}{2}} + C$